如何证明一组勾股数中必然有一个数是5的倍数？ 要求详细证明过程。
一组勾股数里必有一个是3的倍数 对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n^2-1、n^2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。n^2,n^2+1,n^2-1中必有一个为3的倍数. 以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n^2+2n、2n^2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理证明。这三个数中也是必有一个为3的倍数.
我们不妨设任一组勾股数：a,b,c，且令a^2+b^2=c^2
再引进两个整数p>q>0，令a=p^2-q^2，b=2pq，则c=p^2+q^2
假设a,b,c里边没有一个是5的倍数。
那么a=p^2-q^2=(p+q)(p-q)，b=2pq，因此p,q,p+q和p-q都不是5的倍数。
于是，设任意非负整数m,n
p和q的组成形式只有：
1.p=5m+1，q=5n+2(或p=5m+2，q=5n+1)
2.p=5m+1，q=5n+3(或p=5m+3，q=5n+1)
3.p=5m+2，q=5n+4(或p=5m+4，q=5n+2)
4.p=5m+3，q=5n+4(或p=5m+4，q=5n+3)
因此对于c=p^2+q^2
1.c=(5m+1)^2+(5n+2)^2=25m^2+10m+25n^2+20n+5【或c=(5m+2)^2+(5n+1)^2=25m^2+20m+25n^2+10n+5】，是5的倍数。
对于2.3.4情况同理。
与假设矛盾。
故a.b.c中必然有一个为5的倍数。
即一组勾股数中必然有一个数是5的倍数。
得证。
希望对您有帮助。
b
c均为整数；
并且假设c
b
a都不能被3整除（不然就已经满足题意了）；
则令c＝3p＋1（或者2）
，b＝3q＋1（或者2），a＝3m＋1（或2），m，p，q均为整数；
得a²＝c²－b²＝（c－b）（c＋b）；
若c和b在上式里面加的都是1或者2，则c－b＝3（p－q），为3的倍数；
若c和b在上式里面一个加1，一个加2，则c＋b＝3（p＋q＋1），为3的倍数；
而且另外一个因式为整数，因此a²可以被3整除------这个结论是关键！
而另外一方面a²＝（3m＋1）²＝9m²＋6m＋1＝3（3m²+2m）+1，不能被3整除，矛盾（若a=3m+2同过程可证）。
由以上矛盾可知假设是不成立的，因此
a
b
c至少有一个为3的倍数
我的回答应该比较详细吧。不给我分无所谓，不过希望您肯定下我的回答~~
一组本原的勾股数(x,y,z)具有下述关系：
x=2ab,y=a^2-b^2,z=a^2+b^2或
x=a^2-b^2,y=2ab,z=a^2+b^2
其中a>b>0,(a,b)=1,a,b一奇一偶。
三者乘积：
2ab(a^2-b^2)(a^2+b^2)
=2a^5b-2ab^5
=2ab-2ab
（费马小定理）
=0(mod5)
故必有一个是5的倍数。
非本原的勾股数组是由本原勾股数组同时扩大某个倍数得到的，因此结论仍成立。
给一个比较简略的方法。
a^2+b^2=c^2
任意 整数平方数 模5的余数都是 0,1,-1
然后用反证法。假设一组勾股数不存在一个数是5的倍数
那么前a^2+b^2模5就只能是2,-2,0
0的这个情况舍弃（如果这样第三个数就一定是5的倍数）
那么2,-2这种情况可能出现吗，不可能。因为没有一个平方数模5的余数是2，-2（已证）
正方形中,求证PA2+PB2=PC2+PD2
P应该是正方形（矩形也行）内或外任意一点，另外结论是证明“PA^2＋PC^2＝PB^2＋PD^2”吧？如不对，请检查补充一下条件和结论 证明：过P作AD的垂线，分别交AD、BC于E、F 则显然有AE＝BF，DE＝CF 根据勾股定理得：PA^2＝PE^2＋AE^2 PC^2＝PF^2＋CF^2 PB^2＝PF^2＋BF^2 PD^2＝...
杨倩调经：[答案] 勾股数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数. ①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起九没有间断过.计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股...
富县18657994044： 如何证明一组勾股数中必然有一个数是5的倍数? - ？
杨倩调经：[答案] 我们不妨设任一组勾股数:a,b,c,且令a^2+b^2=c^2 再引进两个整数p>q>0,令a=p^2-q^2,b=2pq,则c=p^2+q^2 假设a,b,c里边没有一个是5的倍数. 那么a=p^2-q^2=(p+q)(p-q),b=2pq,因此p,q,p+q和p-q都不是5的倍数. 于是,设任意非负整数m,n p和q...
富县18657994044： 一组勾股数中,一定有一个是偶数,除此以外,勾股数还具有哪些规律? - ？
杨倩调经：[答案] 首先勾股定理满足A^+B^=C^ 进一步探究发现,2A^+2B^=2c^,举个列,如3,4,5是勾股数,2倍的3加上2倍的4等于2倍的5,即6.8.10 还有就是楼主说的 勾股数,有3,4,5,6.8,10 7 ,24,25 5,12,13 9,40,41等 这些都是常见的
富县18657994044： 如何证明一组勾股数中必然有一个数是5的倍数? 要求详细证明过程. - ？
杨倩调经： 我们不妨设任一组勾股数:a,b,c,且令a^2+b^2=c^2 再引进两个整数p>q>0,令a=p^2-q^2,b=2pq,则c=p^2+q^2假设a,b,c里边没有一个是5的倍数. 那么a=p^2-q^2=(p+q)(p-q),b=2pq,因此p,q,p+q和p-q都不是5的倍数.于是,设任意非负整数...
富县18657994044： 如何证明一组勾股数中必然有一个数是3的倍数? 要求详细证明过程. - ？
杨倩调经： 假设A²+B²=C²,A B C均为整数; 并且假设C B A都不能被3整除(不然就已经满足题意了); 则令C=3P+1(或者2) ,B=3Q+1(或者2),A=3M+1(或2),M,P,Q均为整数; 得A²=C²-B²=(C-B)(C+B); 若C和B在上式里面加的都是1或者2,...
富县18657994044： 证明一个勾股数组中,必定有一个数为3的倍数,有一个数为4的倍数,有一个数为5的倍数,要有过程!越快 - ？
杨倩调经： 我们知道勾股数组的表达式:m2-n2,2mn,m2+n2.现在我们对其中的三个数相乘: abc=(m2-n2)(2mn)(m2+n2) =2mn(m4-n4) =2mn[(m4-1)-(n4-1)] =2mn(m4-1)-2mn(n4-1) =2m(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+2n(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)-10m(n-1)n(n+1)-10n(m-1...
富县18657994044： 如何证明勾股数中一定有一个是偶数 - ？
杨倩调经： 解答:由勾股定理得:a²+b²=c²,如果a、b、c都是奇数,左边:a²、b²都是奇数,它们的和=偶数,而右边:c²是奇数,∴左边≠右边,矛盾,∴勾股数中一定有一个偶数. 或三个都是偶数,但不可能有两个偶数,证明的方法同上.
富县18657994044： 为什么勾股数组中必有一个数是5的倍数? - ？
杨倩调经：[答案] 我们不妨设任一组勾股数:a,b,c,且令a^2+b^2=c^2再引进两个整数p>q>0,令a=p^2-q^2,b=2pq,则c=p^2+q^2假设a,b,c里边没有一个是5的倍数.那么a=p^2-q^2=(p+q)(p-q),b=2pq,因此p,q,p+q和p-q都不是5的倍数.于是,设任意非...
富县18657994044： 求证:任何一组勾股数中至少包含一个合数 - ？
杨倩调经： 假设a,b,c是勾股数,c>b≥a,abc都是质数,a^2+b^2=c^2 那么:c只能是奇素数(c不可能为2),c^2为奇数,那么a^2和b^2必然有一个是偶数,一个是奇数,那么只有a=2才是偶质数.但是根据勾股数的性质,以2为短直边的数,构不成勾股数.因此不成立.故假设不成立,即abc不可能都是质数,得证.BTW:实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证.显然斜边与一直变都是奇数的情况下,2n2+2n只可能为大偶数.
富县18657994044： 勾股数组一定有一个是偶数吗说明理由 - ？
杨倩调经：[答案] 是的,假设一组勾股数中有2个是奇数,他们的平方也都是奇数,无论和还是差都是偶数,这个偶数只能是偶数的平方. 所以,勾股数组中一定有一个数是偶数.
