圆的难题

数学难题（圆）~

先连接EF，过D作DG⊥BC于G
易知△DEF为等边三角形，各个角的度数为：∠ADF=∠B=45度，∠FDE=60度，所以∠BDE=75度，∠DEB=60度；
DG⊥BC，所以∠EDG=30度，△BDG为等腰直角三角形；
设EG=x，则的DE=DF=2x,DG=BG=√3 x,BD= √6x,AD=3 √2- √6x
根据DF//BC可得AD/AB=DF/BC，即2x/4=(3 √2- √6x)/3 √2
解得DE=2x=8 √3-12
望采纳~~~

这个定点是A(2－√3，0)或A(2＋√3，0)。


解答如下：

设Q(2，t)，则圆Q的方程是：(x－2)²＋(y－t)²=R²，其中R=|OQ|－1=√(4＋t²)－1。令x=2，得y=t±[√(4＋t²)－1]，这个分别是点M、N的纵坐标y1、y2，而点M、N的横坐标都是2。
设存在定点A(m，n)，使得∠MAN为定值。则MA的斜率k1=[n－y1]/[m－2]，NA的斜率k2=[n－y2]/[m－2]，由于∠MAN为定值，则tan∠MAN=|k1－k2|/|1＋k1k2|={[n－y1]/[m－2]－[n－y2]/[m－2]}/{1＋[(n－y1)(n－y2)]/[(m－2)²]}应该是和t无关的常数，如这样的m、n找到，则说明定点A是存在的，反之则不存在。化简下，注意到y1、y2都是可以用t的式子代入的，得：
tan∠MAN={2[m－2][√(4＋t²)－1]}/{(m－2)²＋n²－2tn＋2√(4＋t²)－5}
={2(m－2)√(4＋t²)－2(m－2)}/{2√(4＋t²)＋[(m－2)²＋n²－2tn－5]}。
要使得这个式子最后是和t无关的，则分子和分母对应的t的系数成比例，从而有：
①分母上2tn=0对t恒成立，则n=0；
②2(m－2)：2=[－2(m－2)]：[(m－2)²－5]，解得m=2±√3。
从而A(2±√3，0)。

证明：（1）∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线
∴EB⊥BC
又∵AD⊥BC
∴AD‖BE
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC
∴
∴
∵G是AD的中点
∴DG=AG
∴BF=EF

（2）证明：连接AO，AB
∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90°
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点
∴AF=FB=EF
∴∠FBA=∠FAB
又∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∵BE是⊙O的切线
∴∠EBO=90°
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°
∴PA是⊙O的切线

（3）解：过点F作FH⊥AD于点H
∵BD⊥AD，FH⊥AD
∴FH‖BC
由（1），知∠FBA=∠BAF
∴BF=AF
由已知，有BF=FG
∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形
∵FH⊥AD
∴AH=GH
∵DG=AG
∴DG=2HG
即
∵FH‖BD，BF‖AD，∠FBD=90°
∴四边形BDHF是矩形，BD=FH
∵FH‖BC，易证△HFG∽△DCG
∴
即
∵⊙O的半径长为3
∴BC=6
∴
解得BD=2
∴BD=FH=2
∵
∴CF=3FG
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG
∴CF2=BF2+BC2∴（3FG）2=FG2+（6 ）2
解得FG=3（负值舍去）
∴FG=3．

第一题还是有误啊！第二题设BCA=a,BEC=pi/2-a,OAC=BAC=a,PAE=pi/2-a,BFA+BOC=BFA+2a=pi-2a+2a=pi.所以四点共圆，故AP垂直OA。第三题只要利用中线公式设定变量为角就容易求得答案！

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