为什么特征向量正交化并单位化后仍为原矩阵的特征向量

为什么特征向量正交化并单位化后仍为原矩阵的特征向量？跪求！谢谢好心人了。~

特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量
因为特征向量是对应齐次线性方程组的解
所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量
正交化所得向量与原向量等价
所以仍是特征向量
由此可知单位化后也是特征向量

是的，对于实对称矩阵而言Gram-Schmidt正交化不会破坏特征向量
首先你要知道实对称矩阵关于不同特征值的特征向量是相互正交的，所以在正交化过程中这一角度不会改变
然后对于重特征值而言，其特征向量经过线性组合之后仍然是同一个特征值对应的特征向量（只要这个向量非零），正交化过程相当于给特征子空间找一组标准正交基

1、因为特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量，特征向量是对应齐次线性方程组的解，所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量。正交化所得向量与原向量等价，所以仍是特征向量，由此可知单位化后也是特征向量。

2、特征向量定理：

谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。

在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。

扩展资料：

1、共轭特征向量：

一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。共轭特征向量和共轭特征值代表了和常规特征向量和特征值相同的信息和含义，但只在使用交替坐标系统的时候出现。

例如，在相干电磁散射理论中，线性变换A代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态。在光学中，坐标系统按照波的观点定义，称为前向散射对齐 (FSA)，从而导致了常规的特征值方程，而在雷达中，坐标系统按照雷达的观点定义，称为后向散射对齐 (BSA)，从而给出了共轭特征值方程。

2、特征问题：

一个广义特征值问题(第二种意义)有如下形式

其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解如下方程得到

形如A − λB的矩阵的集合，其中λ是一个复数，称为一个“铅笔”。 若B可逆，则最初的问题可以写作标准的特征值问题。但是，在很多情况下施行逆操作是不可取的，而广义特征值问题应该如同其原始表述来求解。

如果A和B是实对称矩阵，则特征值都为实数。这在上面的第二种等价表述中并不明显，因为矩阵B − 1A未必是对称的。

参考资料来源：百度百科 - 特征向量

因为特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量，特征向量是对应齐次线性方程组的解，所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量。正交化所得向量与原向量等价，所以仍是特征向量，由此可知单位化后也是特征向量。

特征向量定理

谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。

在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。

扩展资料

特征值和特征向量的应用

(1)可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中。例如，在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据；

(2)数学生态学家用来预测原始森林遭到何种程度的砍伐，会造成猫头鹰的种群灭亡；

(3)著名的图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。

(4)在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵，Google的PageRank算法就是一个例子。

参考资料来源：百度百科-特征向量

特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量
因为特征向量是对应齐次线性方程组的解
所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量
正交化所得向量与原向量等价
所以仍是特征向量
由此可知单位化后也是特征向量

如果λ1和λ2是实对称阵a的不同特征值
那么对于λ1的任何特征向量x1和λ2的任何特征向量x2总满足x1^tx2=0
也就是说不同特征值对应的特征向量永远是正交的，正交化过程不会改变这条性质
而对于一个重特征值对应的多个特征向量，不管怎么做正交缉唬光舅叱矫癸蝎含莽化还是特征向量

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宁晋县17079573153： 为什么特征向量正交化并单位化后仍为原矩阵的特征向量? - ？
吕任盐酸：[答案] 特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量 因为特征向量是对应齐次线性方程组的解 所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量 正交化所得向量与原向量等价 所以仍是特征向量 由此可知单位化后也是特征向量

宁晋县17079573153： 施密特正交化为什么还要单位化?谢谢大家! - ？
吕任盐酸： 施密特正交化是将线性无关向量构造标准正交向量,如果题目有要求就需要单位化,单位化的目的是为了得出正交阵(正交阵的列向量组是正交的单位向量). 施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法.从欧氏空间任意线性无关的向量组α1,α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组. 扩展资料: 施密特正交公式: 设{xn}是内积空间H中有限个或可列个线性无关的向量,则必定有H中的规范正交系{en}使得对每个正整数n(当{xn}只含有m个向量,要求n≤m),xn是e1,e2,…,en的线性组合.

宁晋县17079573153： 如图,为什么求出特征向量后要将特征向量分别单位正交化?(图三我不明白的地方已经做了批注) - ？
吕任盐酸： 只要求相似于对角阵,则不必对P正交化,但这时是P^-1AP为对角阵. 正交化后,P^T=P^-1,所以正交化的目的就是为了得出P^TAP=P^-1AP为对角阵.只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵,或说若一个方阵除了主对角线上的元素外...

宁晋县17079573153： 老师,在正交变换中为什么要将特征向量单位化?急 - ？
吕任盐酸： 将特征向量正交化, 那么题目一定是要求正交矩阵Q使得Q^-1AQ为对角矩阵因为Q的列向量来自A的特征向量 而Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量两两正交且长度为1 所以此时需将特征向量正交化和单位化

宁晋县17079573153： 为什么特征向量必须标准正交化 - ？
吕任盐酸： 不是必须的.如果题目要求只求出特征向量,那么不需要标准正交化.如果题目要求求出正交变换矩阵Q,那么必然要经过特征向量标准正交化这一步,否则仅由你用特征值求出来的特征向量所组成的矩阵只是矩阵P,而不是最终的Q.

宁晋县17079573153： 为什么矩阵正交化后要单位化 ？
吕任盐酸： 施密特正交化过程并不包含单位化.施密特正交化后再进行单位化是为了得到相似对角化所需的可逆矩阵.“施密特正交化后已经可以得到相似对角化所需的可逆矩阵”,但是对应的对角矩阵就不是由特征值构成的.

宁晋县17079573153： 为什么求二次型的正交变换矩阵时必须单位化?求二次型的标准形时,要求正交变换矩阵Q,在对特征向量进行施密特正交化以后,它们就已互相正交,此时... - ？
吕任盐酸：[答案] 这就是正交阵的基本定义,要求你要做正交变换的话就必须要做单位化.如果只要化为标准型的话,只要正交就行了,不必再单位化.至于为什么正交变化为什么要做单位化,这应该是它用作实际用途时所必须的,所以课本才让我们掌握,做题目的...

宁晋县17079573153： 线性代数,正交矩阵单位化相关.问:为什么很多题目里最后都是将α1.α2正交化,然后化成β1.β2, - ？
吕任盐酸： 那是将属于每一个特征值(多重)的线性无关的特征向量正交化 最后单位化 这样构成的矩阵才是正交矩阵

宁晋县17079573153： 跪谢!!!对称矩阵的特征向量的问题??? - ？
吕任盐酸： 同意三楼,简单的说,你说的r个特征值其实是1个特征值,其对应的特征向量有无穷多个(可组成线性空间),即方程组Ax=λx的解,其中要想找到线性无关的一组基,是有无数种可能的,施密特正交化只是在其中两种之间的一种线性变换而已,他们都是符合题意的特征向量.

宁晋县17079573153： 特征向量的模是不是1? - ？
吕任盐酸： 特征向量单位正交化了以后 模才是1