怎样用平面向量推正余弦和差角公式？

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假设有两个非零向量a和b，它们的坐标分别为(a1, a2)和(b1, b2)。设它们的夹角为θ。

根据向量的点积公式，可以得到它们的点积公式：

a·b = |a|·|b|·cosθ

其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长。

根据向量的模长公式，可以得到：

|a| = √(a1^2 + a2^2)

|b| = √(b1^2 + b2^2)

将上述两个公式带入点积公式，得到：

a·b = √(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2)·cosθ

移项，得到：

cosθ = (a1b1 + a2b2) / (√(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2))

这就是平面向量的余弦公式。

同时，可以用向量的叉积公式求出向量a和向量b所在平面的法向量n，然后根据向量的点积公式和叉积公式，可以得到平面向量的正弦公式：

a×b = |a|·|b|·sinθ·n

其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为向量a和b的夹角，n为它们所在平面的法向量。

代入向量的模长公式和余弦公式，得到：

|a×b| = |a|·|b|·sinθ

sinθ = |a×b| / (√(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2))

这就是平面向量的正弦公式。

接着，可以用余弦公式和正弦公式，推导平面向量的和差角公式。

设向量c=a+b，则有：

c·c = (a+b)·(a+b) = a·a + 2a·b + b·b

同理，设向量d=a-b，则有：

d·d = (a-b)·(a-b) = a·a - 2a·b + b·b

将上述两个式子相加减，得到：

c·c + d·d = 2(a·a + b·b) （和角公式）

c·c - d·d = 4(a·b) （差角公式）

将余弦公式代入上述公式，可得：

cosθ = (a1b1 + a2b2) / (√(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2))

cosφ = (a1(-b1) + a2(-b2)) / (√(a1^2 + a2^2)·√(b1^2 + b2^2))

平面向量可以用来推导正余弦和差角公式，以下是具体的步骤：

假设有两个向量 a 和 b，它们的起点都在原点。我们可以根据向量的定义，将它们的终点坐标表示为 (x1, y1) 和 (x2, y2)。

那么，向量 a 和向量 b 的长度可以分别表示为：

|a| = √(x1² + y1²)

|b| = √(x2² + y2²)

同时，向量 a 和向量 b 的数量积（点积）可以表示为：

a·b = x1x2 + y1y2

接下来，我们可以使用数量积来推导正余弦和差角公式：

• 正弦公式

根据定义，向量 a 的方向角度为 α，那么有：

sin α = y1 / |a|

同理，向量 b 的方向角度为 β，那么有：

sin β = y2 / |b|

因此，我们可以将 a·b 表示为：

a·b = |a||b| cos(β-α)

移项得到：

cos(β-α) = a·b / (|a||b|)

代入正弦公式中，得到：

sin α sin β + cos α cos β = a·b / (|a||b|)

这就是正弦公式。

• 余弦公式

同样根据定义，向量 a 的方向角度为 α，那么有：

cos α = x1 / |a|

同理，向量 b 的方向角度为 β，那么有：

cos β = x2 / |b|

因此，我们可以将 a·b 表示为：

a·b = |a||b| cos α cos β + |a||b| sin α sin β

移项得到：

cos(α-β) = cos α cos β + sin α sin β

代入余弦公式中，得到：

cos(α-β) = (x1x2 + y1y2) / (|a||b|)

这就是余弦公式。

总结：

平面向量可以使用正余弦和差角公式进行推导，这些公式可以用于计算向量的方向、长度和夹角等信息，是数学和物理学中的重要工具。

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