双曲线和抛物线的性质与公式 还有解题技巧 100分送上！

抛物线的性质和公式及题型~

面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点F叫做抛物线的焦点.
定直线l 叫做抛物线的准线.
新授内容
一,抛物线的范围: y2=2px
y取全体实数
X
Y
X 0
二,抛物线的对称性 y2=2px
关于X轴对称
没有对称中心,因此,抛物线又叫做无心圆锥曲线. 而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线
X
Y
新授内容
定义 :抛物线与对称轴的交点,叫做抛物线的顶点
只有一个顶点
X
Y
新授内容
三,抛物线的顶点 y2=2px
所有的抛物线的离心率都是 1
X
Y
新授内容
四,抛物线的离心率 y2=2px
基本点:顶点,焦点
基本线:准线,对称轴
基本量:P(决定抛物线开口大小)
X
Y
新授内容
五,抛物线的基本元素 y2=2px
+X,x轴正半轴,向右
-X,x轴负半轴,向左
+y,y轴正半轴,向上
-y,y轴负半轴,向下
新授内容
六,抛物线开口方向的判断
例.过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切.
分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.
证明:如图.
所以EH是以AB为直径的圆E的半径,且EH⊥l,因而圆E和准线l相切.
设AB的中点为E,过A,E,B分别向准线l引垂线AD,EH,BC,垂足为D,H,C,
则|AF|=|AD|,|BF|=|BC|
∴|AB|=|AF|+|BF|
=|AD|+|BC|=2|EH|
求满足下列条件的抛物线的方程
(1)顶点在原点,焦点是(0,-4)
(2)顶点在原点,准线是x=4
(3)焦点是F(0,5),准线是y=-5
(4)顶点在原点,焦点在x轴上,
过点A(-2,4)
练习
小 结 :
1,抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应
关系以及判断方法
2,抛物线的定义,标准方程和它
的焦点,准线,方程
3,注重数形结合的思想.

1抛物线与双曲线比较：

（1）从圆锥曲线的定义来看，虽然双曲线与抛物线有其共同点，但由于比值e的取值不同，从而双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异；

（2）曲线的延伸趋势不相同，当抛物线y2=2px（p>0）上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于x轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与x轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率；

（3）双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线。

双曲线：1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）.
　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称.
　　3、顶点：A(-a,0), A＇(a,0).同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.
　　B(0,-b), B＇(0,b).同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
　　4、渐近线：
　　焦点在x轴：y=±(b/a)x.
　　焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角
　　令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e）
　　令θ=0,得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
　　令θ=PI,得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
　　这两个x是双曲线定点的横坐标.
　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
　　x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　（注意化简一下）
　　直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.
　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
　　则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
　　则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
　　带入上式：
　　ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　现在可以用θ取代式中的θ’了
　　得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　5、离心率：
　　第一定义： e=c/a 且e∈（1,+∞).
　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
　　6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
　　右焦半径：r=│ex-a│
　　左焦半径：r=│ex+a│
　　7、等轴双曲线
　　一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
　　8、共轭双曲线
　　双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线.
　　几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
　　特点：（1）共渐近线
　　（2）焦距相等
　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
　　9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c
　　焦点在y轴上：y=±a^2/c
　　10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中,过焦点并垂直于轴的弦）
　　d=2b^2/a
　　11、过焦点的弦长公式：
　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角]
　　12、弦长公式
抛物线：1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.
　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
　　特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
　　当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
　　当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
　　|a|越大,则抛物线的开口越小.
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
　　当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
　　可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
　　事实上,b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到
.
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
　　抛物线与y轴交于（0,c）
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ= b^2;-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
　　Δ= b^2;-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
　　_______
　　Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a）
　　当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
　　当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
　　7.特殊值的形式
　　①当x=1时 y=a+b+c
　　②当x=-1时 y=a-b+c
　　③当x=2时 y=4a+2b+c
　　④当x=-2时 y=4a-2b+c
　　8.定义域：R
　　值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷）
　　奇偶性：偶函数
　　周期性：无
　　解析式：
　　①y=ax^2+bx+c[一般式]
　　⑴a≠0
　　⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下；
　　⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）；
　　⑷Δ=b^2-4ac,
　　Δ＞0,图象与x轴交于两点：
　　（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）；
　　Δ＝0,图象与x轴交于一点：
　　（-b/2a,0）；
　　Δ＜0,图象与x轴无交点；
　　②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
　　此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a；
　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
　　对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
　　此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.
二者的解题技巧你需要去搜一些相关的经典例题然后去查看过程得出解题技巧 许多好的例题百度文库里面都有。
希望我的回答可以帮到你！望采纳！

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弓夏贝诺： 双曲线的标准公式为:X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴所以应该旋转45度...

宿州市13934719964： 双曲线的几何性质有哪些 - ？
弓夏贝诺： 抛物线只有一个焦点,椭圆和双曲线有两个焦点.抛物线只有一条对称轴,一个开口,一个顶点,椭圆和双曲线有两个对称轴,双曲线有两个开口,椭圆四个顶点,双曲线两个顶点.

宿州市13934719964： 双曲线与抛物线有什么不同,有什么同? - ？
弓夏贝诺：[答案] 1抛物线与双曲线比较: (1)从圆锥曲线的定义来看,虽然双曲线与抛物线有其共同点,但由于比值e的取值不同,从而双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异; (2)曲线的延伸趋势不相同,当抛物线y2=2px(p>0)上的点趋于无穷远时,它在...

宿州市13934719964： 抛物线 椭圆 双曲线的光学性质是什么?怎样证明 - ？
弓夏贝诺：[答案] 椭圆,双曲线,抛物线统称为圆锥曲线,因为它们都是平面与圆锥表面在不同情况下的交线. 椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射后,反射都经过椭圆的另一个焦点. 双曲线的光学性质:如果光源或声源放在双曲...

宿州市13934719964： 双曲线的定义 - ？
弓夏贝诺：[答案] 双曲线. (1)定义①平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0 ②到定点煌距离和定直线的距离之比为e(e>1). (2)几何性质: 焦点: 顶点: 对称轴:x轴,y轴 离心率: e越大,开口越阔. 准线: 渐近线: 焦半径:双曲线上任意一点M...

宿州市13934719964： 椭圆 双曲线 抛物线 准线 通经 焦半径 弦长 过焦点弦长 公式椭圆 双曲线 抛物线de 准线 通经 焦半径 弦长 过焦点弦长 公式 - ？
弓夏贝诺：[答案] 准线:椭圆和双曲线:x=(a^2)/c 抛物线:x=p/2 (以y^2=2px为例) 焦半径: 椭圆和双曲线:a±ex (e为离心率.x为该点的横坐标,小于0取加号,大于0取减号) 抛物线:p/2+x (以y^2=2px为例) 以上椭圆和双曲线以焦点在x轴上为例. 弦长公式:设弦...

宿州市13934719964： 椭圆,双曲线,抛物线,三角函数的公式谁知道这些么? - ？
弓夏贝诺：[答案] 椭圆:x平方/a平方+y平方/b平方=1 双曲线:x平方/a平方-y平方/b平方=1 抛物线:y平方=2px 三角函数cosA=b平方+c平方-a平方/2bc

宿州市13934719964： 线性几何里的圆,双曲线,抛物线的公式是什么啊,关系呢? - ？
弓夏贝诺： 符号:^平方 /除以 圆:(X-h)^2+(Y-k)^2=R^2 圆心坐标(h,k),半径R 双曲线:Y=1/X 抛物线:Y=aX^2+bX+c 圆是闭合曲线,二元二次方,双曲线有两条渐进线,一元反比方程,抛物线只有一个开口方向,一元二次方