高数问题： 怎样说明一个序列是收敛的？

高数中证明收敛数列极限时设ε<1的目的~

设ε<1是不必的,也不需要1/4(1/ε-2)大于零
为ε设置上限一般只在ε过大会出现给负数开方等类似情况
[ ]是取整,但即使理解为+1确实跳掉一项,却并不影响证明
学习这部分的时候重点是理解和学习这种思维方式,对细节的处理知道就行,不用深究

用定义吧。
对任意ε>0，存在对应的K1，使任意k>K1时，│a(2k)-A│<ε；
存在K2，使任意k>K2时，│a(2k+1)-A│<ε。
取 K0＝max{K1,K2}，N=2K0+1。
当n＞N=2K0+1时，
①若n为偶数2k，则n＞N=2K0+1 就是 2k＞2K0+1＞2K1+1＞2K1，k＞K1，
恒成立 |a(n)-A|=|a(2k)-A│<ε；
②若n为奇数2k+1，则n＞N=2K0+1 就是 2k+1＞2K0+1＞2K2+1，k＞K2，
恒成立 |a(n)-A|=|a(2k+1)-A│<ε，
这样，无论n是偶数还是奇数，恒成立 |a(n)-A|＜ε.

数列收敛定义：

文字表述：足项后，数列各项与一个数的距离可以小于任意正数。

数学表述：

对于任意正数ε>0，若存在正整数N，使得当一切的n>=N有，|an-A|<ε，那么就说数列an收敛于A，记作lim(n->∞) an =A， 

函数收敛意义一样。 

好吧，继续回答你那到例题的证明。

证明的关键是凑N。 

实际上，这个数列总可以在足N项后的所有项小于一个等比数列Aq^n，其中A是前N0项的乘积，q是第一个小于1的因子。详见图片解答：

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黔东南苗族侗族自治州19837196032： 怎样说明一个序列是收敛的?比如拿一道例题:已知lim(n→+∞) |x|^n/n!=0 令an=|x|^n/n!x不等于0 证明序列{an}收敛 - ？
望妹醋酸：[答案] 数列收敛定义:文字表述:足项后,数列各项与一个数的距离可以小于任意正数.数学表述:对于任意正数ε>0,若存在正整数N,使得当一切的n>=N有,|an-A|<ε,那么就说数列an收敛于A,记作lim(n->∞) an...

黔东南苗族侗族自治州19837196032： 一道简单的高数证明题 用单调收敛原理证明序列是收敛的 - ？
望妹醋酸： <1+1-1/2+1/2-1/3……+1/(n-1)-1/n 就可以了

黔东南苗族侗族自治州19837196032： 关于高数,如何判断一个数列是否收敛 - ？
望妹醋酸： 显然收敛,当n→∞时,1/n→0,而(-1)^n在1与-1之间无穷的震荡. 也就是说,[(-1)^n]* 1/n从原点2边趋于0 证明嘛,用定义. 其实还有其他判断方法,我给出的是一种分析法, 非要说判断方法的话,你会学Cauchy极限存在准则(当然还有其他准则)的,以后分析法难判断或者不能的时候,可以用它们. 找出函数的极限可以这么做,在你证明了一些函数的极限后(其实书上很多这种特殊极限),就把他们的极限记住(比如连续函数的极限值=那一点的函数值),然后再用极限的四则运算法则.特殊函数,比如刚才那种,可以用分析法. 其实多做点题吧.

黔东南苗族侗族自治州19837196032： 高数,数列的收敛性证明若一个数列{xn}的奇数子列和偶数子列都收敛于a,那么请证明{xn}也收敛于a. - ？
望妹醋酸：[答案] 用定义吧. 对任意ε>0,存在对应的K1,使任意k>K1时,│a(2k)-A│K2时,│a(2k+1)-A│

黔东南苗族侗族自治州19837196032： 如何证明图中数列是收敛数列 - ？
望妹醋酸： 证明数列极限存在的方法很多,有单调有界必收敛准则,有两边夹法则,一般需要根据具体的问题具体分析,采取相应的方法.这里的数列极限存在可以用用极限的定义

黔东南苗族侗族自治州19837196032： 数学分析: 如何证明这个收敛性? - ？
望妹醋酸： 你说的数列{An}应该默认是实数域R中的吧~ 这个定理其实就是Weirstrass-Bolzano定理:(无穷)有界数列必有收敛子列.Weirstrass-Bolzano定理证明方法有很多,区间套原理证明比较经典和简单.这里不详述,你可以在任何一本数学分析的课...

黔东南苗族侗族自治州19837196032： 高数中的数列收敛充要条件是什么?关于发散与收敛的问题.急求,谢谢 - ？
望妹醋酸： 1)数列收敛的基本定义 设{Xn}为一已知数列,A是一个常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正整数 N=N(ε),使得当 n>N 时,有 |Xn -A| < ε ,则称数列{Xn}当n趋于无穷时以A为极限,或称数列{Xn}收敛于A.2)夹挤定理 如果有三个...

黔东南苗族侗族自治州19837196032： 高数极限问题关于数列发散还是收敛我搞不清楚怎么判断数列收敛……虽然书上有定义……T^T求指点为什么第一题里面的A是发散的? - ？
望妹醋酸：[答案] 你这么理解吧,数列如果收敛的话那么它就趋向于一个唯一的值也就是当这个数列到第无穷项时,我们能判断出它的值大概是多少就如书上讲的它有一个极限.像A里面,我们是可以判断出当第无穷多的项时,它的值不是0就是1.但是,...

黔东南苗族侗族自治州19837196032： 高数 收敛性如何判断 - ？
望妹醋酸： 只是判断吗?n趋于无穷大,lnn趋于无穷大,那个f(n)的函数趋于无穷大,而且n>=2,f(n)递减,算f'(n)可知,所以收敛