高数题：z=x^2+y^2在点(1,1)处函数值减少最快的方向是?

数量场u=x^2 y^2 z在点m(1,-1,2)处减小最快的方向是~

grad(u)=2xy^2zi+2yx^2zj+x^2y^2k
代入x=1,y=-1,z=2可知。grad(u)=4i-4j+k 这是增长最快的。减小最快的就是-grad(u)

梯度方向，最快
Fx=3x²-y²
Fy=2xy
Fz=-1
梯度为（Fx,Fy,Fz）|(1,1,0)=(2,2,-1)
即
这个方向最快。

z = x² + y²，▽z = { 2x，2y }|(1,1) = { 2，2 }，增加最快的方向是{ 2，2 }，减少最快的方向是{ - 2，- 2 }。

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。以两个自变量为例，z=f(x，y) ，从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面，曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。

扩展资料：

注意事项：

如果该函数的参数是直接输入的参数值，那么参数必须是数字，文本格式的数字或逻辑值。如果为文本，该函数将会返回#VALUE!错误值。

如果该函数的参数是单元格引用或数组，那么该函数只会计算数字，其他类型的值都会被忽略不计。

如果参数中的数值的个数为偶数，那么MEDIAN函数将会返回中间位置两个数的平均值。

参考资料来源：百度百科-函数值

z = x² + y²，▽z = { 2x，2y }|(1,1) = { 2，2 }，增加最快的方向是{ 2，2 }，减少最快的方向是{ - 2，- 2 }。

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。以两个自变量为例，z=f(x，y) ，从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面，曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。

注意事项：

如果该函数的参数是直接输入的参数值，那么参数必须是数字，文本格式的数字或逻辑值。如果为文本，该函数将会返回#VALUE!错误值。

如果该函数的参数是单元格引用或数组，那么该函数只会计算数字，其他类型的值都会被忽略不计。

如果参数中的数值的个数为偶数，那么MEDIAN函数将会返回中间位置两个数的平均值。

以上内容参考：百度百科-函数值

就是梯度方向
z = x² + y²
▽z = { 2x，2y }|(1,1) = { 2，2 }
增加最快的方向是{ 2，2 }
减少最快的方向是{ - 2，- 2 }

曲面z=x^2+y^2+3在点m处的法向量
n=(2x,2y,-1)|m=(2,-2,-1)
写出切平面的方程
2(x-1)-2(y+1)-(z-5)=0
整理为
2x-2y-z+1=0
可以写成z=2x-2y+1
把平面和曲面z=x^2+y^2+2x-2y联立得到投影：x^2+y^2=1
所以体积
v=∫∫∫dxdydz=∫∫dxdy
∫(x^2+y^2+2x-2y->
2x-2y+1)dz
=∫∫(1-x^2-y^2)dxdy
=∫∫(1-r^2)rdrdθ
=∫(0->2π)dθ
∫(0->1)
(1-r^2)rdr
=π/2

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龙亭区18413724035： 曲面z=x^2+y^2在点(1,1,2)处的法向量为 - ？
章妮瓦松： 令F(x,y,z)=x²+y²-z 曲面法向量为n=(Fx,Fy,Fz)=(2x,2y,-1) Fx,Fy,Fz分别为F(x,y,z)对x,y,z的偏导数 把点(1,1,2)代入可得 方向向量n=(2.2.-1)

龙亭区18413724035： 求旋转抛物面z=x^2+y^2在点(1,2,5)切平面方程 - ？
章妮瓦松： 令f(x,y,z)=x^2+y^2-z 则f`x|(1,2,5)=2x|(1,2,5)=2 f`y|(1,2,5)=2y|(1,2,5)=4 f`z|(1,2,5)=-1|(1,2,5)=-1 故这一点的法向量为(2,4,-1) 切平面为2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0

龙亭区18413724035： 高数!求曲面Z=X平方+Y平方在点(1,1,2)处的切平面方程 - ？
章妮瓦松：[答案] 由Z=X平方+Y平方得:F(X,Y,Z)=Z-X平方-Y平方 F(X,Y,Z)分别对X,Y,Z求偏导得到:法向量n=(-2X,-2Y,1)带入点(1,1,2)得: n=(-2,-2,1)所以:-2(X-1)-2(y-1)+(Z-2)=0 化简得:2X+2Y-Z-2=0

龙亭区18413724035： 高数:曲线x^2+y^2=5,z=x^2 - y^2在点(1,2, - 3)处的切线方程为 - ？
章妮瓦松： x^2+y^2=5 在任意一点的法向:(x, y, 0) z=x^2-y^2 => x^2 - y^2 - z=0 在任意一点法向:(2x, 2y, -1) 将(1,2,-3)代入就得到两个法向为:{1, 2, 0} 和 {2, -4, -1} 叉乘得到直线的方向向量:{-2, 1, -8} 直线过点:(1,2,-3) 用点向式得到方程为:(x-1)/-2 = y-2 = (z+3)/-8

龙亭区18413724035： 求函数z=x^2+y^2在条件(x/a)+(y/b)=1下的极值 - ？
章妮瓦松： 根据函数形式可知,其有极小值 把条件x/a+y/b=1变成x=a(1-y/b)代入z=f(x,y)=x^2+y^2中,整理得到: z=(1+a^2/b^2)y^2-(2a^2/b)y+a^2 求极值就是函数z对求y导数,并令其为零: 2(1+a^2/b^2)y-(2a^2/b)=0 得到:y=a^2*b/(a^2+b^2) x=a(1-y/b)=a*b^2/(a^2+b^2) 则其极小值为: z=(a^2*b^2)/(a^2+b^2) 望采纳 谢谢 有任何不懂 请加好友 一一解答

龙亭区18413724035： 请各位高手帮忙解一道题:求z=x^2+y^2在条件x+y=1的条件极限 - ？
章妮瓦松： 这是个求条件极值问题,要用到拉格朗日乘数法. 解: 设L=x^2+y^2+λ(x+y-1) δL/δx=2x+λ=0 δL/δy=2y+λ=0 δL/δλ=x+y-1=0 解得:x=y=1/2 因此,当x=y=1/2时,z=x^2+y^2有最小值. (因为由拉格朗日乘数法解出来的一定是极值,至于是极大值还是极小值还得看最后的结果代入如何.δ指求偏导)

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龙亭区18413724035： 问个高等数学关于法线曲面z=x^2+y^2在点M(1,2,5)处的法线方程是=_______________. - ？
章妮瓦松：[答案] 微分得到 dz=2xdx+2ydy,即(2x,2y,-1)点乘(dx,dy,dz)为0 (2x,2y,-1)即为法线方向向量 带入M点,得到法线 (x-1)/2=(y-2)/4=-(z-5)

龙亭区18413724035： y=x^2, z=x^2+y^2在点(1,1,2)处的切线方程能不能写成x/1=(y+1)/2=(z+4)/6 - ？
章妮瓦松： 不能.直接写切线方程是(x-1)/1=(y-1)/2=(z-1)/4,点(0,-1,-4)不在切线上,所以切线方程不能是x/1=(y+1)/2=(z+4)/6,写成x/1=(y+1)/2=(z+3)/6是可以的

龙亭区18413724035： 设n是旋转抛物面z=x^2+y^2在点(1, - 1,2)处指向朝下的法向量,求f(x,y,z)=x+yz^2在点(0,1, - 2)处沿n的方 - ？
章妮瓦松： 先求出z=x^2+y^2在点(1,-1,2)处指向朝下的法向量,求法书上有,就不说了.然后用这个向量和f(x,y,z)=x+yz^2在点(0,1,-2)处各个偏导套公式即可,公式书上有.