设V1=｛x=(x1,x2,…,xn)T｜x1,…,xn∈R满足x1+x2+…+xn=0｝？

线性代数.V={x=(x1,x2,…,xn)|x1＋x2＋...＋xn=0}.V是否为向量空间?~

V 是向量空间。
设 x=(x1，x2，。。。，xn)，y=(y1，y2，。。。，yn)，
则（1） x+y=(x1+y1，x2+y2，。。。，xn+yn)，
有 (x1+y1)+(x2+y2)+...+(xn+yn) = (x1+x2+...+xn)+(y1+y2+...+yn) = 0+0 = 0，
（2）kx=(kx1，kx2，。。。，kxn)，
有 kx1+kx2+...+kxn = k(x1+x2+...+xn) = k*0 = 0 ，
所以 V 是向量空间。

x1+x2+…+xn=1
x1=1-x2-x3-x4-…-xn
是个n-1维空间
解题过程如下：
取x2=1,x3=…=xn=0，得x1=0,有解a1=（0,1,0,...,0）
取x32=1,x2=…=xn=0，得x1=0,有解a2=（0,0,1,...,0）
……
取xn=1,x2=x3=x4=……=xn-i=0，有解an-1=(0,0,…,0,1)
这些解a1,a2,…,an-1是线性无关的，所以能构成向量空间。

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

满足以上8点才能证明

V1=｛x=(x1,x2,…,xn)^T｜x1,…,xn∈R满足x1+x2+…+xn=0｝

(1)

x,y∈V1

x=(x1,x2,…,xn)^T, y=(y1,y2,…,yn)^T

x+y 

=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)^T

=(y1+x1,y2+x2,…,yn+xn)^T

=(y1,y2,…,yn)^T +(x1,x2,…,xn)^T

=y+x

(2)

x,y,z∈V1

x=(x1,x2,…,xn)^T, y=(y1,y2,…,yn)^T, z=(z1,z2,…,zn)^T

明显地

x+(y+z) =(x+y)+z

(3)

∃0=(0,0,...,0)^T ∈V1

x=(x1,x2,…,xn)^T ∈V1

x+0 =x

(4)

x=(x1,x2,…,xn)^T∈V1

-x=(-x1,-x2,…,-xn)^T∈V1

x-x =0

(5)

∃1

x=(x1,x2,…,xn)^T∈V1

1. x = x

(6),(7),(8) 也是明显！

V_1是向量空间。V_2不是向量空间。判断是否封闭，就是看做加法和乘法后，是否还满足这个集合的性质。比如对于V_2里面有两个元素（a_1,a_2,...,a_n）,(b_1,b_2,...,b_n)且
a_1+a_2+...+a_n=1, b_1+b_2+...+b_n=1. 由于
（a_1,a_2, ... ,a_n）+(b_1,b_2, ... ,b_n)=（a_1+b_1,a_2+b_2, ... , a_n+b_n）
但 a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n=2， 不满足这个集合元素的和等于1的条件，故对加法不封闭。也就不是子空间。

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杂多县18555712282： V={x=(x1,x2,…,xn)|x1+x2+…+xn=1}.证明V是向量空间？
示俗尤尼： V2={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=0}是向量空间 但V1={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=1}不是,因为它对加法运算和数乘运算不封闭,即V1中任意两个元素的和不在V1中,V1中任意元素乘以常数k不在V1中(k不等于1)

杂多县18555712282： 线性代数 向量空间:设V1={x=(x1,x2,...xn)|xi为实数,满足x1+x2+...+xn=0},V1是否为向量空间?为什么? - ？
示俗尤尼： 在矩阵加法和数乘运算之下可以构成向量空间.由于 V1 是 R^n 的子集,而且若 x 和 y 是V1 中的两个元素, 则容易得到,对数 k 有 kx 和 x+y 也是 V1 的元素.从而由 子空间判别定理可知 V1 是 R^n 的子空间,因此是向量空间.

杂多县18555712282： V={x=(x1,x2,…,xn)|x1+x2+…+xn=1}.证明V是向量空间V2={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=0},V1={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=1}.问V1,V2是向量... - ？
示俗尤尼：[答案] V2={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=0}是向量空间 但V1={x=(x1,x2,…,xn)|x€R且x1+x2+…+xn=1}不是,因为它对加法运算和数乘运算不封闭,即V1中任意两个元素的和不在V1中,V1中任意元素乘以常数k不在V1中(k不等于1)

杂多县18555712282： 设V1={(x1,x2,...xn)}x1+x2+.....+xn=0,问V1是向量空间吗 - ？
示俗尤尼： 是向量空间.(n-1维)

杂多县18555712282： 已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,求证: - ？
示俗尤尼： 证明:在R上任取x1,x2,设x1∵ f(x)+f(y)=f(x+y) 令x=x1, x+y=x2,则y=x2-x1 ∴ f(x1)+f(x2-x1)=f(x2) 即 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1) ∵ x2-x1>0,∴ f(x2-x1)<0 ∴ f(x2)-f(x1)<0 即 f(x2)∵ x1∴ f(x)是R上的减函数.

杂多县18555712282： 线性代数 内积证明题？
示俗尤尼： 充分性: 设w,v线性相关, 则存在数k, 满足 w = kv ||w|| = ||kv|| = |k| ||v|| 所以 ||v|| ||w|| = |k| ||v||^2 = |k| |<v,v>| = | <v, kv>| = |<v, w>|. 必要性:

杂多县18555712282： 韦达定理设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解.则有:An(x - x1)(x - x2)……(x - xn)=0所以:An(x - x1)(x - x2)……(x - xn)=∑AiX^i (在打开(x - x1)(x - x2)…... - ？
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