数列题！！ 2an-an·a(n-1)=1，a1=1/2。 求通项，不要先猜想再用数学归纳法证明，我要直接证明的过程！！

已知数列An，A1=1,A(n+1)=An/1+2An猜想通项公式数学归纳证~

你的猜想是正确的，证明：
当n=1时，a1=1/(2*1-1)=1成立，当n=2时，a(1+1)=a2=a1/(1+2*a1)=1/3=1/(2*1-1)
所以当n=1 n=2时，猜想成立。
假设当n=k（k为自然数）时，猜想成立，即ak=1/(2k-1)
字数不够，你追问。

a1=1
a2=1+1/2=3/2
a3=3/2+1/6=5/3
a4=5/3+1/12=7/4
a5=7/4+1/20=9/5
......
猜想：an=(2n-1)/n
证明（不用归纳法）：
由题意，an=a(n-1)+1/n(n-1)
由于1/n(n-1)=1/(n-1) - 1/n
所以：an + 1/n = a(n-1) + 1/(n-1)
令数列bn=an + 1/n，则上式变换为 bn=b(n-1)
而b1=a1+1/1=2，所以数列bn的每一项都是2。
bn=an+1/n=2
an=2-1/n=(2n-1)/n
证明完毕

【注：用“不动点理论”。】解：由递推式2an-an×a(n-1)=1可知其特征方程为2x-x²=1.解得x1=x2=1.∴2an-an×a(n-1)=1.===>an×[2-a(n-1)]=1.===>an=1/[2-a(n-1)].===>(an)-1={1/[2-a(n-1)]}-1=[a(n-1)-1]/[2-a(n-1)].令bn=1/(an-1).则bn=b(n-1)-1.b1=-2.∴数列{bn}是首项为-2，公差为-1的等差数列，∴bn=-2-(n-1)=-(n+1).===>1/(an-1)=-(n+1).===>an=n/(n+1).n=1,2,3...

常规思路就是先猜想，后证明，为啥非要别的方法的，你的公式又不特殊

2an-an*a(n-1)=1
-> an(2-a(n-1))=1
-> an=1/(2-a(n-1)) ---- (1)
由(1)可得： a(n-1)=1/(2-a(n-2)), a(n-2)=1/(2-a(n-3))...a2=1/(2-a1) ---- (2)
将(2)代入(1)可得： an=1/(2-(1/(2-a(n-2)))
化简为： an=(2-a(n-2))/(3-2a(n-2))
依次将a(n-2),a(n-3)...a2代入可得：
an=(3-2a(n-3))/(4-3a(n-3))=...=[(n-1)-(n-2)a1]/[n-(n-1)a1]
由a1=1/2可得：
an=[n-1-(n-2)/2]/[n-(n-1)/2]=[n/2]/[(n+1)/2]=n/(n+1)

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巴塘县18694234715： 数列an满足a1=2,2an - an*a(n+1)=1,求数列an的通项公式 - ？
童诗宁欣： 解法1:2an-an*a(n+1)=1 即:a(n+1)=(2an-1)/an , 令x=(2x-1)/x 解得不动点为x=1 a(n+1)/[a(n+1)-1] =[(2an-1)/an ]/[(2an-1)/an -1] =(2an-1)/(an-1)=1+an/(an-1) 令bn=an/(an-1)则有 b(n+1)=1+bn ,b1=2 bn=2+(n-1)=n+1 an/(an-1)=n+1 an=1+1/n 解法2:...

巴塘县18694234715： 数列2an - a(n+1)= - 1求an - ？
童诗宁欣： 解:2an+1=a(n+1)2an+2=a(n+1)+12(an+1)=a(n+1)+1(a(n+1)+1)/(an+1)=2 所以数列{an+1}为等比数列 首项为a1+1 公比为2 所以a(n)+1=(a1+1)2^(n-1) a(n)=(a1+1)2^(n-1) - 1① 你题目还缺少一个a1等于几的条件 应该是你漏打了吧 你找找 自己代入①中

巴塘县18694234715： 数列构造法:例题 a1=2. an=2an - 1+1 求an - ？
童诗宁欣： 2an=a(n-1)+n+12an-2n=a(n-1)-n+12(an-n)=a(n-1)-(n-1)(an-n)/[a(n-1)-(n-1)]=1/2,为定值.有通用的方法的.可设2an+2m(含n的式子)=a(n-1)+m(与等式左边对应,除了n换成n-1外,其余都相同的式子) 求出m就可以了. 例如本题:2an=a(n-1)+n+1 令2an-2mn=a(n-1)-m(n-1) 即2an=a(n-1)+2mn-mn+m=a(n-1)+mn+m=a(n-1)+m(n+1) 则有m(n+1)=n+1 m=1 代回去:2an-2n=a(n-1)-(n-1)

巴塘县18694234715： 数列an中a1=2,2an - an - 1=0判断an - 1是否为等比数列？
童诗宁欣：是的 2an-a(n-1)-1=0 2an-1=a(n-1) 2an-2=a(n-1)-1 an/a(n-1)=2 且a1不等于0 所以an是一个首项为2,公比为2的等比数列 望采纳,谢谢

巴塘县18694234715： 在数列{an}中,a1=3/2,2an - a(n - 1)=6n - 3,求通项an - ？
童诗宁欣： 由原式得: 2〔an-(6n-9)〕=a(n-1)-〔6(n-1)-9〕 令bn=an-(6n-9) 则2bn=bn-1 {bn}构成以b1=9/2为首项,以1/2为公比的等比数列 故bn=9/2·(1/2)^n-1 =9/2^n an=9/2^n+6n-9 这种题目构造的技巧性强,可用待定系数法,还要注意结构

巴塘县18694234715： 一道高中数列题？
童诗宁欣： 解答: (1)A=0 ∴ an+An=B, ① an-1+An-1=B ② ①-②得: an-a(n-1) +[An-A(n-1)]=2an-a(n-1)=0 an=1/2 · a(n-1) ∴an是公比为1/2的等比数列 (2)设公差为d, 则an-a(n-1)=d ③ an+Sn=An+B, ④ an-1+Sn-1=A(n-1)+B ⑤ ④-⑤得:2an-a(n-1)...

巴塘县18694234715： 数列构造法:例题 a1=2.an=2an - 1+1 求an - ？
童诗宁欣：[答案] 2an=a(n-1)+n+1 2an-2n=a(n-1)-n+1 2(an-n)=a(n-1)-(n-1) (an-n)/[a(n-1)-(n-1)]=1/2,为定值. 有通用的方法的. 可设2an+2m(含n的式子)=a(n-1)+m(与等式左边对应,除了n换成n-1外,其余都相同的式子) 求出m就可以了. 例如本题: 2an=a(n-1...

巴塘县18694234715： 已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,且(2a(n+1) - an)/(2an - a(n+1))=ana(n+1),求数列{an}的通项公式 - ？
童诗宁欣： [2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=ana(n+1)2an²a(n+1)-ana(n+1)²=2a(n+1)-an2an²a(n+1)-2a(n+1)=ana(n+1)²-an2a(n+1)(an²-1)=an[a(n+1)²-1] [a(n+1)²-1]/a(n+1)=2(an²-1)/an {[a(n+1)²-1]/a(n+1)}/[(an²-1)/an]=2,为定值.(a1² -1)/a1=(3²-1)...

巴塘县18694234715： 在各项均不为零的等差数列an 中,若a(n+1)—an^2+a(n - 1)=0则S(2n - 1) - 4n=?？
童诗宁欣： a(n+1)-an^2+a(n-1)=0 a(n-1)+a(n+1)=an^2 由于是等差数列则a(n-1)+a(n+1)=2an 所以an^2=2an an=2或an=0,不合题意,舍. 所以an=2 则S(2n-1)=2(2n-1)=4n-2 即:S(2n-1)-4n=-2

巴塘县18694234715： 一道高中数学题:如何用待定系数法做下题:已知数列an中,a(n+1)=2an - 1,a1=2,求an. - ？
童诗宁欣： 解: 从a(n+1)=2an-1 ① 可以有 a(n+1)+k=2(an+k) 即a(n+1)=2an+k ②①和②必须等价 于是k=-1 所以就是a(n+1)-1=2(an-1)即【a(n+1)-1】/【an-1】=2 于是就有一个新数列{an-1} 他是一个公比是2的等比数列 首项a1-1=2-1=1 于是通项 an-1=(a1-1)*q^(n-1)=1*2^(n-1)=2^(n-1) 也就是 an=2^(n-1)+1 还有什么地方不懂 或者还有什么疑问 可以追问