如何证明一个函数处处可导，最好有例题展示
最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。
如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。
f(x)=1+xg(x),而lim
x->0
g（x）=1
证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）
1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim
x->0
f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。
2)
lim
x->0
[f(x)-f(0)]/x=
lim
x->0
g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。
接下来就可以直接证明结论了。
f'(x)
=lim
Δx->0
[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim
Δx->0
f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x)
lim
Δx->0
[f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)
扩展资料：
实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。
如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。
一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。
从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
参考资料来源：搜狗百科——可导函数
证明处处可导，先要证明连续。
连续定义为在某点邻域，左趋近等于右趋近等于函数值。证明时取区间内任意一点，取任意小量a,令随着x->x0即x-x0->0时，绝对值f(x）-f(x0)可以小于任意小的a,证明a存在就可以，同时可以得到的是极限值与改点函数值可以小于任何小量（这是相等的定义）。再加上x=x0可以取到，就能证明连续。
连续加上导数存在，就是处处可导。
也许不是写得很清楚，但是考试这么证明应该就没问题了。我似乎就这样混过来的。。。
要看书的话，应该是数学分析，第几册想不起来了，反正总共就3本。
PS：一楼的回答像是高中数学。
最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。
如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。
f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g（x）=1
证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）
1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim x->0 f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。
2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。
接下来就可以直接证明结论了。
f'(x)
=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)
扩展资料：
实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。
如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。
一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。
从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
参考资料来源：百度百科——可导函数
最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。
如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。
2. f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g（x）=1
证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）
1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim x->0 f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。
2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。
接下来就可以直接证明结论了。
f'(x)
=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)
狄利克雷函数处处不连续证明
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数，它的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数。详细内容如下：1、假设狄利克雷函数在R上连续。我们在R上任取一点$x_0$，如果$x_0$是有理数，则$\\lim_{x\\tox_0}D（x）=D（x_0）$；如果$x_0$是无理数，则$\\lim_{x\\tox_0}D（x...
函数处处可导的充要条件是什么,为什么?
函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。显然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。
证明函数几乎处处为0
利用勒贝格定理，函数f黎曼可积的充要条件是f上的不连续点构成的集合全体为一零测集，从而f是几乎处处连续的。在连续点处，用反政法，假定某一点x_0使得f(x_0)>0，由连续性可得此点的一个充分小的邻域上大于0，从而整个积分大于0，与题设矛盾，故只有f(x_0)=0。由x_0的任意性可知f(x)在...
如何证明魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微?
下面证明函数处处不可导：对一个给定的点<math>x \\in {\\mathbb R}<\/math>，证明的思路是找出趋于<math>x<\/math> 的两组不同的数列<math>(x_n)<\/math> 和 <math>(x'_n)<\/math>，使得 :<math>\\lim \\inf \\frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \\lim \\sup \\frac{f(x'_n)...
如何证明函数f(z)=e^2x (cos2y=isin2y)在复平面上处处解析?
这里实部和虚部对应的函数分别是u(x,y)=e^(2x) cos2y，v(x,y)=e^(2x) sin2y，这两个函数在全平面上可微，所以要证f（z）解析的话，只需要验证C-R条件就够了。C-R条件：u对x的偏导=v对y的偏导，u对y的偏导= - v对x的偏导，验证可得：u对x的偏导=v对y的偏导=2 e^(2x) ...
函数处处可导的充要条件是什么?
对于函数的每一个有定义的点X（在有定义的区间内），函数的在X处左极限等于有极限等于函数在X的值，称为函数在X点连续。处处可导充要条件是每一个点都要满足连续条件。
证明是否存在函数,满足:“处处可导,但导函数处处不连续的”
可参见周民强著《实变函数论》55页思考题5. 大致思路如下：首先，记f_n(x)=n[f(x+1\/n)-f(x)]，则f_n是连续函数。由于f处处可导，对每个x∈I, f_n(x)->f‘(x). 这样f'就是一个连续函数列的极限函数。然后用实变里常用的分割集合的技术，可以证明：f'的不连续点集包含于一列无内...
怎么证明一个函数在R上处处可导!
使用定义证明
非负可积函数必定是几乎处处有限的
非负可积函数必定是几乎处处有限的，是对的。这个问题涉及到实分析中的概念，需要使用一些数学证明。首先，我们知道如果一个函数是可积的，那么它的积分值是有限的。接下来，我们需要证明非负可积函数必定是几乎处处有限的。假设f(x)是一个非负可积函数，那么它的积分值是有限的，即积分从a到b、f(...
狄利克雷函数为什么是处处不连续的?
当 自变量为有理数时，；自变量为无理数时，。狄利克雷函数的图像关于轴成轴对称，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数 √2代表 根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，...
禾韵穿山： 题目条件肯定写错了,应该是f(x+y)=f(x)f(y).看结论就知道要你证明的是f(x)=e^x,一种办法就是利用函数方程外加连续性逐步解出来,另一种就是直接做.条件1用来得到 1)f(0)=f(0)^2,结合条件2得到f(0)=1. 2)1=f(x-x)=f(x)f(-x) 条件2是连续性...
霍山县19365626566： 怎样证明函数在某一点处的可导性?好的话加分 - ？
禾韵穿山： 分段函数在分段点上的可导性的证明,需要用左右导数的定义去求其左右导数是否存在并且相等. 比如你的例子里 f(x)在0处的左导数是1,右导数也是1,所以,函数在该点是可导的
霍山县19365626566： 怎么证一个函数处处可导? - ？
禾韵穿山： 函数在定义域中, 函数处处连续,定义域中任意一点左右两侧导数都存在并且相等,即可证一个函数处处可导
霍山县19365626566： 证明一个函数在其定义域内可导和连续,来个例子最好 - ？
禾韵穿山： 例如:y=x^2 在定义域R上连续可导;y'=2x .
霍山县19365626566： 怎样证明函数在某一点处的可导性?再解答一道例题:分段函数f(x)=x,x>=0 证明其在x=0处的可导性和连续性sinx,x - ？
禾韵穿山：[答案] 分段函数在分段点上的可导性的证明,需要用左右导数的定义去求其左右导数是否存在并且相等. 比如你的例子里 f(x)在0处的左导数是1,右导数也是1,所以,函数在该点是可导的
霍山县19365626566： 如何证明函数处处可导 - ？
禾韵穿山：[答案] 最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性.\x0d如果是抽象函数或定义式较特殊的,就用定义证明任取一点处都具有可导性.
霍山县19365626566： 请问如何证明函数在某点是否可导?？
禾韵穿山： 首先判断函数在这个点x0是否有定义,即f(x0)是否存在;其次判断f(x0)是否连续,即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等;再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等,即f'(x0-)=f'(x0+),只有以上都满足了,则函数在x0处才可导.函数可导的条件...
霍山县19365626566： 怎样证明一个函数在某点 比如X0处可导啊 或者任意阶可导 或者n阶可导这样子的 - ？
禾韵穿山：[答案] 这样的题直接利用导数的定义,比如证明在X处的可导性,设X+x f(x)导数= f(X+x)-f(X)/x x趋向无穷小
霍山县19365626566： 怎么证明函数在某点处是否可导 - ？
禾韵穿山：[答案] 一般可按照导数定义证明该极限存在 对分段函数一般用左右导数存在及相等来证明 当然对于常见函数如果能求岀导数公式其存在性就不在话下 导数不存在的情况常见于不连续 而不连续又有多种情况 如函数无定义 旡极限 极限与函数值不等许多情况
霍山县19365626566： 怎么证明一个函数在某一点可导且连续 - ？
禾韵穿山： 在一个点可导的证明方法是 第一步:那个点的 左导数=右导数 第二步:在那个点,函数有定义 函数就在那个点可导 连续的证明方法是 第一步:函数在那个点,左极限=右极限 第二步:函数在那个点有定义,且函数值等于左右极限值 函数就在那个点连续
