求∑n^2的求和公式，谢谢

数列∑1/N^2 求和~

方法一：
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋ … ＝π²/6
方法二：
复变函数的留数问题，令f(z)=1/z^2*cos(πz)/sin(πz).将此函数在以（-n-1/2,-n),（-n-1/2,n),（n+1/2,-n),（n+1/2,n)为顶点的矩形封闭路径上积分，通过各项相消，易知此积分为0.同时由留数定理，此积分=1/2πi*(-π/3+2/π*（1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2）),两边取极限得 π/3-2/π*∑1/N^2=0，所以∑1/N^2=π²/6

详解大概给不出，说个大概好了。
把这个记成f(x)。
那么f(x)/x = \sum (n^2) (x^(n-1)) 的一个原函数就是 g(x)= \sum n (x^n)。（即f(x) = x g'(x) ）
然后g(x)/x = \sum n x^(n-1) 的一个原函数就是h(x) = \sum (x^n) = 1/(1-x)。
然后就能求出g(x) = x h'(x), 再求出f(x)。

n^2 = n*(n+1)-n

= 1/3*[n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] - n

即:

1^2 = 1/3*(1*2*3-0*1*2)-1

2^2 = 1/3*(2*3*4-1*2*3)-2

3^2 - 1/3*(3*4*5-2*3*4)-3

求和即：

1/3*(1*2*3-0*1*2 + 2*3*4-1*2*3 + 3*4*5-2*3*4……)-(1+2+3+……)

= n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2

因此有：

1^2+2^2+3^2+...+n^2= n(n+1)(2n+1)/6

分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和

Sn=a1+a2+...+an

=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1

=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)

=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2

=2n+1+n(n-1)/2-2

n^2 = n*(n+1)-n。

= 1/3*[n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] - n

即:

1^2 = 1/3*(1*2*3-0*1*2)-1。

2^2 = 1/3*(2*3*4-1*2*3)-2。

3^2 - 1/3*(3*4*5-2*3*4)-3。

求和即：

1/3*(1*2*3-0*1*2 + 2*3*4-1*2*3 + 3*4*5-2*3*4……)-(1+2+3+……)。

= n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2。

因此有：

1^2+2^2+3^2+...+n^2= n(n+1)(2n+1)/6。

相关定义：

在数学中，我们把“∑”作为求和符号使用；用小写字母σ，表示标准差。

在物理中，我们把它的小写字母σ，用来表示面密度。(相应地，ρ表示体密度，η表示线密度)。面密度在工程材料方面是指定厚度的物质单位面积的质量。

在化学中，我们把它的小写字母σ，用来表示共价键的一种。由两个原子轨道沿轨道对称轴方向相互重叠导致电子在核间出现概率增大而形成的共价键，叫做σ键。σ键属于定域键，它可以是一般共价键，也可以是配位共价键。一般的单键都是σ键。

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

叫做平方和公式
n(n+1)(2n+1)/6
证明
(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）
：</B>
　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
　　..............................
　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
　　把这n个等式两端分别相加，得：
　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
　　代入上式得：
　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
　　整理后得：
　　1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

n^2 = n*(n+1)-n
= 1/3*[n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] - n
即:
1^2 = 1/3*(1*2*3-0*1*2)-1
2^2 = 1/3*(2*3*4-1*2*3)-2
3^2 - 1/3*(3*4*5-2*3*4)-3
……………………
求和即：
1/3*(1*2*3-0*1*2 + 2*3*4-1*2*3 + 3*4*5-2*3*4……)-(1+2+3+……)
= n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2
因此有：
1^2+2^2+3^2+...+n^2= n(n+1)(2n+1)/6

若没记错的话，自然的三次方之和结果是很漂亮的：
1^3+2^3+3^3……+n^3 = [n(n+1)/2]^2

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汝州市15024316938： 求∑n^2的求和公式,谢谢也就是1^2+2^2+3^2+...+n^2? - ？
孔策益脉：[答案] 利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n=2*n^2+(n-1)^2-n2^3-1^3=2*2^2+1^2-23^3-2^3=2*3^2+2^2-34^3-3^3=2*4^2+3^2-4.n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n各等式全相加n^3-1^3=2*(2^2+3^2+.....

汝州市15024316938： 求∑n^2的求和公式,谢谢 - ？
孔策益脉： 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2...

汝州市15024316938： 1/(n^2)求和公式 ？
孔策益脉： 数列1/(n^2)求和公式:∑1/(n^2+1),数列(sequence of number),是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,以此类推,排在第n位的数称为这个数列的第n项,通常用an表示.

汝州市15024316938： 应用逐项求导或逐项求积分求幂级数的和函数∑n^2·x^n急求 - ？
孔策益脉：[答案] 根据等比数列求和公式可得到: ∑x^n = [ x^(k+1)-1] / (x-1) (求和项:n=0,1,...,k) 因为计算比较复杂,先将右边用f(x)代替,于是有: ∑x^n = f(x) 等式两边求导得到: ∑nx^(n-1) = f '(x) (求和项:n=0,1,...,k) 两边同乘以x,有: ∑nx^n =x f '(x) (求和...

汝州市15024316938： 求级数∑(n^2+1)*x^n/(n!*2^n)的和函数 - ？
孔策益脉： ^consider e^x = ∑(n:0->∞) x^n/n! e^x =∑(n:1->∞) n.x^(n-1)/n! (两边取导数) xe^x =∑(n:1->∞) n.x^n/n! (两边乘以x) (x+1)e^x =∑(n:1->∞) n^2.x^(n-1)/n! (两边取导数) x(x+1)e^x =∑(n:1->∞) n^2.x^n/n! (两边乘以x)

汝州市15024316938： ∑n^k有没有求和公式?已知∑n=n*(n+1)/2; ∑n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6;……那么∑n^k=?k=0,1,2,3,4…… - ？
孔策益脉：[答案] 有 利用数学归纳很容易证明 ∑n^k可以表示为∑n^k=a1n^(k+1)+a2n^k+……+ank+a(n+1) 其中a1,a2,a3……an,a(n+1)为常数 不过具体求出a1,a2,a3……an,a(n+1非常麻烦

汝州市15024316938： 级数∑(n^2+n - 1)/(2^n)的和 - ？
孔策益脉： 注意到 n^2+n-1 = (n+1)n-1, 作 f(x) = ∑(n≥1)(n+1)n[x^(n-1)],|x|<1, 积分两次即可求和,……

汝州市15024316938： n的2次方求和公式是什么 ？
孔策益脉： n的2次方求和公式是:n(n+1)(2n+1)/6,即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注:N^2=N的平方),证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6.方程,是指含有未知数的等式,是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式.

汝州市15024316938： 级数∑n^2*x^n(n从到正无穷)求和及过程 - ？
孔策益脉： 先提出个x来,变为x∑n^2*x^(n-1)=x(∑n*x^n)'=x[x(∑x^n)']'=x[x(1/1-x)']',其中|x|<1,后面就好算了,你试试.我算的是得(x+x^2)/(1-x)^3,-1<1 欢迎交流

汝州市15024316938： 应用逐项求导或逐项求积分求幂级数的和函数∑n^2·x^n - ？
孔策益脉： 根据等比数列求和公式可得到: ∑x^n = [ x^(k+1)-1] / (x-1) (求和项:n=0,1,...,k) 因为计算比较复杂,先将右边用f(x)代替,于是有: ∑x^n...