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抛物线的几何性质是？~

1．范围
因为p＞0，由方程 可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程 不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 中，当y=0时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

告诉我你的邮箱，给你发过去 8.6抛物线几何性质
一、知识点
通过对抛物线标准方程的讨论，掌握抛物线的性质（范围、对称性、顶点、离心率），同时掌握抛物线的简单画法。
二、能力训练点
进一步熟练掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生的归纳能力。
进一步理解并掌握代数知识、平面几何知识在解析几何中的作用，从而提高运算能力和分析问题、解决问题的能力。
三、德育渗透点
揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。
四、美育渗透点
进一步感知数学来源于生活又服务于生活，数学揭示了生活中美的真谛。
五、学法指导
研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，用类比的方法自行得出。抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率e＝1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有对称中心。通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线。
已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴的开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的方程时，首先根据已知条件确定抛物线方程的类型，再求出方程中的参数p。
六、重点与难点
1、重点：抛物线的几何性质及其运用
2、难点：抛物线的几何性质的运用。
七、课时安排 三课时
第一课时
教学目标
1.掌握抛物线的几何性质;
2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程;
3.能利用工具作出抛物线的图形.
教学重点
抛物线的几何性质
教学难点
几何性质的应用
教学方法
学导式
●教学过程
情境设置
简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答)
师:这一节,我们根据抛物线的标准方程 ①来研究它的几何性质
探索研究
1. 范围
当x的值增大时, 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支
的区别,无渐近线).
2.对称性
抛物线关于x轴对称.
我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.
说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程.
小结：抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率e＝1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有对称中心。
反思应用
例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2 ),求它的标准方程,并用描点法画出图形.
师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P.
解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2 ),所以可设它的标准方程为:

因为点M在抛物线上，所以 ，即
因此所求方程是
下面列表、描点、作图：

0 1 2 3 4 ……

0 2 2．8 3．5 4 ……
说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤；
②抛物线没有渐近线；
③抛物线的标准方程 中 的几何意义：抛物线的通径，即连结通过焦点而垂直于 轴直线与抛物线两交点的线段.
练习
1、过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|等于（ ）
A、8 B、10 C、6 D、4
2、过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的长分别为p、q，则1/p＋1/q等于（ ）
A、2a B、1/2a C、4a D、4/a
3、抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________。
4、已知抛物线的焦点(2,1)，准线方程为2x＋y＝0，则其顶点坐标为______。
5、顶点在原点，焦点在x轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是________。
例2 若线段AB是抛物线的焦点弦，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，求证：∠A1FB1＝90°
证明：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)
由抛物线定义知|AA1|＝|AF|,|BB1|＝|BF|,
∴∠AFA1＝∠AA1F，∠BFB1＝∠BB1F，
∵AA1‖BB1‖x轴，
∴∠AFO＝∠AA1F，∠BFO＝∠BB1F，
∴∠AFA1＝∠AFO，∠BFB1＝∠BFO，∴∠A1FB2＝90°
变1：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
分析：根据直线与圆的位置关系知，若以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切，则AB的中点C到准线的距离等于|AB|的一半。
变2：若线段P1P2是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，求证：
分析：此题证的是距离问题，如果用两点间的距离公式表示出来，其计算量是很大的，我们利用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理或者用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来。
证明一：由抛物线y2＝2px得焦点F(p/2,0)
若过F的直线即线段P1P2与x轴垂直，则有|P1F|＝|P2F|＝p,此时结论成立。
若过F的直线即线段P1P2不与x轴垂直，此时设方程为y＝k(x－p/2)(k≠0)，
由 消去y得：
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则
根据抛物线的定义有|P1F|＝x1＋p/2, |P2F|＝x2＋p/2,

证明二：如图所示，设P1、P2、F在抛物线准线上的射影分别是P1‘、P2’、K，且不妨设|P1F|＝n,|P2F|＝m(m>n)，由抛物线的定义知|P1P1‘|＝n,|P2P2’|＝m，|FK|＝p，过P1作P1B⊥x轴于A，交P2P2‘于B，则ΔP1AF∽ΔP1BP2， ，即
∴p(m＋n)＝2mn, ,故原命题成立。
变3：设抛物线方程y2＝2px(p>0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为α，⑴求证：焦点弦长为 ；⑵求三角形AOB的面积。
⑴证明一：由抛物线y2＝2px得焦点F(p/2,0)
当α＝90°时，则有|AF|＝|BF|＝p,此时结论成立
当α≠90°时，设弦AB的方程为y＝(x－p/2)tanα，
由 消去y得：4x2tan2α－4p(tan2α＋2)x＋p2tan2α＝0
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

即
证明二：当α＝90°时，则有|AF|＝|BF|＝p,此时结论成立
由抛物线的对称性，不妨设α为锐角，如图
分别作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1（l为抛物线的准线），由抛物线定义知
|AA1|＝|AF|＝|AF|cosα＋p,
|BB1|＝|BF|＝p－|BF|cosα，
,

⑵SΔAOB＝(|OF||AB|sinα)/2＝p2/2sinα
例3 已知抛物线y＝x2，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。
分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1＋y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABCD的两底，这样使得中点纵坐标y成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0)
由抛物线方程y＝x2知焦点F(0,1/4),准线方程y＝－1/4，设点A、B、M到准线的距离分别为|AD1|、|BC1|、|MN|，则|AD1|＋|BC1|＝2|MN|，且|MN|＝2(y＋1/4)，根据抛物线的定义，有|AD1|＝|AF|、|BC1|＝|BF|,∴2(y＋1/4)＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2，∴2(y＋1/4)≥2，
∴y≥3/4,即点M纵坐标的最小值为3/4。
分析二：要求AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。
解法二：设抛物线y＝x2上点A(a,a2),B(b,b2)，AB的中点为M(x，y)，则

∵|AB|＝2，∴(a―b)2＋(a2―b2)＝4，则(a＋b)2－4ab＋(a2＋b2)2－4a2b2＝4
则2x＝a＋b,2y＝a2＋b2,得ab＝2x2－y,∴4x2―4(2x2―y)＋4y2―4(2x2―y)＝4
整理得

即点M纵坐标的最小值为3/4。
●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式.
●课后作业
习题8.6 1,2,5.
第二课时
教学目标
1.灵活应用抛物线性质确定抛物线标准方程;
2.应用抛物线性质解决生产实际问题;
3.提高综合解题能力.
教学重点
抛物线定义,性质应用
教学难点
解题思路分析
教学方法
启发式
●教学过程
复习回顾
师:上一节,我们一起学习了抛物线四种标准方程对应的几何性质,现在作一简要的回顾(学生回答略)这一节,我们将组织研究抛物线的标准方程及其几何性质的应用.
反思应用
例1.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置.
分析:此题是根据已知条件求抛物线的标准方程,关键是选择建立恰当的坐标系,并由此使学生进一步认识坐标法.
解:如图8—25,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口直径.
设抛物线的标准方程是 .由已知条件可得点A的坐标是(40,30),代入方程得:

所以所求抛物线的标准方程是 ,焦点坐标是( ,0).
说明:此题在建立坐标系后,学生要能够根据抛物线的图形确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p.
师:为使大家进一步掌握坐标法,我们来看下面的例3:
例2.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
分析:观察图8—26,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.
解:如图8—26,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则:
,所以 .
由此可得, ,即线段AB关于x轴对称,
因为x轴垂直于AB,且∠Aox=30°,
所以 .

说明:这个题目对学生来说,求边长不困难,但是他们往往直观上承认抛物线与三角形的对称轴是公共的,而忽略了它的证明.教学时, 要提醒学生注意这一点,通过这一例题,可以帮助学生进一步掌握坐标法.
例3 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC‖x轴，求证：直线AC经过坐标原点O。
证明一：如图，∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(p/2,0),∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+p/2，代入抛物线的方程并整理得：y2―2pmy―p2＝0①
若设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1、y2为方程①的两个根，所以y1y2＝－p2,∵点C在抛物线的准线上，且BC‖x轴，∴点C的坐标是(－p/2,y2),又y12＝2px1故直线CO的斜率
是 ，而 ,∴kCO＝kAO从而A、O、C三点共线，
所以直线AC经过坐标原点O。
证明二：如图，记准线与x轴交于点K，过A作AD⊥l于D，则AD‖FK‖BC，连AC交FK于E，则
，由抛物线的定义知|AF|＝|AD|,|BF|＝|BC|,
,即点E是FK的中点，所以点O与点E重合，所以直线AC经过坐标原点O。
练习：
1、若抛物线y2＝2px(p>0)的弦PQ的中点为(x0,y0)(y0≠0)，则弦PQ的斜率是（ ）
A、－p/y0 B、p/y0 C、px0 D、－px0
2、已知AB是抛物线y2＝4x的焦点弦，其坐标A(x1,y1),B(x2,y2)满足x1＋x2＝6，则直线AB的斜率是（ ）

3、已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则 的值一定等于（ ）
A、4 B、－4 C、p2 D、－p2
4、抛物线y2＝x上的点到直线x－2y＋4＝0的距离最小的点是（ ）
A、(1/2,1/2) B、(9/4,3/2) C、(1,1) D、(4,2)
5、过点P(－1,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家掌握求解抛物线标准方程的方法,进一步掌握坐标法的应用,并了解抛物线知识在生产生活实际中的应用.
●课后作业
习题8.6 3,4,6.
第三课时
教学目标
1、灵活运用抛物线的性质
2、掌握直线与抛物线的位置关系
3、训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力。
教学重点
直线与抛物线的位置关系
教学难点
抛物线几何性质的综合运用
教学过程
情境设置
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系及判断方法

探索研究
直线与抛物线的位置关系

反思应用
例1 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程。
解：当直线l与对称轴x轴平行时，直线l与抛物线y2＝2x只有一个公共点，此时方程为y＝1；
当直线l与x轴垂直时，直线l与抛物线y2＝2x只有一个公共点，此时方程为x＝0；
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y＝kx＋1代入抛物线方程y2＝2x有k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，∵直线l与抛物线y2＝2x只有一个公共点，
，此时直线l的方程为y＝x/2＋1
综上：所求直线方程为y＝1或x＝0或y＝x/2＋1。
例2 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的一条直线和此抛物线相交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，求证：y1y2＝－p2。
证明：当直线AB与x轴垂直时，方程为x＝p/2，此时两个交点为(p/2,p), (p/2,－p),故y1y2＝－p2；
当直线AB不与x轴垂直时，设方程y＝k(x－p/2)(k≠0)，则x＝y/k＋p/2
代入y2＝2px得ky2―2py―kp2＝0，则y1、y2为方程的两根，故y1y2＝－p2。
例3 过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线和此抛物线交于A、B两点，若弦长AB不超过8，且直线AB与椭圆3x2＋2y2＝2相交，试确定AB倾斜角的取值范围。
解：由抛物线y2＝4x得焦点F(1,0)
若AB与x轴垂直时，方程为x＝1，它与椭圆3x2＋2y2＝2不相交，舍去。
设弦AB所在的直线方程为y＝k(x－1)
由 消去y得：3x2＋2k2(x－1)2＝2，即(3＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0,
∵直线AB与椭圆3x2＋2y2＝2相交，
∴Δ＝16k4－4(3＋2k2)(2k2－2)＞0
整理得：k2－3＜0①
由 消去y得：k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0,设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
则
∵|AB|≤8,
整理得k2≥1②，由①②得 ，
∴倾斜角α∈〔π/4,π/3)∪ (2π/3,3π/4〕
例4 已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以B(a+4,0)为圆心，|AB|长为半径，在x轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN的中点，⑴求|AM|＋|AN|的值；⑵问是否存在这样a的值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列。
解：∵A(a,0),B(a+4,0),∴|AB|=4,圆B的方程为〔x－(a+4)〕2+y2=16,
由 消去y得：x2＋2(a－4)x＋8a＋a2＝0，设M(x1,y1)、N(x2,y2)，

由抛物线的定义知|AM|＝x1＋a, |AN|＝x2＋a,∴|AM|＋|AN|＝x2＋x1＋2a=8。
⑵假设存在a，使得|AM|、|AP|、|AN|成等差数列，则2|AP|＝|AM|＋|AN|,
又|AM|＋|AN|＝8，∴|AP|＝4，
∵M(x1,y1)、N(x2,y2)，P为MN的中点，∴

由|AP|＝4得 ，
整理得 ，
故不存在a，使得|AM|、|AP|、|AN|成等差数列。
归纳总结
1、直线与抛物线的位置关系
2、数学思想方法：数形结合、方程的思想、待定系数法、定义法
作业

http://wenku.baidu.com/view/79ffaa02de80d4d8d15a4faa.html

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北碚区19621377100： 求讲解初中数学抛物线的教案!!!!! - ？
励尹圣之： 抛物线教案 教学内容:1.抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);2.描点画抛物线. 教学目标:1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、 描点、...

北碚区19621377100： 抛物线的性质 - ？
励尹圣之： 1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= ...

北碚区19621377100： 和椭圆,双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点 - ？
励尹圣之： 抛物线只有一个焦点,椭圆和双曲线有两个焦点.抛物线只有一条对称轴,一个开口,一个顶点,椭圆和双曲线有两个对称轴,双曲线有两个开口,椭圆四个顶点,双曲线两个顶点.

北碚区19621377100： 抛物线的几何性质是? - ？
励尹圣之： 1.范围 因为p>0,由方程 可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性 以-y代y,方程 不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 中,当y=0时,x=0,因此抛物线 的顶点就是坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.

北碚区19621377100： 高中数学 - 抛物线的性质 - ？
励尹圣之： 以顶部为坐标原点建立直角坐标 设X^2=-2py 抛物线经过(-1,-1),(1,-1),代入得P=1/2 所以X^2=-y

北碚区19621377100： 抛物线的几何性质 - ？
励尹圣之： 抛物线的标准方程是 y^2=2px 定义:抛物线是到定点(p/2,0)的距离等于到定直线x=-p/2距离的所有点的集合. 焦点坐标是(p/2,0) 准线方程是x=-p/2.焦点弦:就是经过焦点,且两端点在抛物线上的线段.长度是 x1+x2+p 焦半径 就是一个端点在抛物线上,另一个端点是焦点的线段.长度为x+p/2 长度都是根据定义得出来的

北碚区19621377100： 关于双曲线和抛物线的数学教案怎么写哦?？
励尹圣之： 高二数学双曲线及其标准方程教案下载 http://www.ixuela.com/shuxue/jiaoan/6686.html 双曲线的几何性质: http://www.ixuela.com/shuxue/jiaoan/6685.html 高二数学双曲线及标准方程试卷下载 http://www.ixuela.com/shuxue/shijuan/6626.html 双曲线PPT课件 http://www.ixuela.com/shuxue/kejian/11140.html 参考上面的资源,你还用写吗? 呵呵好好用好资源吧

北碚区19621377100： 数学抛物线的基本性质有哪些个? - ？
励尹圣之： 数学抛物线的性质: 对于抛物线方程y=ax²+bx+c 1、当a>0时,抛物线开口向上,函数有最小值,当x=-b/2a时,y值最小,y小=(4ac-b²)/4a;函数在区间(-∞,-b/2a)上是减函数,在区间(-b/2a,+∞)上是增函数 当a<0时,抛物线开口向下,函数有最大值,当x=-b/2a时,y值最大,y大=(4ac-b²)/4a;函数在区间(-∞,-b/2a)上是增函数,在区间(-b/2a,+∞)上是减函数 2、抛物线的对称轴方程是x=-b/2a,顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a ) 3、当b=0时,抛物线关于y轴对称.当b=c=0时,抛物线的顶点在坐标系原点上.

北碚区19621377100： 抛物线的简单几何性质!求过程!谢谢! - ？
励尹圣之： 解:抛物线的几何性质之一是抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离 对于这道题可设标准方程为y^2=-2px(p>0) 则准线方程为x=p/2,而抛物线上一点(-5,m)到焦点的距离为6 即有该点到准线的距离为p/2-(-5)=6,得p=2 即抛物线方程为y^2=-4x

北碚区19621377100： 谁有高中数学选修1 - 2的公式,文科的 - ？
励尹圣之：[答案] 第一部分 简单逻辑用语 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:... 定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线. 7、抛物线的几何性质: 标准方程 图形 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 准线方程 ...