能帮我写一份《常微分方程》纲要吗?
公式如下:
。
此处w(x)是方程y(n)+p1(x)y(n-1)+...+pn-1(x)y'+pn(x)y=0的任意n个解y1,y2,...,对应的朗斯基行列式,x0是这n个解定义区间上的任意固定常数,c是任意常数。
拓展内容:刘维尔公式是一个关于多重积分和欧拉积分的公式。
常微分方程,学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解。但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
参考资料:常微分方程-百度百科刘维尔公式
第一问:考研会给分吗?明确告诉你,会给分。考研高数只是规定了不允许使用高数考试范围以外的运算,比如说你把常微分方程初值问题做拉普拉斯变换来求解,这个不行,或者是你定义一个高维空间的映射和一系列运算,这也不行,但是算子法没有涉及到考试范围以外的运算。
第二问:评分的时候求解特解这一步是整体给分,你只要给出特解求解方法并且求解出来特解就得分,只有你求错了的情况下才会酌情按这一步正确的工作量加分。因此,你没有必要写的很具体,但是一定要完整表述出来你列写特解的必要过程,也就是说必须体现出来你特解是这么求的。
第三问:得到了正确解,但是形式不同老师会不会不知道。明确告诉你,不会不知道。微分算子法虽然在高数里面没有具体讲解,但是它是数学分析的重要内容。给你阅卷的人都是数学院的老师们,他们不可能不知道微分算子法求出来的特解形式上略有不同,所以不会给你误判,完全无需担心。
一、课程概述
(一)课程学时与学分
课程代码:1302,开课专业:数学与应用数学(师范)专业,第6学期开课,课程总学时72学时,4学分。课程总学时包括课堂讲授54学时,习题课18学时。
(二)课程性质
《常微分方程》这门课程是利用数学分析,高等代数,复变函数等课程中的基础知识,介绍常微分方程中方程的一般常用解法和基本理论。它将为数学,力学,物理系的学生在后期的学习中服务,对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。属于院专业必修课
(三)教学目的
«常微分方程»是高等师范院校本科教育专业继数学分析,高等代数等基础课之后开设的一门主干课,必修课。着重向学生介绍常微分方程的一般常用解法和基本理论,其中包括用初等积分法求解常见的几种类型一阶微分方程和如何求解高阶线形微分方程与方程组,以及微分方程理论中最重要的理论基础:解的存在唯一性定理,解的延展定理。在提高学生解决实际问题的能力的同时,简要的介绍该门课程的基本思想和方法,培养学生对一般微分方程进行分析的能力。
(四)本课程与其他课程的联系与分工
《常微分方程》这门课程是以数学分析,高等代数,复变函数等课程中的知识为基础的,它将为数学系的学生在后期的学习中提供帮助。如:微分几何,偏微分方程等课程。常微分方程这门课程是与实际联系比较紧密的一门课程,对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。
二、课程教学的基本内容与要求
(一)教学要求
1、要结合学生实际水平和能力学习常微分方程。
2、掌握微分方程中解方程的基本方法(分离变量法;恰当方程;一阶线性方程;初等变换法中的齐次方程,伯努里方程,黎卡提方程以及积分因子法)
3、掌握最基本的理论基础:解的存在唯一性定理和解的延展定理。
4、掌握高阶线形微分方程和线形微分方程组的某些定理和基本解法。
5、了解奇解与包络的概念及二者的求法。
(二)课程总学时数与课程学时分配
1、总学时: 18 4=72(学时)
2、课程学时分配表
章 次 内 容 学时
第一章 基本概念 4
第二章 初等积分法 20
第三章 毕卡定理 12
第四章 奇解 8
第五章 高阶微分方程 8
第六章 高阶微分方程组 20
合计 72
(三)教学内容
第一章 绪 论
(一)教学目的和要求
掌握微分方程及解的定义,掌握微分方程及解的几何解释以及线素场的基本做法。
(二)教学重点与难点
1、微分方程及解的定义
2、线素场的基本做法
(三)教学方式
讲授为主,多举例题,多作练习。
(四)教学内容
第一节 微分方程及解的定义
1、常微分方程的概念。
2、常微分方程解的概念。
(1)通解(通积分)
(2)特解
3、初值问题(柯西问题)。
4、如何求一个曲线族满足的微分方程。
第二节 微分方程及解的几何解释
1、积分曲线,线素,线素场,方向场的概念。
2、微分方程及解的几何解释。
3、如何作出某些简单类型微分方程的线素场。
第二章 初等积分法
(一)教学目的与要求
熟练掌握初等积分法的几种类型,能作到快速判定方程类型,进而求解。掌握这些方法和技巧是学好本门课程及其他分支课程的基本训练。
(二)教学重点与难点
1、恰当方程的判定条件及如何用公式求解恰当方程。
2、变量可分离方程的求解。
3、一阶线形微分方程的形式特点与求解公式以及五点性质。
4、初等变换法。
5、积分因子法。
6、如何求已知曲线族的等角轨线族,正交轨线族。
(三)教学方式
以课堂讲授为主,多举例题。课后布置一定量的习题作为作业,通过批改作业及课堂上小测验督促学生学习,提高对本章内容的重视程度。
(四)教学内容
第一节 恰当方程
1、恰当方程的定义(全微分方程)。
2、定理:如何判定一个对称形式的 方程是恰当方程及利用公式求解。
第二节 变量可分离的方程
1、变量可分离方程的定义。
2、补充:某些丢失的解要找回来。
3、直接积分求解。
4、课后习题四给予讲解(涉及物理知识)。
第三节 一阶线形方程
1、一阶线形方程的定义。
2、求解一阶齐次线形方程的公式。
3、求解一阶非齐次线形方程的公式。
4、初步了解常数变异法。
5、一阶线形方程解的五条性质,部分做练习。
第四节 初等变换法
1、举两个例题说明某些不能求解的方程通过初等变换可以求解。
2、齐次方程: ,做变换 求解 。
3、形如 的方程如何作变换求解。
4、伯努力方程 做变换 。
5、黎卡提方程 形式上最简单的非线形方程求解只做一般了解。
第五节 积分因子法
1、积分因子的定义。
2、定理3,4分别给出两个特殊类型微分方程的积分因子
3、进一步介绍分组求积分因子。
4、定理6是课后部分习题的基础,做详细讲解。
第六节 应用举例
1、等角轨线族,正交轨线族的定义。
2、如何求已知曲线族的等角轨线族,正交轨线族。
第三章 毕卡定理
(一)教学目的与要求
存在和唯一性定理又称毕卡定理,是微分方程理论中的基本定理。要熟练记忆并深刻理解毕卡定理的内容。对于证明思想和方法,逐次迭代法构造毕卡序列,证明毕卡序列一致收敛到方程的唯一解 ,要熟练和掌握。解的延展定理是讨论方程某些解的存在区间问题,选讲中山大学,东北师范大学教材的部分内容,适当补充一些例题和课后习题,对于延展定理主要是使用推论。
(二)教学重点和难点
1、毕卡定理:李普西兹条件,替换条件。
2、证明过程。
3、补充说明。
4、解的延展定理和推论。
5、几道重要典型例题。
(三)教学方式
以课堂讲授为主,作到细致入微。要求学生课后认真复习,完成补充的课后作业。
(四)教学内容
第一节 毕卡定理
1、介绍李氏条件的概念及替换条件: 对 有连续偏导。
2、毕卡定理的内容及证明过程。
第二节 解的延拓
1、介绍局李普西兹条件。
2、举例讲解解的延拓情况。
3、引入解的延拓定理及推论。
4、使用定理及推论做补充习题,并布置补充的作业题。
第四章 奇解
(一)教学目的与要求
掌握求解一阶隐式微分方程的两种方法:微分法,参数法。掌握奇解概念及求奇解的方法。掌握包络的概念及包络的求法。掌握克莱洛方程的类型及解法。
(二)教学重点与难点
1、一阶隐式微分方程的求解,重在掌握微分法,参数法。
2、奇解概念及求奇解的方法,两个定理要运用自如。
3、包络的概念及求包络的求法,两个定理要运用自如。
4、奇解和包络的关系。
5、克莱洛方程的类型及解法。
(三)教学方式
以课堂讲授为主,补充例题和习题,扩充视野,多做练习题。
(四)教学内容
第一节 一阶隐式微分方程
1、形如 的方程利用微分法求解。
2、形如 的方程利用参数法求解。
3、包络的概念及如何使用两个定理求出曲线族的包络。
4、奇解概念及如何使用两个定理求出方程的奇解。
5、克莱洛方程的类型及解法。
第五章 高阶微分方程
(一)教学目的与要求
对于几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程要掌握其解法;能作到 阶微分方程与 阶微分方程组之间的互化及找出二者解之间关系;熟知 阶标准微分方程组的两种向量形式及初值问题解的唯一性。
(二)教学重点与难点
1、几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程的解法。
(1)
(2)
(3)恰当导数方程。
2、引入变量,使 阶微分方程与 阶标准微分方程组之间互化。
3、 阶标准微分方程组的向量形式。
(三)教学方式
以课堂讲授为主,辅以学生做课后习题。
(四)教学内容
第一节 几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程
1、形如 的方程的解法,令 。
2、形如 的方程的解法,令 。
3、恰当导数方程。
4、补充习题。
第二节 维线形空间中的微分方程
1、 阶微分方程与 阶标准微分方程组之间的互化,引入变量
2、 阶标准微分方程组的两种向量形式, 是常用的一种。
3、 阶标准微分方程组的初值问题的解的存在唯一性。
第六章 线形微分方程组
(一)教学目的与要求
掌握线形微分方程组的一般理论主要是了解它的所有解的代数结构问题,中心问题是齐次线形微分方程组的基解矩阵。非齐次方程组的任一解可由基解矩阵通过积分求得。对于常系数线形微分方程组要能通过求特征根求得基解矩阵。对于高阶线形微分方程要求能求得齐次方程的基本解组,进而求通解。对于非齐次方程右端的两种特殊形式,能求出相应的特解,进而求通解。
(二)教学重点与难点
1、齐次线形微分方程组的通解构造。
2、刘维尔公式 。
3、基解矩阵的两性质。
4、非齐次方程组的通解构造及求解公式。
5、常系数线形微分方程组的基解矩阵。
(1)利用若当标准型求得
(2)利用待定指数函数法求得
6、常系数非齐次线形微分方程组的通解公式。
7、将方程组的某些理论推广到高阶线形微分方程上去。
8、高阶齐次线形微分方程的通解构造。
9、两种类型的高阶非齐次线形微分方程的通解构造。
(三)教学方式
以课堂讲授为主,通过多做例题,多做习题加深学生对授课内容的理解。
(四)教学内容
第一节 一般理论
1、齐次线形微分方程组
(1)通解构造(基解矩阵)
(2)利用朗斯基行列式判定线形相关(无关)
(3)基解矩阵的两个性质。
2、非齐次方程组
(1)通解构造
(2)利用常数变异法求出通解公式。
第二节 常系数线形微分方程组
1、矩阵指数函数的引入及性质。
2、常系数齐次线形微分方程组的基解矩阵为 。
3、利用若当标准型求得基解矩阵为 。
4、利用待定指数函数法求得基解矩阵。
(1)A有单根
(2)A有重根
5、举出可以不用定理5,6求解的方程组的特例。
第三节 高阶线形微分方程
1、高阶线形微分方程的一般理论
(1)齐次线形微分方程的通解构造。
(2)基本解组的引入及如何判定其为基本解组。
(3)非齐次线形微分方程的通解构造。
(4)重要例题。
2、常系数高阶线形微分方程
(1)利用特征方程的特征根求得齐次方程通解。
(2)就两种特殊类型的非齐次方程,如何利用其特殊性求得特 解,进而求通解。
(3)举例说明某些方程组可以转化为方程计算求解。
(4)本节课后大部分习题给予讲解。
三、教学方式与方法
理论及例题部分以课堂讲授为主。课后习题大部分由学生独立完成,较难的在辅导课时间给予讲解。通过批改作业及课堂进行小测验督促学生学习及检验学生对所学内容的掌握情况。
四、课程考核与要求
考核方法:闭卷笔试与平时成绩相结合,由教师掌握。采取百分制。
五、课程纲要制定程序
本课程纲要的制定是由师范学院院长梁晓俐教授、副院长牛平、数学系主任周毅、聂锡军、李艳红、于强共同研究初步定稿,由聂锡军老师具体执笔编写。
六、课程使用的教材与教学参考资料
(一)教材名称:常微分方程
(二)参考资料:1、常微分方程 东北师范大学
2、常微分方程 中山大学
3. 常微分方程 丁崇文
(三)其他参考资料:
1.常微分方程典型题解法和技巧 丁崇文
2.常微分方程习题与解答 丁崇文
3.常微分方程习题解 庄万
这道常微分方程怎么写?求详细过程,谢谢!
设[x0,b)是y=g(x)的右侧最大存在区间 若b<=0,[x0,b)显然是一个有限的区间 若b>0,则存在x1>0,使得[x1,b)⊆[x0,b)因此(x0,y0)处的解y=g(x)在区间[x1,b)内仍然满足原微分方程 即g'(x)=x^4+g(x)^4,(0<x1<=x=x1^4+g(x)^4,(x1<=x=1 不等式两边分别...
求一个常微分方程,谢谢
3y(1-x^2)dy=2x(y^2-1)dx 3y\/(y^2-1)*dy=2x\/(1-x^2)*dx 两边积分:3\/2*ln|y^2-1|=-ln|1-x^2|+C 即|y^2-1|^(3\/2)*(1-x^2)=C
关於常微分的计算
dy\/dx = a1 - a2*exp(cy) - a3*(sin(x))^2, a1~a3,c都是已知常数。先求1个特解,dt\/dx = a1 - a3*(sinx)^2 = a1 - a3[1 - cos(2x)]\/2 = a1 - a3\/2 + a3cos(2x)\/2.t = (a1 - a3\/2)x + a3sin(2x)\/4 再设 u = y - t, y = u + t,du\/dx = dy...
能帮我写一份《常微分方程》纲要吗?
常微分方程这门课程是与实际联系比较紧密的一门课程,对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。二、课程教学的基本内容与要求(一)教学要求1、要结合学生实际水平和能力学习常微分方程。2、掌握微分方程中解方程的基本方法(分离变量法;恰当方程;一阶线性方程;初等变换法中的齐次方程,伯努里方程,...
常微分方程解法
在数学的领域中,一阶微分方程的研究是常微分方程理论的基础。其一般形式可以表示为F(x, y, y') = 0,其中x和y是自变量,y'是y关于x的导数。这种形式的方程可以进一步分类,以揭示其解法的特性和技巧。首先,当方程能够通过分离变量的方法处理时,即y的导数可以单独写为y与x的函数形式,我们称之...
求助常微分方程的计算题,求写下过程,谢谢!
分离变量 -dy\/y²=2x\/(x²-1)dx 1\/y=ln|x²-1|+C
常微分的题
解:∵y2dx+(x+1)dy=0 ==>dy\/y2=-dx\/(x+1)==>-1\/y=-ln│x+1│-C (C是积分常数)∴1\/y=ln│x+1│+C ∵初值条件是x=0,y=1 ∴1=0+C ==>C=1 故满足初值条件x=0,y=1的特解是 1\/y=ln│x+1│+1。
帮忙做两份《常微分方程》,《概率论与数理统计》的题!高分悬赏!_百度知...
一、1--6:xvxxx,二、1:2阶 4:通解为:y=C1*exp(2x)+C2*exp(-2x)
常微分方程
首先,你那个全微分方程写错了,du是等于u对x求偏导乘以dx加上u对y求偏导乘以dy,即du=ux(x,y)+uy(x,y).而你写的f'(x)当中的f并不代表u,因为u是关于x,y的函数,所以你自己写的那些就都错了,f(x)只是一个关于x的未知函数
麻烦各位帮忙做一下这两道常微分题 第一 和第三个 谢谢了
1 ydy\/√(1-y^2)=dx\/(3x^2)积分得:-√(1-y^2)=-1\/(3x)-C 通解:√(1-y^2)=1\/(3x)+C 3 dx\/dy=(x\/y)+y^2 这是以x为未知函数的一阶线性微分方程,由通解公式:通解:x=y(C+∫ydy)=y(C+y^2\/2)
季邓安斯: 常微分方程通解公式:y'+P(x)y=Q(x),Q(x)称为自由项.一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数.线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1.一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法,通过常数变易法,可求出一阶线性微分方程的通解.
长垣县19738339744: 高数的微分方程 - ?
季邓安斯: 原发布者:我是谯中建Array学习目的:理解并掌握微分方程的基本概念,主要包括微分方程的阶,微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等学习重点:常微分方程的基本概念,常微分方程的通解、特解及初始条件学习难点:微分方程的...
长垣县19738339744: 数学小论文提纲请大家帮我写一份数学小论文的提纲.注意是提纲,不是范文!最好是苏教版六年级上册的内容,当然别的也可以,只要不是太弱智就行.(再... - ?
季邓安斯:[答案] 吃一堑长一智 第一自然段:写一次考试中,你考了99分,因为粗心,才和成功失之交臂. 第二自然段:写这道题的题目,以及你是怎么错的,还有正确解法. 第三自然段:总结全文,用简洁的语言描述一下你以后该怎么做,点名文章中心. 温馨提示:...
长垣县19738339744: 怎么样学习常微分方程 - ?
季邓安斯: 一、认真安排好你的时间.首先你要清楚一周内所要做的事情,然后制定一张作息时间表.在表上填上那些非花不可的时间,如吃饭、睡觉、上课、娱乐等.安排这些时间之后,选定合适的、固定的时间用于学习,必须留出足够的时间来完成正...
长垣县19738339744: 数学中的常微分方程的历史意义是什么,谁能告诉我? - ?
季邓安斯: 微分方程的理论和方法是从17世纪末开始发展起来的,很快就成为了研究自然现象的强有力工具最初,牛顿应用微积分学及微分方程对丹麦天文学家第谷浩瀚的天文观测测进行进行了分析运算,得到万有引力利利利利并进一步导出了开普勒行星运动三定律.记住微分方程,在力学天文物理和科学技术中取得了巨大成就就如质点动力学和刚体动力学的问题,就很容易化为微分方程的求解问题常微分 常微分方程也在许多方面获得了日新月异的应用.它的历史意义是承上启下吧.😹😹
长垣县19738339744: 大家觉得微分方程难不难 - ?
季邓安斯: 当然是微分方程更难.1、作为一般专业,将高等数学,也就是微积分,称为《数学分析》, 其实是夸大其词,忽悠糊弄而已.一般只有数学系的微积分,才能称为《数学分析》,即使是一般 的应用数学、师范类的高等数学,称作《数学分析...
长垣县19738339744: 高数学什么内容的呢?请列出提纲?
季邓安斯: 函数与极限、导数及其应用、不定积分、定积分与其应用、空间解析几何、多元函数微分学、二重积分、微分方程,级数等. 第1章函数、极限和连续 1.1函数 1.2基本初等函数和初等函数 1.3极限 1.4函数的连续性 第2章一元函数微分学 2.1导数...
长垣县19738339744: 谁能给写一下常微分方程的学习心得包含题目跟解题方法?急件 - ?
季邓安斯: 常微分方程不但是数学的基础,同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础.学习中在加强基本理论教学的同时也要注意要技能的培养和训练,高阶线性方程和线性方程组完全可以统一起来处理,采用矩阵和向量等工具,使叙述上显得十分方便.
长垣县19738339744: 高等数学包括主要的内容? ?
季邓安斯: 1空间解析几何向量代数直线平面旋转曲面二次曲面空间曲线 2微分学极限连续导数微分偏导数全微分导数与微分的应用 3积分学不定积分定积分广义积分二重积分三重积分平面曲线积分积分应用 4无穷级数数项级数不清幂级数泰勒级数傅立叶级数 5常微分方程可分离变量方程一阶线性方程可降解方程常系数线性方程 6概率与数理统计随机事件与概率古典概率一维随机变量的分布和数字特征数理统计的基本概念参数估计假设检验方差分析一元回归分析 7向量分析 8线性代数行列式矩阵n维向量线性方程组矩阵的特征值与特征向量二次型
长垣县19738339744: 大学高数 常微分方程 - ?
季邓安斯: 令y=xu 则y'=u+xu'方程化为:x²u²+x²(u+xu')=x²u(u+xu')u+xu'=xuu'xu'(u-1)=udu(u-1)/u=dx/xdu(1-1/u)=dx/x积分:u-ln|u|=ln|...