若斜率为k的两条平行直线l,m与曲线C相切并至少有两个切点,且曲线C上的所有点都在l,m之间(也可在直线l

作者&投稿:澹差 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
若斜率为k的两条平行直线l,m经过曲线C的端点于曲线C相切,且曲线C上的所有点都在l,m之间(也可~


(1)易知当x=1时y=1,当x=2时y=7
显然曲线C为夹在点(1,1)和(2,7)之间的抛物线段(如图)
则过点(2,7)斜率为-1的直线方程:y-7=-(x-2)(点斜式)
即x+y-9=0(一般式)
所以点(1,1)到直线x+y-9=0的距离为:d(-1)=√14/2(点到直线距离公式)

(2)易知当x=-1时y=0,当x=2时y=6
曲线C为夹在点(-1,0)与 (2,6)之间的曲线段

令x^3-x=0
则零点为x=-1,x=0,x=1
令y'=3x^2-1=0
则极值点为x=-√3/3,x=√3/3
当-1≤x√3/3时,y'>0,y递增
当-√3/3<x<√3/3时,y'<0,y递减
易知x=-√3/3为极大值点,x=√3/3为极小值点
曲线C的图象大致可确定:(如图)

令y'=3x^2-1>2
解得x1
表明曲线C上x>1的点的切线的斜率k>2
即零点x=1右侧部分上的点的斜率k>2

令1<x0≤2,该点对应的纵坐标为y0
令y0'=3x0^2-1=k
则x0=√[(k+1)/3],易知2<k≤11
此时y0=√[(k+1)/3]*(k-2)/3
则过(x0,y0)且斜率为k的直线方程为:
y-√[(k+1)/3]*(k-2)/3=k{x-√[(k+1)/3]}
即kx-y+√[(k+1)/3]*[-2(k+1)/3]=0
所以点(-1,0)到上述直线的距离为:
d(k)=|-k+√[(k+1)/3]*[-2(k+1)/3]|/√(1+k^2)
即d(k)=[k+2√3/9*(k+1)^(3/2)]/√(1+k^2)(2<k≤11)

由题知:圆心O(2,0),A(4,0) 斜率公式K=(y..-y.)/(x..-x.) 直线l与圆有两个切点设为C,D 连接OC,OD则OD垂直AD,OC垂直AC,因为OC=OD=1,OA=OA=2(由定义,30度角所对的边等于斜边的一半)所以角COA=角DOA=60度,由三角函数式求得C(2.5,(根号3)/2),D(2.5,-(根号3)/2) 代入斜率公式K属于[-(根号3)/3,(根号3)/3]

(Ⅰ)解:由f(x)=x+3cosx,得
f′(x)=1-3sinx,
∴k=f′(0)=1-3sin0=1,
又f(0)=0+3cos0=3,
∴P点坐标为p(0,3),
∴f(x)图象在点P处的切线方程是y-3=x-0,即y=x+3;
(Ⅱ)解:y=x+3和y=x-3是f(x)的“夹线”.
由(Ⅰ)知y=x+3是f(x)图象在点P处的切线,切点为(0,3).
∵f′(x)=1-3sinx=1,
∴sinx=0.
当x=2π时,y=2π+3,f(2π)=2π+3cos2π=2π+3,
∴(2π,2π+3)是函数y=x+3和f(x)=x+3cosx图象的另一个切点.
y=x+3和f(x)=x+3cosx的图象相切且至少有两个切点.
同理,(π,π-3),(3π,3π-3)是y=x-3和f(x)=x+3cosx图象的两个切点.
因此,两条平行直线与曲线相切并至少有两个切点.
令g(x)=x+3,h(x)=x-3.
对任意x∈R,g(x)-f(x)=(x+3)-(x+3cosx)=3-3cosx≥0,
∴g(x)≥f(x).
h(x)-f(x)=(x-3)-(x+3cosx)=-3-3cosx≤0,
∴h(x)≤f(x).
y=x+3和y=x-3是f(x)的“夹线”
d(1)=
|3?(?3)|



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