如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？
1 复数
在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。
1.1 的由来
，这个就是 的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。
可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：
从自然数扩张到整数： 增加的负数可以对应“欠债、减少”
从整数扩张到有理数 ： 增加的分数可以对应“分割、部分”
从有理数扩张到实数 ： 增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度 ”
从实数扩张到复数 ： 增加的虚数对应什么？
虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。
看起来我们没有必要去理会 到底等于多少，我们规定 没有意义就可以了嘛，就好像 一样。
我们来看一下，一元二次方程 的万能公式：其根可以表示为： ，其判别式
:有两个不等的实数根
: 有两个相等的实数根
: 有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？
再看一下，一元三次方程 一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 维基百科 ，但愿大家能够打开。
讨论一下 ，此时一元三次方程可以化为 ，其根可表示为：
其中：
判别式为： ，注意观察解的形式， 是被包含在根式里面的。
： 有一个实数根和两个复数根
: 有三个实数根，当 时根为0，当 ，三个根里面有两个相等
: 有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？
要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根，但是在当时并不知道，所以开始思考复数到底是什么？
我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。
1.2 复平面上的单位圆
在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：
可以动手试试，访问 马同学高等数学
1.3 复平面上乘法的几何意义
这里也可以感受下互动操作 如何通俗解释欧拉公式
2 欧拉公式
欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？
2.1 欧拉公式与泰勒公式
关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：
如何通俗地解释泰勒公式？
欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：
将 代入 可得：
那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？
2.2 对同一个点不同的描述方式
我们可以把 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点， 通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有 。
2.3 为什么 是圆周运动？
这是实数域上的定义，可以推广到复数域 根据之前对复数乘法的描述，乘上 是进行伸缩和旋转运动， 取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。
我们来看看 如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：
从图上可以退出 时： 在单位圆上转动了1弧度。
再来看看 这个应该是在单位圆上转动 弧度。
看来 确实是单位圆周上的圆周运动。
动手来看看 是如何运动的吧：互动操作访问 马同学
2.4 的几何含义是什么？
看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换 ,几何含义还是挺明显的，沿圆周运动 弧度。
2.5 欧拉公式与三角函数
根据欧拉公式 ，可以轻易推出：
和 。三角函数定义域被扩大到了复数域。
把复数当作向量来看待，复数的实部是 方向，虚部是 方向，很容易观察出其几何意义。
2.6 欧拉恒等式
当 ,的时候，代入欧拉公式：
就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式， 乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。
文章最新版本在（有可能会有后续更新）： 如何通俗地解释欧拉公式？
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欧拉公式为什么叫上帝公式是什么?
这是复分析的欧拉公式的特例：对任何实数x，作代入即给出恒等式。理查德·费曼称这恒等式为数学最奇妙的公式，因为它把5个最基本的数学常数简洁地联系起来。欧拉这个公式已经融合于广义相对论和量子力学结合的m理论。详见百度百科费马大定理，霍奇猜想。成为虚时间的基本架构。也是光量子纠缠的数学表示。
请将欧拉公式用初一看得懂的方法说明出来
（1）分式里的欧拉公式：a＾r\/(a-b)(a-c)+b＾r\/(b-c)(b-a)+c＾r\/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c 你可以去下面网站获得更详尽的解释 参考资料：http:\/\/baike.baidu.com\/view\/1681302.htm ...
关于上帝公式——Euler公式
在数学的殿堂里，流传着一道被誉为“上帝公式”的神秘符号，那就是著名的欧拉公式——e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。这一简洁而深邃的公式，犹如一首未解的诗篇，引发了无数数学家的探索和惊叹。要揭示这个公式的奥秘，我们必须追溯到欧拉这位天才数学家的足迹。他的洞察力和对自然规律的深刻理解...
谁能解释欧拉公式
尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末 F-E+V=2。证明 如图15（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：（1） 把多面体（...
欧拉拓扑公式是什么
欧拉拓扑公式是：V - E + F = 2。欧拉拓扑公式是关于多面体的一个公式，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。这个公式描述了多面体的拓扑性质，而非几何性质。它的特点是适用于所有类型的多面体，无论多面体在空间中如何旋转或扭曲，欧拉公式计算出的结果始终为常数。具体解释如下：欧拉拓扑公式是...
欧拉公式如何推导出来
推导过程 这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式 在e^x的展开式中把x换成±ix.所以 由此： ， ，然后采用两式相加减的方法得到：， 。这两个也叫做欧拉公式。将 中的x取作π就得到：这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，...
欧拉公式怎么证明?
证明过程复杂而精确，需要结合数学基础及逻辑思维仔细分析每一步的合理性及正确性。欧拉公式的证明体现了数学的严谨性和逻辑性，是数学研究中的重要成果之一。总结而言，欧拉公式的证明主要基于复数理论以及代数基本定理的运用，采用反证法并通过详细的推导得出结论的正确性。希望这个解释可以帮助您更好地理解...
欧拉公式的证明
答案：欧拉公式证明如下：详细解释：欧拉公式是数学中的一个重要定理，它描述了实数域上的三角函数与复数指数函数之间的关系。证明欧拉公式通常需要依赖复数、微积分以及三角函数的性质。以下是证明欧拉公式的步骤：步骤一：定义与性质回顾 首先，回顾复数的定义及其性质，特别是关于复数指数的性质。例如，我们...
"上帝公式"(欧拉公式)真的神到无法触碰?
对于欧拉公式的直观推导，我们可以从两个角度来理解。首先，复数可以视为复平面上的点或矢量，其中实部和虚部代表了位置的水平和垂直方向。其次，复指数表达式可以被解释为在复平面上以一定速率旋转和缩放的过程。通过结合复数的几何性质和复指数的解析意义，我们可以逐步推导出欧拉公式。通过将复指数函数与...
电气数学中的欧拉公式运用,谁能给我解释一下,最好有推倒,简单易懂一点...
复数有3种表示法：实数化：z=x+yi,x,y∈R.三角形式：z=r(cosθ+isinθ),其中r>=0,为模；θ为辐角。指数形式：z=re^(iθ),其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，即您说的欧拉公式。
仲孙康倍他：[答案] 具体分好多种: (1)分式里的欧拉公式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c (2)复变函数论里的欧拉公式: e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大...
许昌县18682115189： 欧拉公式是什么?为什么说欧拉公式伟大? - ？
仲孙康倍他：[答案] 欧拉公式有4条 (1)分式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c (2)复数 由e^iθ=cosθ+isinθ,得到: sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角...
许昌县18682115189： 欧拉公式的证明及各方面的应用 - ？
仲孙康倍他： e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位. e^ix=cosx+isinx的证明: 因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-...
许昌县18682115189： 什么是欧拉恒等式,它的主要内容是什么? - ？
仲孙康倍他：[答案] 欧拉恒等式是指下列的关系式: e^iπ + 1 = 0 其中e是自然指数的底,i是虚数单位,π是圆周率. 这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introductio.这是复分析的欧拉公式的特例:对任何实数x,e^ix = cosx + isinx 作代入x = π即给出恒等式. ...
许昌县18682115189： 欧拉公式的所有内容及有关运用欧拉公式的例题 - ？
仲孙康倍他： 欧拉公式有4条 (1)分式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c (2)复数 由e^iθ=cosθ+isinθ,得到: sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 此函数将两种截然不同的函数---指数函数与...
许昌县18682115189： 莱昂哈德欧拉公式为什么是最美的公式之一 - ？
仲孙康倍他：[答案] e^iπ+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0.数学家们评价它是“上帝...
许昌县18682115189： 什么叫欧拉公式? - ？
仲孙康倍他： 在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做 欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中. (1)分式里的欧拉公式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 ...
许昌县18682115189： 欧拉公式在数学领域中堪称为最优美的公式之一,e^iπ+1=0,如果将公式中的1移到公式右边,此时同时平方,则得出e^2iπ=1,即得出2iπ=0,此时则得出复... - ？
仲孙康倍他：[答案] 在复数范围内由e^x=1得出x=0是错误的,实际上e^2πki=0(k为整数)都是成立的,你得到的只是k=0时的一种特殊情况,可以理解为在复数范围内x=0是e^x=1的充分但不必要条件.
许昌县18682115189： 复数中的欧拉公式是什么?在高数中又有什么应用?劳烦各位举个例子! - ？
仲孙康倍他：[答案] 由e^iθ=cosθ+isinθ,得到: sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2 此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来,被誉为数学中的“天桥”. 当θ=π时,成为e^iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了.
许昌县18682115189： 欧拉公式说明？
仲孙康倍他：V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数. 如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h. X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围. 在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律.
