勾股定理的几种证明方法
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和
加菲尔德证法、加菲尔德证法变式、青朱出入图证法、欧几里得证法、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、赵爽弦图证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法、梅文鼎证法、向明达证法、杨作梅证法、李锐证法
例,如下图:
设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC²。
把这两个结果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。
扩展资料
性质:
1、勾股定理的证明是论证几何的发端;
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,即它是第一个把几何与代数联系起来的定理;
3、勾股定理导致了无理数的发现,引起第一次数学危机,大大加深了人们对数的理解;
4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程,它引出了费马大定理;
5、勾股定理是欧氏几何的基础定理,并有巨大的实用价值,这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠,被誉为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。1971年5月15日,尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票,这十个数学公式由著名数学家选出的,勾股定理是其中之首。
1.
【证法1】(课本的证明)做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形...
2.
【证法2】(邹元治证明)以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角1ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼...
3.
【证法3】(赵爽证明)以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角1ab2三角形的面积等于.把这四个直角...
4.
【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角1ab形的面积...
勾股定理有哪6种证明方法?(详细)
而6^+8^=10^, 5^+12^=13^,…,即勾^+股^=弦^。是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?世界上许多数学家,先后用不同方法证明了这一性质。我国把它称为勾股定理。 勾股定理 : 直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方。即:a^+b^=c^ 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系,...
勾股定理怎么计算?
勾股定理公式是a的平方加上b的平方等于c的平方。如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为C,那么公式就是: a^2+b^2=c^2。勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数...
勾股定律的来历,历史及相关资料
二、相关资料 勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一...
关于勾股定理的来历
来源见下面:在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期...
用4种方法验证勾股定理(图文)
弦=(勾2+股2)(1\/2)亦即:c=(a2+b2)(1\/2)中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图...
什么是勾股定理
在中国,商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在印度,阿叶彼海特发明了“阿拉伯三角学”,给出了勾股定理的完整证明。而在中国,三国时期的赵爽给出了“勾股圆方图”,用勾股定理证明了圆与正方形的关系。在西方世界,欧几里德在《几何原本》中也证明了勾股定理。
勾股定理有几种证明方法?
从三本书中选两本送给小丽小青各一本一共有多少种送法:6种。
勾股定理的多种证明方法
90º.又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则 a^2+b^2=S+2 x 1\/2xab c^2=S+2x1\/2 x ab ∴ a^2+b^2=c^2.参考资料:百度百科-勾股定理 ...
勾股定理的由来
在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用敬迟演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定衫拆理亮塌李是人类...
最简单的勾股定理的证明方法是什么?
接下来的两个证明非常简单易懂,被认为是所有证明中最短、最简单的证明,因为从开始到结束只用了几行。但这些证明依赖于相似三角形的概念,要全面展开这个概念还需要大量的基础工作,这里就不再赘述。证法三:证法四:这一证法涉及到圆内相交弦定理:m·n=p·q(如左图),再看AB和CD垂直的情况...
潭贡奥九:[答案] 一,毕达哥拉斯证法 二,赵爽证法 三,将直角三角形与其它三角形拼成直角梯形,然后就根据梯形面积证出勾股定理.
克拉玛依区18926399882: 勾股定理的证明方法有几种? - ?
潭贡奥九:[答案] 由三百多种. 最简单的方法是: 构造一个正方形ABCD, 分别在AB、BC、CD、DA上截取AE=BF=CG=DH=a, 则可设EB=FC=GD=HA=b, 设HE=c, 易证:△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, ∴EF=FG=GH=c, ∴易证四边形EFGH是正方形. 由面积关...
克拉玛依区18926399882: 数学勾股定理的证明方法,至少七种.最好是比较常见的,不是也没关系.一定要带图,证明清楚. - ?
潭贡奥九:[答案] 证法1 作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使... 证法5(欧几里得的证法) 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设...
克拉玛依区18926399882: 勾股定理的12种证法 - ?
潭贡奥九: 证法1 如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它们的面积分别为c2,b2和a2.我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可.过C引CM‖BD,交AB于L,连接BC,CE.因为AB=AE,AC=AG...
克拉玛依区18926399882: 勾股定理的证明方法ppt - ?
潭贡奥九: 勾股定理的证明:在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名.首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊.1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图...
克拉玛依区18926399882: 什么叫勾股定理 有哪些方法可以用它证明题? - ?
潭贡奥九:[答案] 在任何一个直角三角形(RT△)中,两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方,这就叫做勾股定理.即勾的平方加股的平方等于弦的平方 勾股定理(6张).(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.)勾股定理是余弦定理的一个特例.这个定...
克拉玛依区18926399882: 勾股定理到底有多少种证明方法 - ?
潭贡奥九: 勾股定理有367种证明方法,最著名的有5种:【证法1】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于...
克拉玛依区18926399882: 勾股定理的证明方法有那些? - ?
潭贡奥九: 勾股定理的证明:在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名. 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊. 1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图,...
克拉玛依区18926399882: 求勾股定理的多种证法. - ?
潭贡奥九: 勾股定理又叫毕氏定理:在一个直角三角形中,斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和.据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过 4000 年!又据记载,现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明! 勾股定理是几何学中的明珠,所以...
克拉玛依区18926399882: 勾股定理的若干证明方法. - ?
潭贡奥九: 勾股定理又叫毕氏定理:在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和. 据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过 4000 年!又据记载,现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明! 勾股定理是几何学中的明珠,所...