截断求差法
比较两个数或两个代数式的大小,可以运用求差法:如果a-b>0,则a>b;如果a-b<0,则a<b.
运用求差法比较大小的一般步骤是:(1)作差;(2)判断差的符号;(3)确定大小.
【例1】设x>y,试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小,如果较大的代数式为正数,则其中最小的正整数x或y的值是多少?
【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差,然后再根据已知条件x>y,来判断这个差的符号,从而比较两个代数式的大小.
解:由两式作差得-(8-10x)-[-(8-10y)]=-8+10x+8-10y=10x-10y.
因为x>y,所以10x>10y,即10x-10y>0.
所以-(8-10x)>-(8-10y).
又由题意得-(8-10x)>0,即x>,所以x最小的正整数值为1.
【例2】有一个三口之家准备在假期出外旅行,咨询时了解到东方旅行社规定:若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票;而光明旅行社则规定:三人均可按团体票计价,即按全票的80%收费.若两家旅行社的票价相同,则实际哪家收费较低呢?
【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低,我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用,然后根据求差法的步骤,求出两个式子的差,再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.
解:设这两家旅行社全票的价格为a元,依题意
东方旅行社的收费为2a+70%a=2.7a,
光明旅行社的收费为3a×80%=2.4a.
因为2.7a-2.4a=0.3a>0,
所以实际上光明旅行社的收费较低.
【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢?因为如果不设的话,我们即使知道用求差法比较大小,也无从下手
把被除数从右往左2位2位的分开。再把分开后的数加起来。如果能被99整除,那么加起来的数是99的倍数。
截断作和能被99整除的数的特征:从个位开始,每两位一截,得到的所有两位数(最前面的可以是一位数)之和能被99整除。
如:10296,截断得:1,02,96,作和:1+02+96=99,99能被99整除,所以10296能被99整除。
截断作差(判断5位数以上的大数较为简便)
能被7、11、13整除的数的特征:从个位开始,每三位一截,奇数段之和与偶数段之和的差能被7、11、13整除。
如:判断7163800是能被7整除
截断得:7,163,800,奇数段为800、7,奇数段之和为:800+7=807;偶数段为163。807-163=644,644÷7=92,所以7163800是能被7整除。
灵活运用
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