约瑟夫问题

利用C++解决约瑟夫问题。~

这里补充一下约瑟夫问题的描述：N个人围成一圈，从第一个开始报数，数到M的人出队，然后他的下一位继续从1开始报数，数到M的出队，如此循环直到剩下一个人，求最后剩下的那个人最初是队伍中的第几位。

解决这道题可以采用模拟报数的方法，建立一个大小为N的数组，数组的第N个元素表示第N个人是否还在队伍中，首先将每个元素都置为1，表示全员都在队伍中。如果第N个人出队，则将第N个元素置为0。
模拟报数可以使用一个累加计数器，用它表示这轮报数已有多少人报数，然后循环访问每个人，若其在队伍中，则将计数器+1，如果累加到M，则这个人出队。如此循环，直到N-1个人出队，仅剩1人。
最后遍历一下那个数组，找到还在队伍中的人就可以。
代码如下：
#include using namespace std;int main(){int m, n, i, s = 0, rem;//s为计数器, rem为剩余人数int *a;cout > n >> m;rem = n;a = new int[n];for (i = 0; i 1){s += a[i];if (s == m)//第i个人出队，重置累加计数器{s = 0;rem--;a[i] = 0;}i++;i %= n;}for (i = 0; i < n; i++)if (a[i]){cout << "剩下的人为：" << i << endl;break;}delete []a;return 0;}

这个问题解答起来比较简单：敌人从1号开始，隔一个杀一个，第一圈把所有的奇数号码的战士圈杀光了。剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编号的奇数号码。
由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，…，64。把它们全部用2去除，得1，2，3，…，32。这是第二圈编的号码。第二圈杀过以后，又把奇数号码都杀掉了，还剩16个人。如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。
64=26，它可以连续被2整除6次，是从1到64中能被2整除次数最多的数，因此，最后必然把64 号留下。
如果有65名战士被俘，敌人还是按上述的方法残杀战士，最后还会剩下约瑟夫斯吗？
经过计算，很容易得到结论，不是。因为第一个人被杀后，也就是1号被杀后，第二个被杀的是必然3号。如果把1号排除在外，那么还剩下的仍是64人，新1号就是3号。这样原来的2号就变成了新的64 号，所以剩下的必然是2号。
进一步的归类，不难发现如果原来有2k个人，最后剩下的必然2k号；如果原来有2k+1个人，最后剩下2号；如果原来有2k+2个人，最后剩下4号……如果原来有2k+m个人，最后剩下2m号.
比如：原来有100人，由于100=64+36=26+36，所以最后剩下的就是36×2=72号；又如：原来有111人，由于100=64+47=26+47，所以最后剩下的就是47×2=94号。

这是17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲的一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。
*问题分析与算法设计
约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。
题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

一般形式
约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的人的序号为5，4，6，2，3。最后剩下1号。
假定在圈子里前K个为好人，后K个为坏人，你的任务是确定这样的最少M，使得所有的坏人在第一个好人之前被杀掉。
C++代码示例:
#include<iostream>
using namespace std;
void main()
{
int n,m,a[101],k,i,j,num; //计数器是从1开始的,所以100个人用101
cout<<"请输入参加游戏的玩家人数(不超过100人):";
cin>>n;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
if(n>100)
{
cout<<"玩家太多,请重新登陆此程序!"<<endl;
return;
}
cout<<"输入游戏中要玩的数字:";
cin>>m;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
a【i】=1;//注意百度百科里不让使用ASCII里的方括号，这里是中文字符集里的方括号，
}
j=0;
k=0;
for(i=1;i<=n+1;i++){
if(a【i】==1){
j=j+a【i】;
if(j==m)
{
j=0;
a【i】=0;
k++;
}
if(k==n){
num=i;
break;
}
}
if(i==n+1)
i=0;
}
cout<<"最后获胜的玩家是第 "<<num<<" 号玩家!"<<endl;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
}

写完密码约瑟夫就想到原来看到约瑟夫问题的一个数学解法 很巧妙很简单 不过只能推出最后一个出列的人
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m mod n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：
c++
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
pascal
var n,m,i,s:integer;
begin
write('N M =');
read(n,m);
for i:=2 to n do
s:=(s+m) mod i;
writeln('The winner is ',s+1);
end.
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
约瑟夫问题10e100版(from vijios)
描述 Description
n个人排成一圈。从某个人开始，按顺时针方向依次编号。从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数，报到2的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的，因此最终会剩下一个人。试问最后剩下的人最开始的编号。
输入格式 Input Format
一个正整数n，表示人的个数。输入数据保证数字n不超过100位。
输出格式 Output Format
一个正整数。它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号。
样例输入 Sample Input
9
样例输出 Sample Output
3
时间限制 Time Limitation
各个测试点1s
注释 Hint
样例说明
当n=9时，退出圈子的人的编号依次为：
2 4 6 8 1 5 9 7
最后剩下的人编号为3
初见这道题，可能会想到模拟。可是数据实在太大啦！！
我们先拿手来算，可知n分别为1，2，3，4，5，6，7，8...时的结果是1，1，3，1，3，5，7，1...
有如下规律：从1到下一个1为一组，每一组中都是从1开始递增的奇数，且每组元素的个数分别为1，2，4...
这样就好弄了！！
大体思路如下：
①read(a)
②b:=1,c:=1{b为某一组的元素个数，c为现在所加到的数}
③while c<a do (b:=b*2,c:=b+c){超过目标时停止加数}
⑥c:=c-b{退到前一组}
⑦x:=a-c{算出目标为所在组的第几个元素}
⑧ans:=x*2-1{求出该元素}
⑨write(ans)
有了思路，再加上高精度就可以了。我写的代码比较猥琐，因为是先把上面的思路敲进去，再写过程，又把一些简单的过程合到主程序中了，所以有点乱，也有点猥琐。起提供思路的作用还是完全可以的吧~~~
var a,b,c:array[1..105]of integer;
la,lb,lc,i:integer;
s:string;
procedure incc;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 105 do c:=c+b;
for i:=1 to 104 do if c>9 then
begin
c:=c+c div 10;
c:=c mod 10;
end;
end;
function cxiaoa:boolean;
var i:integer;
begin
cxiaoa:=false;
for i:=105 downto 1 do
if c<a then begin cxiaoa:=true;break;end
else if c>a then break;
end;
procedure doubleb;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 105 do b:=b*2;
for i:=1 to 104 do if b>9 then
begin
b:=b+b div 10;
b:=b mod 10;
end;
end;
procedure decc;
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to 104 do
if c>=b then c:=c-b else
begin
j:=i+1;
while c[j]=0 do inc(j);
while j>i do
begin
c[j]:=c[j]-1;
c[j-1]:=c[j-1]+10;
dec(j);
end;
c:=c-b;
end;
end;
procedure fua;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 104 do
if a>c then a:=a-c else
begin
a:=a-1;
a:=a+10;
a:=a-c;
end;
end;
procedure outit;
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to 105 do a:=a*2;
for i:=1 to 104 do if a>9 then
begin
a:=a+a div 10;
a:=a mod 10;
end;
if a[1]>0 then a[1]:=a[1]-1 else
begin
j:=2;
while a[j]=0 do inc(j);
while j>1 do
begin
a[j]:=a[j]-1;
a[j-1]:=a[j-1]+10;
dec(j);
end;
a[1]:=a[1]-1;
end;
for i:=105 downto 1 do if a>0 then begin j:=i;break;end;
for i:=j downto 1 do write(a);
end;
begin
readln(s);
la:=length(s);
for i:=la downto 1 do a:=ord(s[la+1-i])-ord('0');
b[1]:=1;
c[1]:=1;
while cxiaoa do
begin
doubleb;
incc;
end;
decc;
fua;
outit;
end.
笔算解决约瑟夫问题

在M比较小的时候 ，可以用笔算的方法求解，
M=2
即N个人围成一圈，1，2，1，2的报数，报到2就去死，直到只剩下一个人为止。
当N=2^k的时候，第一个报数的人就是最后一个死的，
对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t,其中t<n/2
于是当有t个人去死的时候，就只剩下2^k个人 ，这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的。这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1
于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的解：
求出不大于N的最大的2的整数次幂，记为2^k，最后一个去死的人是2(N-2^k)+1
M=3
即N个人围成一圈，1，2，3，1，2，3的报数，报到3就去死，直到只剩下一个人为止。
此时要比M=2时要复杂的多
我们以N=2009为例计算
N=2009，M=3时最后被杀死的人记为F(2009,3),或者可以简单的记为F(2009)
假设现在还剩下n个人，则下一轮将杀死[n/3]个人，[]表示取整，还剩下n-[n/3]个人
设这n个人为a1,a2,...,a(n-1),an
从a1开始报数，一圈之后，剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1),a(n-n mod 3+1),..,an
于是可得：
1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3),下一轮第一个报数的是a(n-n mod 3+1)
2、若3|n,则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])个人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-（n mod 3）人
3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1个人
综合1，2，3可得：
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4，F(6)=1，
当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）,F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-（n mod 3） ，F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
这种算法需要计算 [log(3/2)2009]次 这个数不大于22，可以用笔算了
于是：
第一圈，将杀死669个人，这一圈最后一个被杀死的人是2007，还剩下1340个人，
第二圈，杀死446人，还剩下894人
第三圈，杀死298人，还剩下596人
第四圈，杀死198人，还剩下398人
第五圈，杀死132人，还剩下266人
第六圈，杀死88人，还剩下178人
第七圈，杀死59人，还剩下119人
第八圈，杀死39人，还剩下80人
第九圈，杀死26人，还剩下54人
第十圈，杀死18人，还剩36人
十一圈，杀死12人，还剩24人
十二圈，杀死8人，还剩16人
十三圈，杀死5人，还剩11人
十四圈，杀死3人，还剩8人
十五圈，杀死2人，还剩6人
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4，F(6)=1，
然后逆推回去
F(8)=7 F(11)=7 F(16)=8 f(24)=11 f(36)=16 f(54)=23 f(80)=31 f(119)=43 f(178)=62 f(266)=89 f(398)=130
F(596)=191 F(894)=286 F(1340)=425 F(2009

---

福海县18059411201： 约瑟夫问题 - 搜狗百科？
主父师开同： 在M比较小的时候 ,可以用笔算的方法求解,M=2 即N个人围成一圈,1,2,1,2的报数,报到2就去死,直到只剩下一个人为止.当N=2^k的时候,第一个报数的人就是最后一个死的,对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t,其中t<n/2 于是当有...

福海县18059411201： C++ 约瑟夫问题: 求源代码 及 说明约瑟夫问题:M个人围成一圈,从第一个人开始报数,数到N的人出圈;再由下一个人开始报数,数到N的人出圈;…….... - ？
主父师开同：[答案] #include＂stdio.h＂int main(void){ int a[100] = {0}; int b[100] = {0}; int m = 0,n = 0; int i = 0,/...

福海县18059411201： 什么是约瑟夫环问题? - ？
主父师开同： 是一个数学的应用问题: 已知n个人(以编号1,2,3...n分别表示)围坐在一张圆桌周围.从编号为k的人开始报数,数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数,数到m的那个人又出列;依此规律重复下去,直到圆桌周围的人全部出列. ...

福海县18059411201： 约瑟夫问题 - ？
主父师开同： #include<stdio.h> #include<stdlib.h>struct node{int data;struct node *next; };int main(){int i,j,k,m,n;struct node *head,*p,*q;scanf(＂%d%d＂,&n,&m); p=(struct node*)malloc(sizeof(struct node));p->data=1;p->next=p;head=p; for(i=2;i<=n;...

福海县18059411201： 约瑟夫问题 - 猴子选大王 - ？
主父师开同： 【问题描述-猴子选大王】:M只猴子要选大王,选举办法如下:所有猴子按1-M编号围坐一圈,从1号开始按顺序1,2,,,K报数,凡报到K的猴子退出到圈外,如此循环报数,直到圈内只剩下一只猴子时,这只猴子就是大王.M和K由输入文件提供,...

福海县18059411201： 数据结构试验设计上老师提出了一个问题,关于线性结构的应用,约瑟夫环问题 小弟才疏学浅,约瑟夫问题的一种描述是:编号为1,2,...,n的n个人按顺时针... - ？
主父师开同：[答案] #include struct list//建立一个结构体,包括每个人的编号,密码和下一级的指针 { int id; struct list *next; }; list* input(int n)//链表的初始化 { list *p,*q,*l; int i,m; p=new list; l=new list; l->next=NULL; p=l; p->id=1;//第一个人的初始化 for(i=2;iid=i; q->next=...

福海县18059411201： 数据结构约瑟夫问题 - ？
主父师开同： 当然是m-1,报数是m次 但查询时要向后移动m-1次 当前位置不用执行 例如 当前是一号 m=5 向后移动4个位置就是五号

福海县18059411201： 约瑟夫问题 pascal - ？
主父师开同： ... while do,if then 这些如果子结构只有一句代码是不需要BEGIN END 的;或者写成一排,例:for i:=1 to n do inc(c) dec(c) write(c); 懂否?

福海县18059411201： 约瑟夫问题(PASCAL)？
主父师开同： var monkey:array[1..20] of integer; i,j,k,n,m,x:integer; begin readln(n); m:=2; k:=n; for i:=1 to 20 do monkey[i]:=i; i:=1; repeat x:=0; for j:=1 to (m div 2) do if m mod j:=0 then x:=1; if x=1 then begin i:=i+m-1; for j:=i+1 to n do monkey[j-1]:=monkey[j]; n:=n-1; end; m:=m+1; until k=1; 然后你自己把输出做一下;