求证：椭圆上的一条焦点弦上的两条焦半径长度的倒数合为定值
设F为焦点，L为对应的准线，AB为焦点弦。AP、BQ、FR垂直于L，垂足为P,Q,R。
由圆锥曲线的定义，AF = e * AP, BF = e * BQ。
在梯形ABQP中，已知比值AF/BF，可以求出：
FR = AF/AB * BQ + BF/AB * AP
= AF/(AF+BF) / e * BF + BF/(AF+BF) / e * AF
= 2AF*BF/(AF+BF) / e
于是2/(e*FR) = 1/AF + 1/BF
法二：利用极坐标公式：r = ep/(1-e*cosθ).
焦半径r1,r2分别对应θ，θ+pi
于是1/r1 + 1/r2 = (1-e*cosθ)/ep + (1+e*cosθ)/ep = 2/ep
p定义为焦点到准线距离，与上面一致
不是，圆锥曲线（除圆外）中，焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦：过一个焦点的弦通径：过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦；双曲线和椭圆的通径是2b^2/a；抛物线的通径是2p(通径在数学中常用其一半进行运算）；椭圆中的通径是通过焦点最短的弦
设F为焦点，L为对应的准线，AB为焦点弦。AP、BQ、FR垂直于L，垂足为P,Q,R。由圆锥曲线的定义，AF = e * AP, BF = e * BQ。
在梯形ABQP中，已知比值AF/BF，可以求出：
FR = AF/AB * BQ + BF/AB * AP
= AF/(AF+BF) / e * BF + BF/(AF+BF) / e * AF
= 2AF*BF/(AF+BF) / e
于是2/(e*FR) = 1/AF + 1/BF
法二：利用极坐标公式：r = ep/(1-e*cosθ).
焦半径r1,r2分别对应θ，θ+pi
于是1/r1 + 1/r2 = (1-e*cosθ)/ep + (1+e*cosθ)/ep = 2/ep
p定义为焦点到准线距离，与上面一致
我的方法有点复杂，
设弦的方程为y=k(x-c)，然后与椭圆方程联立求解，消去y列出一个关于x的二元方程。
(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2k^2cx+a^2b^2c^2-1=0
然后方程的两个解就是两个焦点的横坐标。下面不要直接解出来，会更加麻烦。
设两条焦半径长为a和b。则a=(x1-c)√（k^2+1），b=(c-x2)√（k^2+1），
1/a+b/1化成关于x1和x2的关系式。然后利用韦达定理化简，得到一个常数。
结果应该是2a/b^2
计算量比较大
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
1/AF+1/BF=2/(ep)
求证:椭圆上的一条焦点弦上的两条焦半径长度的倒数合为定值
设F为焦点，L为对应的准线，AB为焦点弦。AP、BQ、FR垂直于L，垂足为P,Q,R。由圆锥曲线的定义，AF = e * AP, BF = e * BQ。在梯形ABQP中，已知比值AF\/BF，可以求出：FR = AF\/AB * BQ + BF\/AB * AP = AF\/(AF+BF) \/ e * BF + BF\/(AF+BF) \/ e * AF = 2AF*BF\/(AF...
求证:椭圆上的一条焦点弦上的两条焦半径长度的倒数合为定值
设两条焦半径长为a和b。则a=(x1-c)√(k^2+1),b=(c-x2)√(k^2+1),1\/a+b\/1化成关于x1和x2的关系式。然后利用韦达定理化简,得到一个常数。结果应该是2a\/b^2计算量比较大 热心网友| 发布于2013-01-11 举报| 评论 2 0 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 1\/AF+1\/BF=2\/(ep) ...
证明:椭圆的一个焦点向向M发射的光线的反射必过另一个焦点,
证明：①假设椭圆x²\/a² + y²\/b² = 1 有任一点M(x,y)，M点法线与F1M夹角 如果等于M点法线与F2M夹角，则满足光的反射定律，下面证明这两个夹角相等。②因为法线与该点切线垂直，故此，先求切线斜率：（要用到微分的知识）对x²\/a² + y²\/b²...
求证以椭圆任一条焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆内切 请不要出 ...
以椭圆：x²\/a²+y²\/b²=1为例，F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，在该椭圆上任取一点P，连接PF1，PF2；我们证一个，以PF1为直径的圆M和以A1A2为直径的圆O相内切。证：连接OM，则圆心距d=OM，设圆M的半径为r，圆O的半径为R 则r=PF1\/2，R=a，R-r=a...
请证明一下在椭圆上到一个焦点最近的点是椭圆长轴的一个顶点。
设椭圆上一点A到两焦点的距离分别为x，y。那么 x+y=2a, y-x <= 2c 其中第二个式子是因为三角形两边之差小于第三边，等号成立当且仅当A是椭圆的长轴顶点。第一式代入第二式得 2a-2x <= 2c, 即 x>= a-c，等号成立当且仅当A是椭圆的长轴顶点。
椭圆焦点三角形的证明
设P为椭圆上的任意一点，角F2F1P=α ，F1F2P=β， F1PF2=θ，则有离心率e=sin(α+β) \/ (sinα+sinβ)，焦点三角形面积S=b^2*（tan(θ\/2)）。证明方法一设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n，由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，e=c\/a=2c\/2a=mcosβ+ncosα \/ (m+n)，由正弦...
椭圆的焦半径公式
椭圆的焦半径公式的应用：1、计算焦点弦长：利用椭圆的焦半径公式，可以计算出椭圆上任意一条过焦点的弦的长度。通过将弦的两个端点坐标代入焦半径公式，并利用弦长公式进行计算，可以得到弦长的值。2、解决与焦点相关的问题：椭圆的焦半径公式可以帮助我们解决一些与焦点相关的问题，例如求焦点三角形的面积、...
椭圆的光学性质证明?
椭圆有个很好的光学性质：从一个焦点发出的光线，都会汇聚到另一个焦点。这种神奇的性质的证明，往往都是通过解析几何来说明。这里介绍一个简单的、只需要几何方法即可说明的证法。先描述下问题：已知椭圆的半长轴为a，焦点是F1F1和F2F2，在椭圆上任选一点C（共线情况好说，这里不妨认为C与F1F1、F2F2...
为什么从椭圆中的一个焦点发出的一条直线经过椭圆反射都经过另一个...
证明椭圆上某点的切线的垂线平分这点的两条焦半径所成的角。对于x^2\/a^2+y^2\/b^2=1的椭圆上一点P(x0,y0)切线的斜率是(-b^2x0)\/(a^2y0)因此可得某点切线垂线的斜率及两焦半径的斜率，再用倒角公式计算夹角可证得命题。应用有很多，最经典的是超声波碎石，把超声波源置于椭球面的一个焦...
椭圆的焦半径推导过程?椭圆上一点到焦点距离等于到哪一条直线的距离?过...
二、椭圆上一点到焦点距离等于到x轴直线的距离。三、解：（（（a^2）-xpc）^2）\/（（（a^2）+xpc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））\/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；=>（（（a^2）-xpc）^2）（（（xp+c）^2）+（yp^2））=（（（a^2）+xpc）^2）（（（xp-c）^2...
藤娜蒲公： 过左焦点为2a+e(x1+x2)(x1 x2为弦端点的横坐标)过右焦点为2a-e(x1+x2)推导公式用圆锥曲线统一定义.到焦点的距离比上到准线的距离=e
金凤区18421114859： 已知椭圆: 上一点 及其焦点 满足 ⑴求椭圆的标准方程.⑵如图,过焦点F 2 作两条互相垂直的弦AB, - ？
藤娜蒲公： 已知椭圆: 上一点 及其焦点 满足 ⑴求椭圆的标准方程.⑵如图,过焦点F 2 作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.①线段MN是否恒过一个定点?如果经过定点,试求出它的坐标,如果不经过定点,试说明理由;②求分别...
金凤区18421114859： 椭圆中一个点对应的两条焦半径之和怎么算? - ？
藤娜蒲公： 焦半径是椭圆上的点到焦点的连线,两条焦半径之和不就是2a嘛,从标准方程就看出来了.
金凤区18421114859： 为什么从椭圆中的一个焦点发出的一条直线经过椭圆反射都经过另一个焦点呢? - ？
藤娜蒲公：[答案] 有很多证法. 物理方法:费马原理:光从空间一点传到另一点是沿着光程为极值(极大值、极小值或恒定值)的路径传播的.光程是光在均匀介质中通过路程l与媒介折射率n的乘积nl.从光程恒定即可到处反射光线总是经过另一焦点. 数学方法: 证明椭...
金凤区18421114859： 求证 椭圆上任意一点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值题目有误!!!求证 椭圆上端点与过焦点点的弦的两端点连线的斜率之积为定值 - ？
藤娜蒲公：[答案] 没表达清楚: 定值是对固定的椭圆上一点还是对一条固定的焦点弦? 不过其实两种理解的结论都不成立, 请检查题目来源. 反例: 椭圆x²/25+y²/16 = 1, 左焦点F(-3,0). 过F的焦点弦x = -3端点为A(-3,16/5)和B(-3,-16/5), 椭圆上一点P(3,16/5), 可...
金凤区18421114859： 椭圆焦点弦长公式是什么? - ？
藤娜蒲公： 椭圆焦点弦长公式是描述椭圆上两个焦点之间的弦长的公式.在椭圆上取两个焦点P和Q,并在椭圆上连接它们,得到一条弦段PQ.这条弦段的长度可以通过椭圆的半长轴a、半短轴b和焦点之间的距离c来计算,公式如下:焦点弦长 = 2√(a² - c²)其中,a是椭圆的半长轴的长度,b是椭圆的半短轴的长度,c是焦点之间的距离,即焦距.在椭圆中,焦点弦长是一个固定值,与弦段的位置无关.
金凤区18421114859： AB是经过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1右焦点的任一弦,若过椭圆中心的弦,求证:|MN^2|:|AB|是定值怎么变成证明S△ABF≤CB? - ？
藤娜蒲公：[答案] AB公司通过原点,而A,B对称的起源 设A(X,Y),则B(-X,-Y) S△ABF = S△AFO + S△BFO = C * | Y | / 2 + C * | Y | / 2 = C * | Y | | Y |≤b ∴S△ABF≤CB
金凤区18421114859： 椭圆方程椭圆的两个焦点在y轴上时,怎么推导方程式 - ？
藤娜蒲公： 解:设椭圆上焦点F₁(0,c),下焦点F₂(0,-c);c为半焦距,c>0. 椭圆上的动点M(x,y);依椭圆定义有等式: ∣MF₁∣+∣MF₂∣=√[x²+(y-c)²]+√[x²+(y+c)²]=2a,a为长半轴之长,a>0. √[x²+(y-c)²]=2a-√[x²+(y+c)²] 两边平方得:x²+(y-...
金凤区18421114859： 焦点在x轴上的椭圆上有一点P(3,4),F1、F2是椭圆的两个焦点??? - ？
藤娜蒲公： 设F1(-c,0)F2(c,0),则PF1(-c-3,-4)PF2(c-3,-4) 因为PF1⊥PF2,所以(-c-3)(c-3)+16=0,得c=5 设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1将x=3,y=4带入方程 又a²-b²=c² 所以b²=20 a²=45 x²/45+y²/20=1
