共轭复数的模的运算性质

共轭复数性质~

2-3A观念05共轭复数与其性质

共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。复数z的共轭复数记作z（上加一横），有时也可表示为Z*。同时, 复数z（上加一横）称为复数z的复共轭(complex conjugate)。

中文名
共轭复数
外文名
conjugate complex number
类别
定律
类型
概念
学科
数学
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代数特征

运算特征

模的运算性质
公式
根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 =a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反。
共轭复数有些有趣的性质：


另外还有一些四则运算性质。
代数特征
（1）|z|=||；
（2）z+=2a（实数），z－=2bi；
（3）z· =|z|2=a2+b2（实数）。
加法法则
复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.[1]
减法法则
两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）
即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i
乘法法则
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i.
除法法则
复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。
即：
开方法则
若zn=r(cosθ+isinθ），则 （k=0，1，2，3……n-1）
共轭法则
z=x+iy的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy
即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2
即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。
z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对。

共轭复数的性质：

（1）︱x+yi︱=︱x-yi︱

（2）（x+yi）*（x-yi）=x2+y2=︱x+yi︱2=︱x-yi︱2

复数四则运算法则若复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，则z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i，（a+bi）·（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，（a+bi）÷（c+di）=（ac+bd）/（c2+d2）+（bc-ad）i/（c2+d2）

其实两复数相除，完全可以转化为两复数相乘：（a+bi）÷（c+di）=（a+bi）/（c+di），此时分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。

虚数单位i的乘方i（4n+1）=i，i（4n+2）=-1，i（4n+3）=-i，i4n=1（其中n∈Z）

扩展资料

1、复数模的计算方法

（1）利用复数的三角形式，转化为求三角函数式的最值问题；

（2）考虑复数的几何意义，转化为复平面上的几何问题；

（3）化为实数范围内的最值问题，或利用基本不等式；

（4）转化为函数的最值问题。

2、复数的大小关系

复数无法比较大小，即两个复数只有相等和不等两种等量关系。

两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的，就是说，a+bi=c+di当且仅当a=c并且b=d.

参考资料来源：百度百科-共轭复数

1、 | z1·z2| = |z1|·|z2|

2、┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|

3、| z1－z2| = | z1z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线

表示复数z的共轭复数，

表示复数z的共轭复数的共轭复数。

扩展资料：

共轭复数的加法法则：

复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。

共轭复数的减法法则：

两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i），即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i。

共轭复数的乘法法则：

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i。

① | z1·z2| = |z1|·|z2|
②③┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
| z1－z2| = | z1z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线
PS:z′表示复数z的共轭复数(实际形式为z上一横)，z″表示复数z的共轭复数的共轭复数(为z上两横)，即z〃=z。

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新安县15973615049： 共轭复数的模长怎么求? - ？
晏丽桑枝： 当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数,其几何特征是复平面上关于实轴对称的点.即复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为 (a,b∈R),下面例析其性质及应用. 一、性质 设z=a+bi(a,b∈R),则 (a,b∈R),有以下性质...

新安县15973615049： 复数模是什么?有什么性质?复数模可以是虚数吗? ？
晏丽桑枝： 设复数z=a+bi(a,b都是实数) 则它的模∣z∣=√(a^2+b^2),可见,模一定是实数,不可能是虚数! (1)∣z∣≧0 (2)复数模的平方等于这个复数与它的共轭复数的积. 还有其他一些在运算方面的性质.

新安县15973615049： 什么叫共轨复数!?? - ？
晏丽桑枝： 两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number).(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)复数z的共轭复数记作zˊ.

新安县15973615049： 互为共轭复数的两个复数的模相等吗? - ？
晏丽桑枝： 这个肯定是一样的因为这是一个固定的计算结论因为复数的模其实就是那个系数的平方和

新安县15973615049： Z拔(就是Z上面一横)有什么性质和公式啊 - ？
晏丽桑枝： Z拔就是复数z的共轭复数:两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数 .(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)复数z的共轭复数 上要共架一个横梁,这横梁就叫做＂轭＂.如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个＂一＂就表示X-Yi,或相反. ...

新安县15973615049： 下面命题:①0比 - i大;②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数时成立;③x+yi=1+i的充要条件是x=y=1 - ？
晏丽桑枝： ①实数与虚数不能比较大小,故①错误;②例如z1=2-i,z2=3+i,z1+z2=5,但z1与z2不是共轭复数,故②错误;③x+yi=1+i的充要条件是x=y=1,错误;例如y=-i,x=i满足x+yi=1+i,但不是x=y=1;④错误,当a=0时,就不满足题意;⑤正确,这是复数模的运算性质. 故答案为:⑤

新安县15973615049： 复数Z=i1+i(i是虚数单位)的模为______. - ？
晏丽桑枝：[答案] ∵复数Z= i 1+i= i(1−i) (1+i)(1−i)= 1+i 2= 1 2+ 1 2i,∴|Z|= (12)2+(12)2= 2 2, 故答案为: 2 2.

新安县15973615049： 复数中的共轭具有什么性质 - ？
晏丽桑枝： 代数性质:和差积商的共轭等于共轭的和差积商; 几何性质:互为共轭的两个复数对应的点关于实轴对称,特别地,实数的共轭是其自身.

新安县15973615049： 复数的相关概念以及性质 - ？
晏丽桑枝： 望采纳 复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位.在复数a+bi中,a称为复数的实部,b称为复数的虚部,i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数;当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,复数的实部如果...

新安县15973615049： 谁有初二下册二次根式提纲？
晏丽桑枝：一般形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式,其中,a叫做被开方数.当a≥0时,表示a的算术平方根;当a小于0时,非二次根式(在一元二次方程求根公式中,若根号下为负数,则无实数根),被开方数一定大于或等于0.√ā(a≥0)是一个非负数....