高一数学 等差数列
解：证明：：1）
｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列
设 an=a+(n-1)d （其中a为首项，d为公差）
所以 n*an=a*n+d*n^2-nd
所以 a1+2×a2+3×a3+...+n×an
=a(1+2+3+...+n)+(1+4+9+...+n*n)d-（1+2+3+…+n）d
=[a*(n+1)*n]/2+[n(n+1)(2n+1)]/6-[d*n*(n+1)]/2
所以 bn=(a1+2*a2+3*a3+...+na4)/(1+2+3+...+n)
=a-d+d*(2n+1)/3
所以 b(n+1)-bn=d(常数)
即 ｛bn｝必为等差数列
2）证明：｛bn｝为等差数列时，｛an｝为等差数列；
设 bn=b+(n-1)d (其中 b为首项，d为公差)
Tn=a1+2*a2+3*a3+...+nan
则 Tn=[bn*n*(n+1)]/2
所以 T(n+1)-Tn=[b(n+1)*(n+2)*(n+1)]/2-bn*n*(n+1)]/2
={(n+1)*[b(n+1)*(n+2)-bn*n]}/2
={(n+1)*[(bn+d)*(n+2)-bn*n]}/2
=={(n+1)*[2bn+d*(n+2)]}/2
又因为 T(n+1)-Tn=（n+1）*a(n+1)
所以 a(n+1)=[2bn+d*(n+2)]/2
即 a(n+1)=（2b+3*n*d）/2
即 an=b+[3(n-1)d]/2
因为 a（n+1）-an=（3d）/2 (常数)
所以 ：｛bn｝为等差数列时，｛an｝为等差数列
综上 ：｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列；反之亦然。
即斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
【斐波那契数列别名】
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;
两个月后，生下一对小兔民数共有两对;
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：0123456789101112
兔子对数：1123581321345589144233
表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）
【斐波那挈数列通项公式的推导】
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
【C语言程序】
main()
{
long fib[40] = {1,1};
int i;
for(i=2;i<40;i++)
{
fib[i ] = fib[i-1]+fib[i-2];
}
for(i=0;i<40;i++)
{
printf("F%d==%d
", i, fib);
}
return 0;
}
【Pascal语言程序】
var
fib: array[0..40]of longint;
i: integer;
begin
fib[0] := 1;
fib[1] := 1;
for i:=2 to 39 do
fib[i ] := fib[i-1] + fib[i-2];
for i:=0 to 39 do
write('F', i, '=', fib[i ]);
end.
【数列与矩阵】
对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定义
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
对于以下矩阵乘法
F(n+1) = 1 1 * F(n)
F(n) 1 0 F(n-1)
它的运算就是
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
设1 为B，1 1为C
1 1 0
可以用迭代得到:
斐波那契数列的某一项F(n)=(BC^(n-2))1
这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义.
另矩阵乘法的一个运算法则A¬^n(n为偶数)=A^(n/2)* A^(n/2).
因此可以用递归的方法求得答案.
时间效率：O(logn)，比模拟法O(n)远远高效。
代码（PASCAL）
{变量matrix是二阶方阵, matrix是矩阵的英文}
program fibonacci;
type
matrix=array[1..2,1..2] of qword;
var
c,cc:matrix;
n:integer;
function multiply(x,y:matrix):matrix;
var
temp:matrix;
begin
temp[1,1]:=x[1,1]*y[1,1]+x[1,2]*y[2,1];
temp[1,2]:=x[1,1]*y[1,2]+x[1,2]*y[2,2];
temp[2,1]:=x[2,1]*y[1,1]+x[2,2]*y[2,1];
temp[2,2]:=x[2,1]*y[1,2]+x[2,2]*y[2,2];
exit(temp);
end;
function getcc(n:integer):matrix;
var
temp:matrix;
t:integer;
begin
if n=1 then exit(c);
t:=n div 2;
temp:=getcc(t);
temp:=multiply(temp,temp);
if odd(n) then exit(multiply(temp,c))
else exit(temp);
end;
procedure init;
begin
readln(n);
c[1,1]:=1;
c[1,2]:=1;
c[2,1]:=1;
c[2,2]:=0;
if n=1 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
if n=2 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
cc:=getcc(n-2);
end;
procedure work;
begin
writeln(cc[1,1]+cc[1,2]);
end;
begin
init;
work;
end.
【数列值的另一种求法】
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。
【数列的前若干项】
1 1
2 2
3 3
4 5
5 8
6 13
7 21
8 34
9 55
10 89
11 144
12 233
13 377
14 610
15 987
16 1597
17 2584
18 4181
19 6765
20 10946
a9=24+8d
a10=24+9d
a10<0≤a9
24+9d<0≤24+8d
d<-8/3 且d≥-3
-3≤d<-8/3
a1+9d<0
24+9d<0
d<-8/3
由题意得a1+9d<0,即24+9d<0,解不等式得d<-24/9
24-8d>0; d<3;
24-9d<0;d>8/3
8/3<d<3.
-3<等于d<-9/3
蛮景必瑞： (1)我们这样设数列An=q^(n-1)*A1 得S3=A1+A1*q+A1*q^2 S6=A1+A1*q+A1*q^2+A1*q^3……A1*q^5=A1+A1*q+A1*q^2+(A1+A1*q+A1*q^2)*q^3 S6=3S3 得A1+A1*q+A1*q^2+(A1+A1*q+A1*q^2)*q^3=3(A1+A1*q+A1*q^2) 得q^3=2 S9=A1+A1*q+...
嵊州市18032186940： 高一数学等差数列 - ？
蛮景必瑞： 题目有错误吧 bn=(a1+2*a2+3*a3+...+na4)/(1+2+3+...+n),应该更正为 bn=(a1+2*a2+3*a3+...+nan)/(1+2+3+...+n),吧 证明:由题可知设an=a1+(n-1)d,所以Sn=(a1+an)*n/2=n*a1+(n-1)*n*d/2(等差数列求和公式2) 则bn=(a1+2*a2+3*a3+...+...
嵊州市18032186940： 高中数学等差数列? - ？
蛮景必瑞： 由an为等差数列,∵a8+a9=a1+a16>0,∴S16>0,题意知a8小于0,2a8同理a9>0,2a9>0,即a1+a17>0,得S17>0,则Sn>0,n最小值为16,选D
嵊州市18032186940： 高一数学:等差数列？
蛮景必瑞： ,b,lg6,2lg2+lg3依次成等差数列 则有,2*lg6=b+2lg2+lg3, 所以b=-(2lg2+lg3-2*lg6)=-(2lg2+lg3-2(lg2+lg3))=lg3 2*b=a+lg6 所以,a=2*b-lg6=2lg3-lg6=lg(9/6)=lg(3/2)=lg3-lg2
嵊州市18032186940： 高一数学等差数列？
蛮景必瑞： 设6个内角度从小到大依次为a,b,c,d,e,f, 则a+f=b+e=c+d, a+b+c+d+e+f=720度,得到a+f=240度.而f=200 度,故最小度为40度
嵊州市18032186940： 高一数学等差数列 - ？
蛮景必瑞： S5=5,等差为c, c*(1+2+3+4+5)=S5=5c=1/3An=n/3Sn=77=c* sum(i=1,n) i= ((1+n)/2)*n*cn=21Sn/n=(1/n) sum(i=1,n) i/3=(1/(3n)) ((1+n)/2)*n=(1+n)/6Tn=sum(j=1,...
嵊州市18032186940： 高一数学,等差数列 - ？
蛮景必瑞： 1、通项公式为1/n(n+1) 2、设有数列{bn},使得bn=an-2^n-1,则an=bn+2^n+1,代入原式,发现bn是等比数列,可求出通项公式.
嵊州市18032186940： 高一数学习题(等差数列)？
蛮景必瑞： 1\设等差数列{an}的项数为2m+1,公差为d, 则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项,偶数项有m项. 依题意,有: S奇=(m+1)a(m+1)=216.........① S偶=mam+1=192..............② ①÷②: (m+1)/m=216/192 解得:m=8 ∴数列共有2m+1=17项,把m=8代入②,得: a9=24, 又∵a1+a17=2a9, ∴a17=2a9-a1=47,且d=(a17-a9)/(17-9)=23/8 an=1+(n-1)*23/8=(23n-15)/8(n∈N*,n≤17)
嵊州市18032186940： 数学~高一!!等差数列!~~？
蛮景必瑞： a1an+1-a2an=a1(a1+nd)-(a1+d)[a1+(n-1)d]=(n-1)d 若的d>0,则a1an+1-a2an>0,即a1an+1>a2an 若的d<0,则a1an+1-a2an<0,即a1an+1<a2an
嵊州市18032186940： 高一数学 等差数列 急求!!!!!？
蛮景必瑞： 你好 楼主 1、S8=a1+a2+a3+……a8 =(a1+a8)*8/2 根据等差性质a1+a8=a2+a7=a4+a5 S8=(a4+a5)*8/2 =48 2、解: 由题意得: an=a1+(n-1)/2=3 Sn=(a1+3)n/2=15/2 即2a1+n=7 a1*n+3n=15 解得 a1=2 n=3 或 a1=-3/2 n=10 又∵a1>0 ∴a1=2 n=...
