利用定积分性质证明不等式: e^2-ec^2lnxdx2(e^2？

~ 根据定积分的性质，我们有：
∫[a,b] f(x) dx ≤ (b-a)·max{f(x)}
其中，[a,b] 是积分区间，f(x) 是连续函数。
对于不等式 e^2-ec^2lnxdx ≤ 2(e^2-ec^2lnx)，我们可以将其左侧视为积分 ∫[1,e] f(x) dx，其中 f(x) = e^2-ec^2lnx。由于 f(x) 在 [1,e] 上是连续的，因此有：
∫[1,e] f(x) dx ≤ (e-1)·max{f(x)}
要证明 ∫[1,e] f(x) dx ≤ 2(e^2-ec^2lnx)，只需证明：
(e-1)·max{f(x)} ≤ 2(e^2-ec^2lnx)
即：
max{f(x)} ≤ 2/ec^2 + 2/e - 1
我们来分别计算 f(x) 的取值：
f(x) = e^2-ec^2lnx 在 [1,e] 上取得最大值，当 x=e 时取得最小值。因此：
max{f(x)} = f(e) = e^2-ec^2ln(e) = e^2 - ec^2
将此值代入上式，得到：
max{f(x)} = e^2 - ec^2 ≤ 2/ec^2 + 2/e - 1
移项化简，得到：
e^2 ≤ 2(ec^2 + 1/e)
因为左侧是一个正数，所以只需证明右侧大于等于 e^2 即可。化简右侧，得到：
2(ec^2 + 1/e) = 2ec^2 + 2/e ≥ 2ec^2 ≥ e^2
因此，我们证明了原不等式，即：
∫[1,e] (e^2-ec^2lnx) dx ≤ 2(e^2-ec^2lnx)

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库伦旗17520919184： 利用定积分的性质证明不等式: - ？
乔胁瑞宁： 通过导数可以证明:n/(n+1) < ln(n+1) < n, 证明左边:令n=1/n,有ln(1/n +1 )< 1/n → ln(n+1)-lnn < 1/n →(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+...+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)<1+1/2+1/3+.....+1/n证明右边:令n=1/(n-1),有1/n→1/2+1/3+...+1/n左右两边加1,得1+1/2+1/3+.....+1/n<1+lnn∴ln(1+n)<1+1/2+1/3+.....+1/n<1+lnn得证

库伦旗17520919184： 数学分析证明不等式的常用方法有哪些 - ？
乔胁瑞宁：[答案] 1、利用 中值定理证明不等式 2、利用 插值公式证明不等式 3、利用函数的凹凸性证明不等式 4、利用函数的单调性证明不等式 5、利用函数的最值证明不等式 6、利用极值定理证明不等式 7、利用泰勒公式证明不等式 8、利用柯西中值定理证明不等...

库伦旗17520919184： 定积分的不等式~ - ？
乔胁瑞宁： 这是积分形式的哥西不等式. 离散形式的哥西不等式:对任何实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn有 (a1b1+a2b2+...+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2). 对于积分,对部分和应用离散形式的哥西不等式,再取极限,即得(积分上下限都相同): [∫f(x)g(x)dx]^2≤{∫[f(x)]^2dx}*{∫[g(x)]^2dx}. g(x)=1就是楼主说的不等式.e>0,e/2也是个大于0的数,由极限的定义,对这个e/2,存在一个N,当n>N时,|an-A|<(1/2)e, 这样做的目的是下面的推导中要用|an-A|<(1/2)e这样的不等式.

库伦旗17520919184： 利用定积分的性质证明下列不等式 1<∫[π/2 0] sinxdx/x <π/2 - ？
乔胁瑞宁： 定义:x=0时,sinx/x=1 f(x)=sinx/x ,f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2<0 (x属于区间[0,π/2]) 所以: 2/π<sinx/x<1 故:1<积分<π/2

库伦旗17520919184： 求证积分不等式 - ？
乔胁瑞宁： 可以利用柯西不等式[∫f(x)g(x)]^2dx≤[∫f(x)^2dx][∫g(x)^2dx],令g(t)=1,则代入柯西不等式有 (∫ f(t)^2 dt)^2=(∫ f(t)^2*1dt)^2≤[∫f(t)^4dt]*(∫1dt)≤∫f(t)^4dt

库伦旗17520919184： 高等数学用定积分证明不等式 - ？
乔胁瑞宁： 详细解答...

库伦旗17520919184： 借助定积分证明不等式？
乔胁瑞宁： 这题我怀疑你的结论刚好写反了,应该是∫..x/sinxdx>=π/4 ,请你再看看题目 1<π/2,所以sinx在(0,1)恒大于0 然后就是思路问题,注意到arctan(1)=π/4,arctan(0)=0,而arctanx的导数为1/(1 x^2) 如果能够证明在(0,1)内x/sinx>=1/(1 x^2),那...

库伦旗17520919184： 定积分不等式证明引言怎么写 - ？
乔胁瑞宁： 先介绍定积分的历史背景!然后综合你的参考文献,说下你的文献里的研究现状!然后,你说下你发现这些文献少了些什么(比如,针对性不够,不够系统等等) 然后,你就说你要在这些文献的基础上,做出什么样的研究 (比如,你要用某某方法证明“定积分不等式”,当然,不一定要你的证明是最好的!但你一定要保证,这种证法是前所未有,同时,你还要举事例说明你的证法的应用方面的优越性)

库伦旗17520919184： 证明定积分不等式 - ？
乔胁瑞宁： 因为当x∈(0,1)时,1/√(4-x^2-x)>1/√(4-x^2) 则∫(0,1)1/√(4-x^2-x)dx>∫(0,1)1/√(4-x^2)=arc sin(x/2)|(0,1) =arc sin(1/2)=П/6,左边得证. 而当x∈(0,1)时,1/√(4-x^2-x)=(1/√2)*1/√(2-x^2/2-x/2)>(1/√2) *1/√(2-x^2) 则∫(0,1)1/√(4-x^2-x)dx>∫(0,1)(1/√2)...