对称要素和对称操作

形象对称及其对称变换与对称要素~

形象对称(morphological symmetry)的具体概念是指:物体(或图形、函数)经适当的空间变换后可与自身相重合(即复原)的性质。除图3.1中雪花的例子外，图3.2中的双手则可由位于两手正中间的一个镜面之反映变换而使左、右手交互重合，从而双手作为一个整体也自相重合。

图3.2 双手的反映对称(罗谷风，1974)

事实上，任一对称物体都必然可被划分为若干相同部分，并在空间相互呈有规律的分布。正是基于这一特性，才使物体得以借助于适当的空间变换而使其中的每个相同部分各自都与原来的对应相同部分一一相互重合，从而达到物体与自身相重合的整体效果。所以，形象对称的概念也可等价地表述为:物体(或图形、函数)的各个相同部分相互间在三维空间中的有规律重复。
为了能简洁、明确地阐明对象的对称特点，通常都使用对称要素和对称变换的有关术语来进行描述。
对称变换(symmetry conversion，symmetrytransformation) 亦称对称操作 ( symmetry operation) ，它是 指: 能 使 对 称 物体 ( 或图 形、函数) 达到与自身相重合，或者说能使其中的各相同部分间发生有规律的重复所进行的变换作用。例如上述双手间对于镜面的反映，雪花绕自身中轴线之旋转一定的角度，便是两种不同的对称变换。在晶体对称中，共可有平移 ( translation) 、旋转 ( rotation) 、反映( reflection) 和倒反 ( inversion，亦译 “反伸”或 “反演”，见 3. 3. 1 之 ( 1) ) 四种对称变换的基本方式 ( 其中平移只能出现于无限图形中) 。值得注意的是，平移和旋转两种变换是可以用相应的实际动作来具体实施的; 但反映和倒反则不行，只能设想按相应的对称变换关系来变换物体中每一个点的位置。反映和倒反变换的结果都相当于使左手变为右手而右手则变为左手; 但平移和旋转变换的结果是右手仍为右手，或左手仍为左手 ( 见图3. 3) 。一种对称变换，凡导致左右手互相交换的，都是无法以实际动作来操作的变换。
对称要素 ( symmetry element) 是指: 为实施一定的对称变换时所凭借的几何要素———点、线、面等。一定的对称要素均有一定的对称变换与之相对应。例如上述双手间的反映重复是对于两手中间的一个平面进行的; 雪花的旋转重复是围绕着与其中轴线重合的一根直线进行的。这里的反映平面和旋转轴，就是两种不同的对称要素。
对称变换与对称要素实际上乃是一个统一体的两个方面。它们表述的侧重点虽有不同，但彼此间具有确定的对应关系，两者相互依存，缺一不可。其中对称变换强调的是在变换操作前后的相对变化关系，便于进行代数运算; 而对称要素所凸显的则是彼此的空间取向关系，更有助于建立明确的立体几何观念。

1.对称要素与对称操作
要研究晶体相同部分的重复规律，必须借助于一些几何图形（点、线、面），通过一定的操作来实现。这些几何图形称为对称要素（symmetry elements），这种操作就叫做对称操作（symmetry operation）。
晶体外部几何形态（晶面、晶棱和角顶等）可能存在的对称要素和相应的对称操作如下。
（1）对称面与反映操作
对称面（symmetry plane，习惯符号P）是一假想的平面，亦称镜面（mirror），相应的对称操作为对此平面的反映。对称面的作用犹如一面镜子，它将图形平分成互为镜像的两个相等部分，分别相当于物体本身和它的像。

图4-3 对称面的镜像反映图解

在图4-3中平面P是对称面，但平面Q则不是对称面。因为平面Q虽然把图形ABCD平分为两个等大且等形的三角形△ADC=△ABC，但这两者并非互为镜像，△ADC的镜像是△AB′C。
一个晶体不一定具有对称面，也可以不止一个对称面，但最多不超过9个。
晶体上的对称面可能出露于垂直平分晶面、垂直晶棱并通过晶棱中点及包含晶棱等3种位置。
对称面以P表示。有一个对称面记作P，有多个对称面时，数字写在P的前面，如立方体具有9个对称面（图4-4），记作9P。
（2）对称轴与旋转操作
对称轴（symmetry axis，习惯符号 Ln）是一假想的直线，相应的对称操作为围绕此直线的旋转。物体绕该直线每旋转一定角度后，可使物体各个相同部分重复，即整个物体重复一次。
物体旋转一周重复的次数称为轴次n。每次重复时所旋转的最小角度称基转角α。两者之间的关系为n=360°/a。由于任一物体旋转一周后必然重复，因此，轴次n必为正整数，基转角α必须要能整除360°。

图4-4 立方体的9个对称面及其极射赤平投影

对称轴以L表示，轴次n写在L的右上角，写作Ln。有多个Ln存在时，数字写在前面，如3L4。
表4-1 晶体外形上各种对称轴及旋转反伸轴的符号及作图符号


晶体外形上可能出现的对称轴见表4-1。
轴次n＞2的对称轴，称高次轴，轴次n≤2的称低次轴。
在一个晶体中，除L1必然存在外，等于或大于2次的对称轴可以没有，也可以有一种（同一轴次）或多种，而同一轴次的可以有一个也可有多个。多种对称轴同时出现时，书写时按高次轴到低次轴依次排列，如3L44L36L2。
对称轴在晶体上可能出露于晶面中心、晶棱中心或晶体角顶（图4-5）。

图4-5 晶体上对称轴出露位置

（据罗谷风，1985）
（3）对称心与反伸操作
对称心（center of symmetry，习惯符号C）是一假想的点，相应的对称操作为对该点的反伸。通过物体的对称心作任意直线，在此直线上位于对称心两侧且与对称心等距离的两点处，必定可以找到性质完全相同的对应点。
图4-6是一个具有对称心的图形，C点为对称心。在通过C点所作的直线上，距C等距离的两端可以找到对应点，如A和A1、B和B1；若取图形中任意一点A与对称心C作连线，再由C点向相反方向延伸等距离，必然能找到对应点A1。
任何一个具有对称心的图形中，其相对应的面、棱、角都体现为反向平行。图4-7中C为对称心，△ABD与△A1B1D1为反向平行。
若晶体中存在对称心，其晶面必然成对分布，两两平行，同形等大且方向相反（图4-8）。这是理想晶体有无对称心的判别依据。
（4）旋转反伸轴与旋转加反伸操作
旋转反伸轴（rotoinversion axis，习惯符号为 ），或倒转轴，是假想的一条直线和直线上的一个定点。如果物体绕该直线旋转一定角度后，再对此直线上的定点进行反伸，可使相同部分重复，即所对应的操作是旋转+反伸的复合操作。
以 为例说明其对称含义和操作过程。图4-9a绘出的几何多面体ABCD称四方四面体，它由ABC，BDC，ABD和ACD 4个等腰三角形面所组成，其极射赤平投影见图4-9c，其中小黑点代表上半球晶面投影点，小圆圈代表下半球晶面投影点。其对称操作步骤：①按L4基转角旋转，四方四面体ABCD围绕 旋转90°到达四方四面体A′B′C′D′的位置；此时A′B′C′D′与ABCD两个四方四面体不重复（图4-9b）；②对定点的反伸（其操作相当于对称心的作用，但该定点只是四方四面体的几何中心而非对称心），经过四方四面体中心点的反伸A′B′C′D′与ABCD两个四方四面体重复，具体如三角形A′B′C′的A′反伸到C，B′反伸到D，C′反伸到B，三角形A′B′C′和CDB重合，同理，反伸后A′C′D′与CBA，A′B′D′与CDA，D′C′B′与ABD重合，即四方四面体经过先旋转，再反伸两个对称操作后，整个图形复原。

图4-6 对称心图解

（据潘兆橹等，1993）

图4-7 由对称心联系起来的两个反向平行的图形

（据潘兆橹等，1993）

图4-8 具对称心晶体的晶面特征

（据罗谷风，1985）

结晶学与矿物学

， ， ， ， 旋转反伸轴的作用及其与简单对称要素的关系见图4-10。
由图4-10可以看出：除 外，其余各种旋转反伸轴都可以用其他简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下： =C； =P； =L3+C； =L3+P⊥。鉴于 不能被其他简单对称要素代替而构成一种独立的对称要素， 虽与L3+P⊥等效，但它在晶体的对称分类中有特殊意义（当晶体中有L3+P⊥时，二者由 替代，晶体为六方晶系而不是三方晶系，见表4-2），因此通常只保留 和 。
应注意， 内总包含一个与它重合的L2。 含有L2的对称操作的作用，但L2没有 的作用，故L2不能替代 。当一个晶体没有对称心且有L2时，此L2很可能是 ，但并非必定是 ；若确为 ，此时L2被包含在 之内不再独立存在。
晶体的对称要素还有旋转反映轴或映转轴（rotoreflection axis，习惯符号 ），是假想的一条直线和垂直于该线的一个平面，相应的对称操作为围绕此直线旋转一定角度加对此平面的反映。除 = 外，其他 都可用简单对称要素或它们的组合代替，此不赘述。
2.晶体对称定律
晶体对称定律（law of crystal symmetry）是指晶体中可能出现的对称轴、旋转反伸轴和旋转反映轴的轴次只能是一次、二次、三次、四次和六次，或者说不可能存在五次及高于六次的对称轴、旋转反伸轴和旋转反映轴。

图4-10 各种旋转反伸轴及其与简单对称要素的关系

（据潘兆橹等，1993）
在晶体结构中，垂直对称轴一定有面网存在，在这样的面网上，结点分布所形成的网孔一定要符合与对称轴相适应的对称规律。围绕L2，L3，L4，L6所形成的网孔应分别为长方形、等边三角形、正方形和正六边形，这些多边形网孔应能毫无间隙地布满整个面网，从能量上看是稳定的（图4-11）；若存在L5和高于六次的对称轴，则围绕L5应形成正五边形网孔，围绕高于六次的轴将形成相应的正多边形网孔，如正七边形、正八边形等，而这些正多边形网孔都不能毫无间隙地布满整个面网，从能量上看是不稳定的（图4-11）。所以，在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。对于旋转反伸轴和旋转反映轴，其情况与此类似。

图4-11 晶体对称定律图解


图4-12 晶体对称定律的数学证明

晶体的对称定律还可以用数学方法加以证明：
对两个间距为平移单位t的结点A和A′（图4-12）进行旋转操作R和相应的逆操作R-1，使AA′旋转a角得到两个新的结点B和B′，BB′平行于AA′，BB′之间的距离t′必定是平移单位t的整数倍，即t′=mt，此处m为某一整数。从图中又可得到
t′=2tsin（a-90°）+t
即
t′=-2tcosa+t　　　（4-1）
将t′=mt代入（4-1）式：
得
cosa=（1-m）/2
即
-2≤（1-m）≤2　　　（4-2）
满足不等式（4-2）的m值为
m=-1，0，1，2，3
相应的a值为：a=0或2π，π/3，π/2，2π/3，π。
这就证明了轴次n只能为1，2，3，4，6。
3.对称要素的极射赤平投影
（1）对称面的投影
在球面投影时对称面与球面相交为大圆，故其极射赤平投影相当于球面大圆的投影。水平对称面投影为基圆；直立对称面投影为基圆的直径；倾斜对称面投影为以基圆直径为弦的大圆弧。
（2）对称轴和旋转反伸轴的投影
相当于极射赤平投影中晶面法线的投影。直立的对称轴和旋转反伸轴投影在基圆中心；水平的对称轴和旋转反伸轴投影在基圆上；倾斜的对称轴和旋转反伸轴投影在基圆内。它们在极射赤平投影图上用表4-1中的特殊符号进行标记。
（3）对称心的投影
在基圆中心标出C即可。
图4-13是立方体的全部对称要素3L44L36L29PC及其极射赤平投影。立方体的9个对称面中，1个是水平的，投影为基圆；4个是直立的，投影为米字形的直径；另4个是倾斜的，投影为4个以直径为弦的大圆弧。对称轴中的4L3全是倾斜的，它们的投影都在基圆内；6L2中，2个是水平的，投影在基圆上，4个是倾斜的，投影在基圆内。

图4-13 立方体的全部对称要素3L44L36L29PC及其极射赤平投影

对称性是晶体最直观、最突出的基本性质之一。在对称性研究中，为使晶体或对称物体中的各个相同部分作有规律重复出现的操作(如反映、旋转和反伸等)，称为对称操作。在对称操作时，还必须借助一定的辅助几何要素(点、线、面等)，称为对称要素。

晶体的宏观对称分析中存在的对称操作及其相应的对称要素如下。

图2－7 晶体中对称中心(a)和对称面(b)存在的位置示意图

1. 对称中心 ( C)

对称中心是一个假想的几何点，如图 2 － 7a 中的点，相应的对称操作为对此点的反伸。通过对称中心的任一直线，在其距中心点等距离的位置上必定出现性质完全相同的对应点。在晶体的宏观对称中，晶体若有对称中心存在，其数目只能有一个，此时它必定与晶体的几何中心相重合; 当然有些晶体也可以不具有对称中心。

晶体具有对称中心的标志是: 晶体上所有的晶面都两两平行，同形等大且位向相反。

2.对称面(P)

对称面为一假想的平面，其作用就好像一面镜子，与之相应的对称操作为对此平面的反映，它将物体(或图形)等分为彼此互为镜像反映的两个相同部分。检验这种关系的最直接方法是看两相同部分上所有对应点的连线是否与对称面垂直等距，如图2－7b，如果垂直等距，就是镜像反映关系。

晶体上如有对称面存在时，它们必定通过晶体的几何中心。在一个晶体上可以不存在对称面，也可以有一个或几个对称面同时存在，但最多不会超过9个。它与晶面、晶棱间的关系为:

(1)垂直等分某些晶面或晶棱的平面;

(2)包含某些晶棱并等分晶面的夹角。

3.对称轴(Lⁿ)

对称轴是通过晶体几何中心的一条假想的直线，与之相应的对称操作为绕此直线的旋转。在晶体旋转一周的过程中，相等部分重复出现的次数，称为轴次，轴次以n表示。相等部分出现重复时所必需的最小旋转角，称为基转角，以α表示。如图2－6a所示垂直于纸面，并通过雪花中心的直线即为一对称轴。当每旋转60°，其相等部分就出现一次重复，若连续旋转6次，则晶体完全复归原位。因此，它的基转角为60°，旋转轴次n=6，该轴线即称为六次对称轴，一般记为L⁶。

由于任一物体在旋转一周后必然复归原位，所以，n与α之间的关系必定为:

n=360°/α或α=360°/n

晶体由于受空间格子规律的限制，因此在晶体的宏观对称中，可能出现的对称轴的轴次(n)和基转角(α)并不是任意的，只能是L¹、L²、L³、L⁴和L⁶，而不存在L⁵或高于L⁶的对称轴，这一规律称为晶体对称定律。在上述5种对称轴中，一次对称轴(L¹)通常不予考虑，其原因是任何物体围绕任意直线旋转360°都可以恢复原位，且直线方向可有无数多个，因此无实际意义。

晶体的对称定律可以由晶体的格子规律的特点加以诠释。从图2－8a－d可以看出，由L²、L³、L⁴、L⁶所决定的多边形网孔均能无间隙地布满整个二维平面，符合空间格子中质点平移重复排布的规律，而由五次、七次、八次对称轴所决定的正五边形、正七边形和正八边形(图2－8e－g)等单一种网孔图形都不能无间隙地布满整个二维平面，这均不符合空间格子构造规律。所以，在晶体中不可能存在五次对称轴及高于六次的对称轴。

图2－8垂直对称轴所对应的二维多边形网孔

对称轴在晶体上可能出露的位置有:

(1)过晶体的几何中心并且为某两个相互平行晶面中心的连线(图2－9a);

(2)两个相对晶棱中点的连线，或晶棱中点与晶面中心的连线(图2－9b，d，f);

(3)相对的两个晶体角顶间的连线，以及一个晶体角顶和与之相对的一个晶面中心或晶棱的中点的连线(图2－9c，e)。

晶体中对称轴的存在与其对称程度有关。对称程度低的某些晶体中可以没有对称轴(除了L¹);也可以有一种或几种对称轴，每种对称轴的数目也可以有一个或多个。当描述晶体对称时书写顺序通常依对称轴的轴次由高向低排列，多个同种对称轴的数目则以系数写在相应对称轴符号的前面，如3L⁴4L³6L²、L⁶6L²等。

图2－9 对称轴在晶体上出露的可能位置

4.旋转反伸轴(Lⁿ_i)

旋转反伸轴是一假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称操作就是围绕该直线旋转一定角度，继之再以对该直线上定点的反伸;在此，这两个操作的动作是构成整个对称操作的不可分割的组成部分，它是一种具有复合对称操作的独立对称要素。无论是先旋转后反伸，或先反伸后旋转，两者的效果完全相同，在上述两个连续操作动作都完成后才能使晶体上各相同部分发生重合。

如图2－10所示，欲使四方四面体ABCD上的ABC晶面与ACD晶面重合，可将该四面体绕旋转轴L旋转90°，此时ABC到达A'B'C'的位置。再通过该旋转轴L上的定点的反伸，A'B'C'(实际上是ABC)晶面与(未转时的)ACD晶面重合，其余晶面也以同样方式重合。由于各晶面重合时所需要的旋转基转角为90°，并相应地在该旋转轴上定点反伸，故此L为四次旋转反伸轴，记为L⁴_i。旋转反伸轴通常使用的符号为Lⁿ_i，其中i表示对定点的反伸，n代表旋转的轴次。

图2－10 四次旋转反伸轴(L⁴_i)的图解说明

与对称轴的情况一样，旋转反伸轴也只有L¹_i、L²_i、L³_i、L⁴_i和L⁶_i五种，但具有真正独立意义的仅有L⁴_i和L⁶_i两种。

当轴次n＞2时，称为高次对称轴;而在对称轴和旋转反伸轴中，当轴次n相同时，可统称为n次轴，如L⁴和L⁴_i统称为四次轴等。

表2－1中综合归纳了晶体宏观对称中可能存在的对称要素。

表2－1 晶体外形上的宏观对称要素和代表符号

必须指出的是，在对称分析时，一定的对称操作均有一定的对称要素与之相对应。有的对称操作是可以用相应的实际动作来具体进行的，例如旋转;但有的对称操作，如反映、反伸，则无法用某种实际动作来具体实施完成，而只能设想按相应的对称关系来变换物体中每一个点的位置。

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徐闻县19748308415： 什么是宏观对称素和微观对称素? - ？
军岩赫力：[答案] 宏观对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对称性; 晶体的宏观对称要素的一个特点:晶体中有一点保持不动,也称为点对称操作. 微观对称要素还包括平移对称性.微观对称要素与宏观对称要素运用就能反映出晶体中原子排列的对称性.

徐闻县19748308415： 晶体的宏观对称要素中,对称中心的对称操作是 - ？
军岩赫力： 对称中心(C)的操作,是对一个点的反伸,又称作倒反.

徐闻县19748308415： 完成对称操作的几何元素称为对称元素包括哪些呢? ？
军岩赫力： 完成对称操作的几何元素称为对称元素,包括:旋转轴,镜面,对称中心,映轴,反轴;对称轴和对称面是基本的对称元素

徐闻县19748308415： 映轴和反轴的区别 - ？
军岩赫力： 一、指代不同 1、映轴:又称映转轴.是一种复合的对称要素. 2、反轴:旋转-倒反(又称旋转-反演)对称动作(或称为对称操作)对应的对称元素. 二、特点不同 1、映轴:相应的几何要素是一个假想平面与垂直此平面的一根假想直线两...

徐闻县19748308415： 指出反式二氯乙烯分子所属的点群,并写出所属全部对称元素和对称操作. - ？
军岩赫力：[答案] C2h C2,σh,i .乙烯的那个I2是二重反轴