如图 在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=3,E 、F分别是AB、CD的中点。设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC,求线段AP的长。
作者&投稿：单于郑 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
解答：（1）证明：设AG交MN于O，则∵A、G关于BM对称，∴AO=GO，AG⊥MN．∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，∴AE=BE，AE∥DF且AE=DF，AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1．∴MO=NO．∴AG与MN互相平分且互相垂直．∴四边形ANGM是菱形．（2）解：连接AF，∵AD∥EF∥BC，∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC．又∵EF⊥AB，AE=BE，∴AF=BF，∴∠AFE=∠EFB．∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC．∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC．∴∠PFA=∠FBC=∠PAF．∴PA=PF．∴在Rt△PFD中，根据勾股定理得：PA=PF=DF2+PD2＝1+(3?PA)2，解得：PA=53．
连接EF，∵点E、点F是AD、DC的中点，∴AE=ED，CF=DF=12CD=12AB=1，由折叠的性质可得AE=A′E，∴A′E=DE，在Rt△EA′F和Rt△EDF中，EA′＝EDEF＝EF，∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），∴A′F=DF=1，∴BF=BA′+A′F=AB+DF=2+1=3，在Rt△BCF中，BC=BF2?CF2=8=22．∴AD=BC=22．故答案为：22．
你好！原题应为：已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；
（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．
考点：菱形的判定；矩形的性质
．专题：计算题；证明题．
分析：（1）设AG交MN于O，由题意易得AO=GO，AG⊥MN，要证四边形ANGM是菱形，还需证明OM=ON，又可证明AD‖EF‖BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO；
（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA= 根号（DF的平方+PD的平方）=根号【1-（3-PA）的平方】，求得PA=3分之5 ．
解答：（1）证明：设AG交MN于O，则
∵A、G关于BM对称，
∴AO=GO，AG⊥MN．
∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，
∴AE=BE，AE‖DF且AE=DF，
∴AD‖EF‖BC．
∴MO：ON=AO：OG=1：1．
∴MO=NO．
∴AG与MN互相平分且互相垂直．
∴四边形ANGM是菱形．
（2）连接AF，
∵AD‖EF‖BC，
∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC．
又EF⊥AB，AE=BE，
∴AF=BF，
∴∠AFE=∠EFB．
∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC．
∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC．
∴∠PFA=∠FBC=∠PAF．
∴PA=PF．
∴PA= 根号（DF的平方+PD的平方）=根号【1-（3-PA）的平方】.
∴PA=3分之5 ．
点评：本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
祝楼主钱途无限，事事都给力！
没有图 只好把过程给你写下
设∠FBC=α 则∠PFB=3α 连接EF
EF//BC 所以 ∠FBC=∠EFB=α
∠EFP=∠PFB-∠EFB=2α 又 EF//AD 所以∠EFP=∠DPF=2α
在 三角形 DPF中 tan∠DPF=DF：DP=tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
在三角形FBC中 tan∠FBC=tanα=FC:BC=1/2 所以tanα=1/2
代入上式 得
tan∠DPF=DF：DP=tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)] = (2* 1/3)/[1-(1/3)^2]=3/4
所以 DF：DP=3/4 其中DF=1/2 CD =1 DP=4/3
AP=AD-DP=3- 4/3 =5/3
这个题主要是用到了 正切的 倍角公式
设∠FBC=α,则tanα=2/3
tan∠PFD=tan(π-3α)=-tan3α=
AP=-2/tan3α+3/2
解出tan3α即可
贯独炎可：[答案] 由折叠的性质可知,AB=AF=1, ∵矩形EFDC与矩形ABCD相似, ∴ FD AB= CD AD,即 AD-1 1= 1 AD, 整理得,AD2-AD-1=0, AD= 1±5 2, 由题意得,AD= 5+1 2, 故答案为: 5+1 2.
城子河区19244823696： 如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分别是AB的两个三等分点,AC,DF相交于点G,建立适当的平面直角坐标系,证明:E G⊥D F. - ？
贯独炎可：[答案] 以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 则A(0,0).B(3,0).C(3,1). D(0,1).E(1,0).F(2,0). 由A(0,0).C(3,1) 知直线AC的方程为:x-3y=0, 由D(0,1).F(2,0) 知直线DF的方程为:x+2y-2=0, 由 x−3y=0x+2y−2=0.得 x=65y=25.故点G点的坐标为...
城子河区19244823696： 如图,已知在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点E是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连接BE、CE.(1)若a=5,sin∠ACB= 5 13 ,解答下列问题:①... - ？
贯独炎可：[答案] (1)①∵在矩形ABCD中,∴∠ABC=90°,∵AB=a=5,sin∠ACB=513,∴ABAC=513,∴AC=13,∴BC=AC2-AB2=12,∴b=12;故答案为:12;②如图1,∵BE⊥AC,∴∠2+∠3=90°,又∵∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2,又∵∠BAE=∠ABC...
城子河区19244823696： 已知:如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,P为矩形ABCD的一个动点,它从点A出发沿ABC运动.设点P经过的路程为X,三角形APC的面积为S,当X等... - ？
贯独炎可：[答案] 根据题意,可知三角形APC的面积=三角形ABC的面积-三角形ABP的面积.三角形ABC的面积为:0.5*2*1=1;三角形APC的面积为:0.5*2*(x-2)=x-2;所以三角形APC的面积为:S=1-(x-2)=3-x;当S=0.5时,可得3...
城子河区19244823696： 如图,已知在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点E是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D),连结BE、CE. (1)若a=5,sin∠ACB=,求的长.(3分) (2)若a... - ？
贯独炎可：[答案] (1)① b = 12 ……………………………3分 (2)如图1,∵BE⊥AC ∴∠2 + ∠3 = 900 又∠1 + ∠3 = 900 ∴∠1 = ∠2 又∠BAE = ∠ABC = 900∴△AEB ∽△BAC ………………………5分∴ 即∴ ………………………………7分 (3)∵点E在线段...
城子河区19244823696： 如图,在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,∠ABC的平分线交AD于点F,E为BC的中点,连接EF.(1)求BF的长度;(2)求证:四边形ABEF是正方形;(3)设... - ？
贯独炎可：[答案] (1)在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,∵BF是∠ABC的平分线,∴∠ABF=∠EBF=45°,∴△ABF是等腰直角三角形,∵AB=1,∴BF=AB2+AF2=12+12=2;(2)证明:∵BC=2,E为BC的中点,∴BE=12BC=12*2=1,∴AF=BE,又∵在矩...
城子河区19244823696： 已知:如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=5,将矩形ABCD折叠,使点C落在边AB上的E处,折痕交DC边于点M,点F在DM上运动,当△AEF是腰长为5... - ？
贯独炎可：[答案] ∵四边形ABCD为矩形, ∴CD=AB=10,BC=AD=5, ∵矩形ABCD折叠,使点C落在边AB上的E处,折痕交DC边于点M, ∴∠MEB=∠C=90°,BC=BE=5, ∴四边形BCME为正方形, ∴ME=5, ∴AE=AB-BE=5, ∵点F在DM上运动,且△AEF是腰长为5的...
城子河区19244823696： 如图,在矩形ABCD中,已知AB=12,AD=8,如果将矩形沿直线l翻折后,点A落在边CD的中点E处,直线l与分别边AB、AD交于点M、N,那么MN的长为____... - ？
贯独炎可：[答案]如图,连结NE, ∵四边形ABCD为矩形, ∴CD=AB=12, ∵E为CD的中点, ∴DE=CD=6, 在Rt△ADE中,AD=8, ∴AE==10, ∵矩形沿直线l翻折后,点A落在边CD的中点E处,直线l与分别边AB、AD交于点M、N, ∴MN⊥AE,NA=NE, 设AN=x,则...
城子河区19244823696： 已知:如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,P为矩形ABCD的边上的一个动点,它从点A出发,沿A、B、C运动,若设点P经过的路程为x,三角形APC的面积... - ？
贯独炎可：[答案] 当动点P在AB边移动时,三角形APC的底边为AP=x,高等于BC此时其面积为S=AP*BC*1/2=2x*1/2 按题意有方程 S=x*1/2=1/2 解得x=1,当动点移动到BC边上时,三角形APC的底边为PC,高等于AB而此时他移动的路程为x=AB+PC,设PC长为y...
城子河区19244823696： 已知,如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,将一个直角的顶点P放置于对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边与BC和DC的延长线分别交于点E... - ？
贯独炎可：[答案] 1)延长BP交AD于F因为CE=CQ,所以角PFA=角PBE=角PEB=角CEQ=角Q=45度所以三角形ABF为等腰直角三角形,AF=AB=3三角形PFA相似于三角形PBC,所以PA/PC=FA/BC=3/4因为AC=5,所以PA=15/72)当PE/PB=CQ/BC时,三角形...
