怎样用平面向量推正余弦和差角公式?
假设有两个非零向量a和b,它们的坐标分别为(a1, a2)和(b1, b2)。设它们的夹角为θ。
根据向量的点积公式,可以得到它们的点积公式:
a·b = |a|·|b|·cosθ
其中,|a|和|b|分别为向量a和b的模长。
根据向量的模长公式,可以得到:
|a| = √(a1^2 + a2^2)
|b| = √(b1^2 + b2^2)
将上述两个公式带入点积公式,得到:
a·b = √(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2)·cosθ
移项,得到:
cosθ = (a1b1 + a2b2) / (√(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2))
这就是平面向量的余弦公式。
同时,可以用向量的叉积公式求出向量a和向量b所在平面的法向量n,然后根据向量的点积公式和叉积公式,可以得到平面向量的正弦公式:
a×b = |a|·|b|·sinθ·n
其中,|a|和|b|分别为向量a和b的模长,θ为向量a和b的夹角,n为它们所在平面的法向量。
代入向量的模长公式和余弦公式,得到:
|a×b| = |a|·|b|·sinθ
sinθ = |a×b| / (√(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2))
这就是平面向量的正弦公式。
接着,可以用余弦公式和正弦公式,推导平面向量的和差角公式。
设向量c=a+b,则有:
c·c = (a+b)·(a+b) = a·a + 2a·b + b·b
同理,设向量d=a-b,则有:
d·d = (a-b)·(a-b) = a·a - 2a·b + b·b
将上述两个式子相加减,得到:
c·c + d·d = 2(a·a + b·b) (和角公式)
c·c - d·d = 4(a·b) (差角公式)
将余弦公式代入上述公式,可得:
cosθ = (a1b1 + a2b2) / (√(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2))
cosφ = (a1(-b1) + a2(-b2)) / (√(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2))
平面向量可以用来推导正余弦和差角公式,以下是具体的步骤:
假设有两个向量 a 和 b,它们的起点都在原点。我们可以根据向量的定义,将它们的终点坐标表示为 (x1, y1) 和 (x2, y2)。
那么,向量 a 和向量 b 的长度可以分别表示为:
|a| = √(x1² + y1²)
|b| = √(x2² + y2²)
同时,向量 a 和向量 b 的数量积(点积)可以表示为:
a·b = x1x2 + y1y2
接下来,我们可以使用数量积来推导正余弦和差角公式:
正弦公式
余弦公式
根据定义,向量 a 的方向角度为 α,那么有:
sin α = y1 / |a|
同理,向量 b 的方向角度为 β,那么有:
sin β = y2 / |b|
因此,我们可以将 a·b 表示为:
a·b = |a||b| cos(β-α)
移项得到:
cos(β-α) = a·b / (|a||b|)
代入正弦公式中,得到:
sin α sin β + cos α cos β = a·b / (|a||b|)
这就是正弦公式。
同样根据定义,向量 a 的方向角度为 α,那么有:
cos α = x1 / |a|
同理,向量 b 的方向角度为 β,那么有:
cos β = x2 / |b|
因此,我们可以将 a·b 表示为:
a·b = |a||b| cos α cos β + |a||b| sin α sin β
移项得到:
cos(α-β) = cos α cos β + sin α sin β
代入余弦公式中,得到:
cos(α-β) = (x1x2 + y1y2) / (|a||b|)
这就是余弦公式。
总结:
平面向量可以使用正余弦和差角公式进行推导,这些公式可以用于计算向量的方向、长度和夹角等信息,是数学和物理学中的重要工具。
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