数学排列组合这类的题如何做

怎么做数学排列组合的题目~

我读高二刚接触这些问题，解决这些问题应遵守三大原则:先特殊后一般的原则、先选后排的原则、先分类后分步的原则。常用到的方法有捆绑法（元素相邻）、插空法（元素不能相邻）、隔板法（用于不定方程整数解等）、直接法（正面难就用反面去解）、间接法（也叫排除法、穷举法（对于较少元素是适用）等，要善于反面与正面的逆用，还有分组与分配、徐色等问题你自己去搞稿吧。

回答：关键是要理解，去体会，站在宏观的角度（类似于从高往下看）去看待要解决的问题。举个例子

书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。

解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：
3×5+3×6+5×6=63（种）。
仔细揣摩三个题目解题步骤，可以发现解决排列组合题目的思维方式是：需不需要”分类“？需要几个”步骤“？
总之关键就是要去理解体会这种思维方式，这个思维方式就是解决问题可以一步步的来，一步步解决，不能一下子考虑很多项，要一项一项的逐一分析

这是详细资料：有耐心的可以看一下，很详细的。排列组合的基本理论和公式　　排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． 　　(一)两个基本原理是排列和组合的基础 　　(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． 　　(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法． 　　这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 　　这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． 　　(二)排列和排列数 　　(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 　　从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． 　　(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 　　当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ 　　(三)组合和组合数 　　(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 　　从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 　　(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 　　这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的． 　　一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 　　(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； 　　(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； 　　(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； 　　(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 　　二、两个基本计数原理及应用 　　(1)加法原理和分类计数法 　　1．加法原理 　　2．加法原理的集合形式 　　3．分类的要求 　　每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 　　(2)乘法原理和分步计数法 　　1．乘法原理 　　2．合理分步的要求 　　任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 　　[例题分析]排列组合思维方法选讲 　　1．首先明确任务的意义 　　例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 　　分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 　　设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 　　又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2），因而本题为180。 　　例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 　　分析：对实际背景的分析可以逐层深入 　　（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 　　（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 　　（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 　　从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 　　∴ 本题答案为：=56。 　　2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 　　例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。 　　分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 　　第一类：A在第一垄，B有3种选择； 　　第二类：A在第二垄，B有2种选择； 　　第三类：A在第三垄，B有一种选择， 　　同理A、B位置互换 ，共12种。 　　例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。 　　(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 　　分析：显然本题应分步解决。 　　（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法； 　　（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。 　　（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法； 　　（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。 　　例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。 　　分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。 　　例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 　　分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。 　　以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。 　　第一类：这两个人都去当钳工，有35种； 　　第二类：这两人有一个去当钳工，有75种； 　　第三类：这两人都不去当钳工，有75种。 　　因而共有185种。 　　例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 　　分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。 　　抽出的三数含0，含9，有32种方法； 　　抽出的三数含0不含9，有24种方法； 　　抽出的三数含9不含0，有72种方法； 　　抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。 　　因此共有32+24+72+24=152种方法。 　　例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。 　　分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有362880种停车方法。 　　3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 　　例9．六人站成一排，求 　　(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数 　　(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 　　分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。 　　第一类：乙在排头，有种站法。 　　第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法， 　　共+种站法。 　　（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。 　　第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。 　　第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。 　　第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。 　　共+2+=312种。 　　例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 　　分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。 　　第一步：第五次测试的有种可能； 　　第二步：前四次有一件正品有中可能。 　　第三步：前四次有种可能。 　　∴ 共有种可能。 　　4．捆绑与插空 　　例11. 8人排成一队 　　(1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻 　　(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 　　(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻 　　分析：（1）有种方法。 　　（2）有种方法。 　　（3）有种方法。 　　（4）有种方法。 　　（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。 　　用间接解法：全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻，共--+=23040种方法。 　　例12. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 　　分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即。 　　例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种? 　　分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。 　　∴ 共=20种方法。 　　4．间接计数法.(1)排除法 　　例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形? 　　分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。 　　所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数， 　　∴ 共种。 　　例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? 　　分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 　　∴ 共-12=70-12=58个。 　　例16. l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数? 　　分析：由于底数不能为1。 　　（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。 　　（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log2为底4=log3为底9，log4为底2=log9为底3, log2为底3=log4为底9, log3为底2=log9为底4. 　　因而一共有53个。 　　(3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题 　　例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢? 　　分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。 　　（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， ∴ 共=120种。 　　例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法? 　　分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。 　　若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。 　　例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法? 　　分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而共=20种。 　　5．挡板的使用 　　例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? 　　分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。 　　6．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。 　　例21. 从0，l，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数? 　　分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。 　　（一）两个选出的偶数含0，则有种。 　　（二）两个选出的偶数字不含0，则有种。 　　例22. 电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法? 　　分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有种。 　　（二）选择10层中的四层下楼有种。 　　∴ 共有种。 　　例23. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数， 　　(1)可组成多少个不同的四位数? 　　(2)可组成多少个不同的四位偶数? 　　(3)可组成多少个能被3整除的四位数? 　　(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么? 　　分析：（1）有个。 　　（2）分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。 　　∴ 共+种。 　　（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选 　　0，1，2，3 　　0，1，3，5 　　0，2，3，4 　　0，3，4，5 　　1，2，4，5 　　它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96种。 　　（4）首位为1的有=60个。 　　前两位为20的有=12个。 　　前两位为21的有=12个。 　　因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。 　　7．分组问题 　　例24. 6本不同的书 　　(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? 　　(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ 　　(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ 　　(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? 　　(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法? 　　分析：（1）有中。 　　（2）即在（1）的基础上除去顺序，有种。 　　（3）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。 　　（4）有种。同（3），原因是甲，乙，丙持有量确定。 　　（5）有种。 　　例25. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。 　　分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。 　　第一类：平均分成3人一组，有种方法。 　　第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。 　　（二）再考虑分别上两辆不同的车。 　　综合（一）（二），有种。 　　例26. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有________种. 　　分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。 　　其中涉及到平均分成四组，有C（5，3）种分组方法。 可以看成5个元素三个板不空的隔板法 　　（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A(4,4)种， 　　由（一）（二）可知，共=240种。

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固始县17764227996： 高中数学排列组合解题技巧? - ？
赖哗捷抚： 排列组合解题技巧12法 首先,谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: 1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用“...

固始县17764227996： 高二数学排列组合解题技巧 - ？
赖哗捷抚： 其实排列组合是个很有意思的东东.解题技巧,那就看个人习惯,记得当初我们老师老是喜欢用馒头来当例子,整天说馒头、、本人的技巧无它,就是找几个典型的题型做了又做,用自己特定的方式去记住. 当然排列注重个体的差异性和顺序性...

固始县17764227996： 请教一道小学数学排列组合题,求解题思路和答案,谢谢! - ？
赖哗捷抚： 1开头的有2种,2开头也是两种,3开头也是两种.就有六种 再打个比方,用1--4来组数字 共有24种 可以这么算6*(数字个数-2)=组成数字个数 望采纳哈

固始县17764227996： 谁能给我总结一下有关的数学“排列,组合,“解题方法? - ？
赖哗捷抚： 一、相临问题——捆绑法 例1.7名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法? 解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的顺序,所以共有 种. 评注:一般...

固始县17764227996： 排列组合的题目怎么做?我总是搞不清怎么用C和P.第十二题.或者有没有数学老师或者数学天才教我一下, - ？
赖哗捷抚： 首先,将这三台同一品牌的机器看做一个整体,他们内部可以进行全排序,所以有P33=3!=3*2*1=6种排列. 然后,把先前这个整体放入剩余的4台机器中,这样就有5台不同品牌的机器,然后这5台可以全排序,所以有P55=5!=5*4*3*2*1=120种排列. 最后,答案就是P33*P55=6*120=720种.第13题 焦距与长、短半轴的关系:b^2=a^2-c^2离心率:e=c/a第一式解得c^2/a^2 = 1/2 所以离心率为√2/2 望采纳!~~~

固始县17764227996： 排列与组合的题怎么做啊 - ？
赖哗捷抚： 排列和组合都需要选元素,但是排列需要对选出来的元素进行排顺序,而组合不需要. 例如:从字母表中任选3个字母,这是组合. 从1到9这9个数字中选出如123,456等由小到大的三个数字.这就是排列.做题时,第一步是选出元素,第二步是对选出的元素进行由小到大的排列. 又例如:123,321,这两个是不同的排列,但又是相同的组合.

固始县17764227996： 排列和组合的解题方法有哪几种?怎么用? - ？
赖哗捷抚： 1.位置元素——优待法 所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时,对于有限制条件的元素(或位置)要优先考虑. 【例1】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有( )个. 解法一 元素优先数字0、1...

固始县17764227996： 小学排列组合题,请问有快速的解题方法吗?题目:用50,20,10这三个数字(这三个数字可重复使用)凑成100,一共有多少种方法?请问老师有没有快速的... - ？
赖哗捷抚：[答案] 分别只用一个数字,二个数字,三个数字来分组,再每组凑成100 一个数字:(3种情况) 10:10个10 20:5个20 50:2个50 二个数字:(3种情况)(各取一个,再尽可能多的使用前面一个数字,不行了再用第二个) 10,20:8个10,1个20;6个10,2个20;4...

固始县17764227996： 求数学排列组合问题学习技巧.(要求全面详细) - ？
赖哗捷抚： 排列组合,这个你要经常做例题的啊,你做题目的时候感觉自己不会的话,有些例题不是有详细的步骤说明的嘛,就按照这个步骤看,分析哪个式子代表了什么意思,而且数学是肯定要多做题目的,你买个两三种数学资料做,每个数学资料都有...

固始县17764227996： 那位能给在下讲一下排列组合的基本概念和解题思路,谢谢了 ？
赖哗捷抚： 我在处理这类题材的认为,关键是靠数感.有时看到数与数在一起就会把数之间进行分解.不过大致来,如果是递增数列,无非就是相加,相乘,或是立方的关系.递减数列则相反的运算咯.我在做这样的题的时候还有一种这样的思路,找到两数之间的差,再找到得到的差与差之间的关系,一直到差与差之间有固定的规律为止.一点拙见!