椭圆上存在一点P,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求离心率范围。（简单方法，不用参数方程）

已知A是椭圆长轴的一个端点，O是中心，若椭圆上存在一点P有OP垂直于AP，求椭圆离心率的取值范围。~

因为A是这个椭圆的长轴端点，所以最后的临界就是在椭圆的圆周上只有关于X轴对称的两个点是符合要求的，
可以设这时候
直角端点的坐标为（x,y)，椭圆方程为（X^2/A^2）+（Y^2/A^2-C^2）=1，其中^2是平方的意思
然后这时候运算公式是互相垂直的两条直线斜率相乘之积等于-1
所以有两个式子联立
（X^2/A^2）+（Y^2/A^2-C^2）=1
(Y/X)*(Y/X-A)=-1
然后消掉Y，得到
C^2X^2-A^3X+A^2(A^2-C^2)=0，只有一个根
最后代入离心率e=c/a，就能解出来e^2=0.5

半长轴的平方＝半短轴的平方＋半焦距的平方 离心率＝半焦距/半长轴
又在题中（设半长轴端点为A），PO与PA垂直，则PO^2+PA^2＝半短轴的平方＋半焦距的平方
即离心率＝PO/AO 又AO^2=PO^2+PA^2>=2POPA当PO=PA时成立
此时AO^2>=2PO^2 则PO/AO>=√2/2=离心率
又离心率<1 故有此结论

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镇远县18798068513： 设椭圆上存在一点P 它到椭圆中心和长轴一个端点的连线垂直 求椭圆离心率的取值范围以(A/2,0 )A/2为半径的圆与椭圆有交点不就决定了X扫码下载... - ？
仍映典沙：[答案] 以(A/2,0 )A/2为半径的圆与椭圆有交点不就决定了X解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答更多答案(1)

镇远县18798068513： 设椭圆上存在一点P,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的取值范围. - ？
仍映典沙： 不妨设椭圆是焦点在x轴上的标准方程,右顶点为A,由条件,点P在以OA为直径的圆上,且此圆与椭圆有两个交点(其中一个就是点A,另一个就是点P),且点P的横坐标必须<a.故联立方程组,可得点P的横坐标ab^2/(a^2-b^2)<a,得根号2/2<e<1,即为所起椭圆离心率的取值范围.

镇远县18798068513： 若椭圆上存在一点P,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率e的取值范围 - ？
仍映典沙： 设椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1,(a>b>0),P(acosθ,bsinθ), ∵θ≠90,∴不妨设0°∵点P到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直, ∴OP⊥PA, ∴(acosθ,bsinθ)?(acosθ-a,bsinθ)=0, ∴a2(cos2θ-cosθ)+b2sin2θ=0, 整理得 b2 a2 =1-e2 = cosθ-cos2θ sin2θ = cosθ(1-cosθ) 1-cos2θ = cosθ 1+cosθ , ∵0°∴e2=1- cosθ 1+cosθ = 1 1+cosθ ∈( 1 2 ,1), ∴e∈(2 2 ,1). ∴椭圆离心率e的取值范围是(2 2 ,1).

镇远县18798068513： 设椭圆上存在一点 p,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的 - ？
仍映典沙： 我来试试吧..直接给LZ用参数方程求解 解:设椭圆 x²/a²+y²/b²=1 (a>b) P(acosθ,bsinθ) 注意下θ范围,θ≠90,不妨设0 长轴端点A2(a,0) 由题,OP⊥PA (acosθ,bsinθ)·(acosθ-a,bsinθ)=0 a²[cos²θ-cosθ]+b²sin²θ=0 整理得 b²/a²=1-e²=(cosθ-cos²θ)/sin²θ =cosθ(1-cosθ)/(1-cos²θ) =cosθ/(1+cosθ) e²=1-cosθ/(1+cosθ)=1/(1+cosθ)∈(1/2,1) 从而e∈(√2/2,1)

镇远县18798068513： 已知椭圆上存在一点P,它到椭圆中心O的连线和它到长轴一个端点的连线互相垂直,则托预算内离心率的取值范围是？
仍映典沙： 直接给LZ用参数方程求解 解:设椭圆 x²/a²+y²/b²=1 (a>b) P(acosθ,bsinθ) 注意下θ范围,θ≠90,不妨设0<θ<90 长轴端点A2(a,0) 由题,OP⊥PA (acosθ,bsinθ)·(acosθ-a,bsinθ)=0 a²[cos²θ-cosθ]+b²sin²θ=0 整理得 b²/a²=1-e²=(cosθ-cos²θ)/sin²θ =cosθ(1-cosθ)/(1-cos²θ) =cosθ/(1+cosθ) e²=1-cosθ/(1+cosθ)=1/(1+cosθ)∈(1/2,1) 从而e∈(√2/2,1)

镇远县18798068513： 帮我解决一道数学题 谢谢？
仍映典沙： 设p点(acosx,bsinx).又设端点是(a,0).连接这几个点,根据勾股定理列出方程.是关于cosx的一元二次方程.方程有解,所以△>=0.解得b>=c.所以,接下来的你自己解吧!

镇远县18798068513： 已知椭圆的长短轴,椭圆上一点和中心连线与长轴的夹角,求该点到椭圆中心的距离? - ？
仍映典沙：[答案] 设椭圆的长短半轴长分别为a,b,a>b,椭圆焦点在x轴上,中心在原点P为椭圆上一点,PO长轴的夹角为θ设PO=r,那么P(rcosθ,rsinθ)代入椭圆方程x²/a²+y²/b²=1∴ r²cos²θ/a²+r²sin...

镇远县18798068513： 点A是椭圆长轴的右端点,点O是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P,使角OPA=90度,求椭圆离心率范围.谢… - ？
仍映典沙：[答案] 以椭圆中心和长轴一个端点为直径作圆 由题意知 椭圆与该圆有交点,该交点P满足题目要求 所以, a/2>b a>2b a^2>4b^2=4(a^2-c^2) 3a^23/4 e^2>3/4 e>√3/2 所以,椭圆的离心率的取值范围:(√3/2,1)

镇远县18798068513： 求一道椭圆题…椭圆上有一点P,过点p连接椭圆两焦点F1F2则角F1PF2为,度然后求这个三角形面积 - ？
仍映典沙： 解∵P点满足∠F1PF2=90°, ∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点, ∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点, ∵F1、F2是椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的焦点 ∴以F1F2为直径的圆的半径r满足:r=c≥b,两边平方,得c2≥b2 即c2≥a2-c2?2c2≥a2 两边都除以ea2,得2e2≥1, ∴e≥2 2 ,结合0

镇远县18798068513： 已知一个椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在一点P, - ？
仍映典沙： 记线段PF1的中点为M,椭圆中心为O 连接OM,PF2则有PF2=2OM2a-2√(c^2-b^2)=2b a-√(2c^2-a^2)=√(a^2-c^2)1-√(2e^2-1)=√(1-e^2) 解得e^2=5/9,e=√5/3