用函式极限定义证明lim(x趋向-2)x^2=4

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用函式极限定义证明lim(x趋向-2)x^2=4

分析：对于epsilon>0
要使|x^2-4|<epsilon，相当于要使|x-2|*|x+2|<epsilon；
而当x接近2时，比如|x-2|<1，则1<x<3，因此3<|x+2|<5，
这时要使|x-2|*|x+2|<epsilon，只要|x-2|<epsilon/5；
上面对于|x-2|提出了2个限制：|x-2|<1和|x-2|<epsilon/5，
因此选择delta=min{1,epsilon/5}>0即可。
以下是综合证明：
对于任意epsilon>0，取delta=min{1,epsilon/5}>0，
当|x-2|<delta时，|x+2|<3+2=5，
因此|x^2-4|=|x-2|*|x+2|<5*delta<epsilon
根据函式极限的定义，这说明lim{x->2}x^2=4.

用极限定义证明x趋近与2 lim x^2=4

对任意正数 ε>0 ，取 δ=min(ε，1) ，
则当 |x-2|<δ ，即 2-δ<x<2+δ 时 ，有 |x^2-4|=|x+2|*|x-2|<3ε ，
因此，lim(x→2) x^2=4 。

用极限定义证明lim(x趋近于2)x^2=4

方法一
lim(x-->2) (x^2 - 4) = lim(x-->2) (x 2)*(x-2)
因为x 2和x-2在x-->2连续，所以lim(x-->2) (x 2)*(x-2) = lim(x-->2) (x 2)* lim(x-->2) (x-2) = (2 2)*(2-2) = 0
所以lim(x-->2) (x^2 - 4) = 0
即当x趋近于2时，x^2的极限等于4
方法二
证明：首先，限定1<x<3,|x 2|<5.
对任意的ε>0,取δ=min{ε/5,1}
则当0<|x-2|<δ,时，有
|x²-2²|=|x 2||x-2|<5|x-2|<ε
成立。所以lim(x趋近于2)x^2=4

用函式极限定义证明lim(x趋于t)cosx=cost

用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是。
证明 任意给定ε>0，要使
|cosx-cost| = |-2sin[(x-t)/2]sin[(x+t)/2]| <= |x-t| < ε，
只须取 δ = δ(ε) = ε > 0，则当 0< |x-t| < δ 时，就有
|cosx-cost| <= |x-t| < δ = ε，
根据极限的定义，得证。

用函式极限定义证明lim(x→-∞）3x^2-1/x^2+3=3

证明：对任意ε>0，解不等式
│(3x^2-1)/(x^2+3)-3│=10/(x^2+3)≤10/x^2<ε
得x<-√(10/ε)，取A≥√(10/ε)。
于是，对任意ε>0，总存在正数A≥√(10/ε)，当x<-A时，有│(3x^2-1)/(x^2+3)-3│<ε，
即lim(x->-∞)[(3x^2-1)/(x^2+3)]=3。

利用函式极限定义证明lim(x→2)(1/x-1)=1

|1/（x-1）-1|=|(x-2)/(x-1)|
任取一个正数0<ε<1/5，取δ=ε/2，则
可得当|x-2|<δ=ε/2时,x-1∈(-ε/2+1,ε/2+1)
由ε<1/5得，-ε/2>-1/10,-ε/2+1>9/10,所以x-1>9/10,1/|x-1|<10/9<2
又|(x-2)/(x-1)|=|(x-2)|/|(x-1)|<2|x-2|<2*δ=ε,即|(x-2)/(x-1)|<ε
由ε的任意性可知，lim[ 1/（x-1）](x→2)=1
命题得证

用函式极限定义证明下列极限lim(x→∞)arctanx/x²=o

当x→∞时，arctanx→π/2，x²→∞。常数/∞=0.故lim(x→∞)arctanx/x²=o

根据函式极限定义证明x→1lim(x^2-1)=0

当 |x-1| < 1 时，有 |x+1| < 3，
对任意正数 ε > 0，取 δ = min(ε/3，1) ，则当 |x-1|<δ 时，
有 |x^2-1| = |x+1|*|x-1| < 3*ε/3 = ε，
所以 lim(x->1) (x^2-1) = 0 .

极限定义证明lim ln(1+ 1/x)=0 x趋向无限大

首先，当x>0时，1/x>0.
对任意ε>0,存在x>1/ε,使得1/x<ε.
所以1/x的极限是0，当x趋向于无穷大。

根据函式极限定义证明： lim(x~1)x^2-3x+2/(x_1)=-1

lim(x~1)x^2-3x+2/(x-1)=lim(x~1)(x-2)(x-1)/(x-1)=lim(x~1)（x-2）=-1

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罗江县15948277230： 用函数极限定义证明lim(x趋向 - 2)x^2=4 - ？
廖湛替尼：[答案] 分析:对于epsilon>0 要使|x^2-4|

罗江县15948277230： 用函数极限定义证明lim(x趋向 - 2)x^2=4 - ？
廖湛替尼： 分析:对于epsilon>0 要使|x^2-4|<epsilon,相当于要使|x-2|*|x+2|<epsilon; 而当x接近2时,比如|x-2|<1,则1<x<3,因此3<|x+2|<5, 这时要使|x-2|*|x+2|<epsilon,只要|x-2|<epsilon/5; 上面对于|x-2|提出了2个限制:|x-2|<1和|x-2|<epsilon/5, 因此...

罗江县15948277230： 用函数极限定义证明lim(x→ - ∞)3x^2 - 1/x^2+3=3 - ？
廖湛替尼： 证明:对任意ε>0,解不等式│(3x^2-1)/(x^2+3)-3│=10/(x^2+3)≤10/x^2得x<-√(10/ε),取A≥√(10/ε). 于是,对任意ε>0,总存在正数A≥√(10/ε),当x<-A时,有│(3x^2-1)/(x^2+3)-3│ 即lim(x->-∞)[(3x^2-1)/(x^2+3)]=3.

罗江县15948277230： 用定义证明lim(x趋向 - 1)根号下1 - x^2=0 - ？
廖湛替尼：[答案] 证明 lim(x→-1)√(1-x^2) = 0 lim(x→-1)(1-x^2) = 0. 用定义证明极限实际上是格式的写法,依样画葫芦就是: 3)证 限 |x+1|

罗江县15948277230： 利用“函数的极限”定义证明 lim(x→ - ∞)2^x=o - ？
廖湛替尼： 根据定义,对于任意给定的ε>0 , 总存在一个正数M 使当一切x<-M,/2^x/因为x<0,所以2^x=1/(2^/x/)<1/(2^M) 令M=log2(1/ε)即可. 再反着写一遍就行了. 你说的问题实在不是问题.2的任何次方都是大于0的,难道你不知道?绝对值符号算什么呢.

罗江县15948277230： 根据函数极限的定义证明:lim(x趋向3)(3X - 1)=8我想问一下关于这道题步骤的问题😊😊 - ？
廖湛替尼：[答案] * 证明 lim(x→3)(3x-1) = 8. 对任意ε>0,要使 |(3x-1)-8| = 3|x-3| 只需|x-1|解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答

罗江县15948277230： 用函数极限的定义证明lim(2x - 1)/x=2) - ？
廖湛替尼： lim(x趋向于1)1/(x-1)=1 假命题x->1则x^2-1->0x^2-x->0上下同趋于0,则上下求导,结果等于:lim(2x-1)/x=2).

罗江县15948277230： 用函数极限定义证明lim(x趋于t)cosx=cost - ？
廖湛替尼： 用定义证明极限都是格式的写法,依样画葫芦就是.证明 任意给定ε>0,要使|cosx-cost| = |-2sin[(x-t)/2]sin[(x+t)/2]| 只须取 δ = δ(ε) = ε > 0,则当 0|cosx-cost| 根据极限的定义,得证.

罗江县15948277230： 用定义证明lim(x趋向 - 1)根号下1 - x^2=0 - ？
廖湛替尼： 证明 lim(x→-1)√(1-x^2) = 0 <==> lim(x→-1)(1-x^2) = 0.用定义证明极限实际上是格式的写法,依样画葫芦就是:3)证 限 |x+1|<1,则 |x-1|≤|x+1|+2<3.对任意ε>0,要使|1-(x^2)-0]| = |x-1||x+1| < 3|x+1| < ε,只需 0<|x+1|<ε/3,取 η = min{1,ε/3},则当 0<|x+1|<η 时,有 |1-(x^2)-0]| < 3|x+1| < 3η ≤ ε,得证.

罗江县15948277230： 求证lim(x趋于2)(x^2 - 6x+10)=2 用函数极限的定义来证 - ？
廖湛替尼：[答案] |(x^2-6x+10)-2|=|x^2-6x+8|=|x-2|*|x-4| , 对任意正数 ε>0 ,取 δ=min(ε/3,1) , 则当 |x-2|