费马点的解法与证明?
Ⅰ. 先前已有数学家提出相关方法和证明，我在文献中找到了这些方法并一一列出（见附件说明），我还尝试看看是否有其他方法可以找到费马点：
1. 费马点的求法
(1) 作一个三个内角都小于120°的三角形ABC。
(2) 以BC、AC、AB为一边，分别向外作正三角形ABD、ACE、BCE。
(3) 连接对边，交点P即为所求的费马点。
2. 费马点的性质：PB+PC+PA为最小值。
首先，我们证明通过上述方法找到的费马点存在——
步骤A：旋转三角形BPC，使BP与PC重合（即BP=PC），P点落在H处。
那么∠BPC=∠BHG=120°。
步骤B：由于∠BHP=60°（证明见步骤C），所以∠BHG+∠BHP=180°。
因此，点A、P、H、G共线。
步骤C：由于三角形BHG与三角形BPC相等（SSS），得到BP=PG，BG=PE。
由于∠2+∠3=60°且∠1=∠3，所以∠1+∠2=60°=∠PBH。
因此，三角形BPH是正三角形，得到BP=PH。
知道存在一点P，使得PB+PC+PA=PG+PE+PA=PG+PA=PH+PA=PB+PH=PA+PH为最小值。
接下来，我们证明所求出的点P到三角形三个顶点的距离之和最小——
步骤A：在三角形ABC内取一点Q，不同于P，连接PQ、AQ、BQ、CQ。
步骤B：参考步骤1的证明方法，可以得到PB+PC+PA=PG+PE+PA。
步骤C：因此，P点使PB+PC+PA的和最小。
Ⅱ. 一般而言，费马点的探讨仅限于三个内角都小于120°的三角形内部。那么，如果讨论至少有一个内角大于或等于120°的三角形，是否能找到一点，使得到三个顶点的距离之和最短？
(1) 如果三角形ABC的∠A大于120°，P为三角形ABC内部任一点。
延长BP至B'，使BP=BB'。
做∠B'AP=∠BAP，取BP'=BP。
因此，三角形B'AP'与三角形BAP相等（SAS），得到BP'=AP'。
那么，BP'+PC'+PA=BP'+PB+PA=BP'+PA>PB+PA=PC+PA，即PB+PC+PA>PA+PC+PB。
也就是说，如果有一点P与A重合，那么P点就是到A、B、C三点距离之和最小的点。
(2) 但因为∠A>120°，所以∠B'AB<60°，也得到∠PAP'<60°。
因此，在等腰三角形P'AP中，∠AP'P>60°，所以BP'+PC'+PA>BP+PC+PA>BP+PA。
那么，PB+PC+PA>BP+PA>PB+PC，即PB+PC+PA>PB+PC。
也就是说，如果有一点P与A重合，那么P点就是到A、B、C三点距离之和最小的点。
(3) 因此，如果已知三角形有一个内角大于或等于120°，那么费马点就是该内角的顶点。
Ⅲ. 只有三个内角都小于120°的三角形才存在费马点。但在日常生活中，不仅仅是三角形需要找到一点，使得到各顶点的距离之和最小！如果改变形状后，是否能找到一点P，使得P点至顶点距离之和最小？我们以下就最简单的四边形先做讨论。
(1) 已知：四边形ABCD。
求作：四边形ABCD内的P点。
做法：在四边形ABCD中，对角线AC和BD是直线，对角线AC是A、C之间的最小距离，同理对角线BD是B、D之间的最小距离。
发现：对角线AC和BD的交点P是四边形ABCD内的一点，使得PA+PB+PC+PD的和最小。
(2) 证明：在四边形ABCD内另取一点P'，不同于P，连接P'A、P'B、P'C、P'D。
在三角形P'BD和三角形AP'C中，PA+P'D>P'B+P'C（两边和大于第三边）。
因此，PA+PB+PC+PD>P'A+P'B+P'C+P'D=P'A+PB+PC+PD。
所以，P点使PA+PB+PC+PD的和最小。
(Ⅱ). 我们也尝试用物理学方法探讨费马点的相关理论——常听人说“数学是科学之母”，那是否能用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质呢？参考老师的意见并思考后，我做了一系列有关力学的实验：
1. 实验一：从三力平衡证明费马点的性质——三个力所夹的三个角必为120°。
(1) 以木条为边组装正三角形，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，另一端连在一起代表P点。
(2) 让重物自然垂下到达静止状态，量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度（数据说明在表一）。
(3) 因为三重物重量相等，三条线的张力也相同，即F1=F2=F3=W，在平衡时所构成的力图（参考图A）形成的“封闭三角形（参考图B）”为正三角形，也即该力图之手笑三力所夹的三个角皆为120°。
(4) 将步骤(2)之实验装置垂直置於一座标平面之上方，纪录P点座标，再和（三）求出之P点一次函数，以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合。
(5) 重复以上步骤5次，并改变三角形的形状重复操作。
2. 实验二：从实验发现费马点具有最低的位能的特性。
(1) 以木条为边组装正三角形ABC置於水平面上，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，由实验一已知P点为费马点。
(2)於P点（费马点）悬挂一黏土块W，让重物自然垂直向下移动到达静止状态（装置参考图C），量测此时P点与水平面之垂直距离，分别作三次后取平均值，高度为hP。
(3) 将P点任意移
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