2个重要极限的问题？

两个重要极限公式~

lim((sinx)/x)=1(x->0)，lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。

因为y=sinx
/x为偶函数，所以只需考虑一侧即可
在单位圆中可得当0<x<π/2时，0<sinx<x<tanx，同除sinx得
1<x/sinx<1/cosx
即得cox<
sinx
/x<1
两边分别以x趋向于0取极限
左边的极限为1，右边是常数的极限为本身1
再由夹逼法则得sinx
/x在x→0的极限为1

你所说的 ln[1+f(x)]~f(x) 是当 f(x) 趋近于 0 时，对数函数 ln[1+f(x)] 的渐近展开式，也被称为 ln 的一阶泰勒展开式。因此，当 f(x) 趋近于 0 时，ln[1+f(x)] 可以近似等于 f(x)。

然而，当 x 趋近于 0 时，f(x) 不一定等于 x。在题目中，我们有 ln(1+x)~x，这是因为当 x 趋近于 0 时，x 是 ln(1+x) 的一阶泰勒展开式，也即 ln(1+x) 可以近似等于 x。但是，当我们将 x 替换成 e^x 时，就不能再使用 ln(1+x)~x 的近似了。此时，我们需要使用 ln(1+e^x) 的泰勒展开式：

ln(1+e^x) = e^x - (1/2)e^(2x) + (1/3)e^(3x) - ...

当 x 趋近于 0 时，e^x 趋近于 1，因此上式可以近似为：

ln(1+e^x)~e^x

这个近似式的精度比 ln[1+f(x)]~f(x) 要低，只有在 x 趋近于 0 时才能使用。因此，当我们将 x 替换成 e^x 时，可以使用 ln(1+e^x)~e^x 的近似式，但这并不意味着我们可以将 ln(1+e^x) 写成 e^x 的形式并直接计算其值。

当x→0，ln(1+x)~x那么当x→0，ln(1+e^x)~e^x但这就是ln2~1我觉得重要极限应该是在x对应的位置上出现任何f(x)都能直接替换出去，就是ln[1+f(x)]~f(x)，难道不是这样？

这个理解不全面，你少了一个条件，就是x→0这个条件，没有这个条件就是错的，比如ln(1+e^x)~e^x 的前提是e^x→0，而不是x→0，所以结论ln2~1是错的。后面的一般结论ln[1+f(x)]~f(x)的前提是f(x)→0，而不是x→0。记住这个就什么都明白了。

事实上您列举的第二种情况不能成立。

极限为非零实数时，只需要求出极限即可。

只有当极限为零（无穷小）或者无穷大时，才会寻找等价无穷小或者等价无穷大。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

朋友，您好！详细过程如图rt，希望能帮到你解决问题

因为y=sinxx为偶函数，所以只需考虑一侧即可在单位圆中可得当0<x<π/2时，0<sinx<x<tanx。

同除sinx得，1<x/sinx<1/cosx即得cox<sinx/x<1两边分别以x趋向于0取极限左边的极限为1，右边是常数的极限为本身1。

生与发展：

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

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华阴市19294598340： 两个重要极限是什么? - ？
住阮红鹿：[答案] 第一个:x趋近于0时,sinx/x的极限为1 第二个:n趋近于无穷大时,(1+1/n)的n次方的极限为e

华阴市19294598340： 两个重要极限的问题.书上的两个重要极限,下面x分别是趋向去0和无穷大,但是在做课后习题的时候,发现当x趋近去无穷大的时候sin x的那个极限也是等... - ？
住阮红鹿：[答案] 发现当x趋近去无穷大的时候(sin x)/x的那个极限也“不是”等于1的! 是有界无穷小. 当x趋近去0的时候1+1/x的这个极限“不等于”e! x趋于0正时极限为1 x趋于0负时极限不存在 证明过程很简单,当x趋于0时令t=1/x,就可以得出上面的结论

华阴市19294598340： 关于两个重要极限的题目 - ？
住阮红鹿： 这问题是这样的:e^x / (1+1/x)^(x^2) =(e / (1+1/x)^x)^x 由于(1+1/x)^x趋于e,所以底数趋于1,指数x趋于无穷大,这是1的无穷大的情形,极限不是1,是未定式,,所以你不能直接用特殊极限,要借用其他方式解决. 设y=(e / (1+1/x)^x)^x lny=x(...

华阴市19294598340： 关于高数中两个重要极限的问题高等数学有第一章里介绍了两个重要极限,其中有一个是lim=(1+1/x)exp(x)=e,不过在变量代换中有个问题我不是很清楚,上... - ？
住阮红鹿：[答案] “大于1的数的无穷大次方是无穷大”这是有问题的. 因为1+x并不是一个确定的数! x在变化,当x->0+的时候就有极限了. 如果(1+0.1)exp(1/x)当x->0+时,才有你说的情况. 在高数后面就会看到,1exp(∞),(∞)exp(0)这种情况都是不定式,它们有可...

华阴市19294598340： 关于两个重要极限的疑问第一个重要极限 limx - >0 (sinx/x) =1 ,那分子跟分母反转还是等于1吗?即 limx - >0 (x/sinx) = 1 ? - ？
住阮红鹿：[答案] 相等,

华阴市19294598340： 关于二个重要的极限.求lim x趋向于0 x^2 sin1/x这个怎么求,可以用二个重要极限吗? - ？
住阮红鹿：[答案] 这个极限等于0 x→0,1/x→∞,sin(1/x)为有界函数 因此原极限等于0

华阴市19294598340： 高数关于两个重要极限的题目!求这两个极限:lim x - 0 sin2x/sin5x lim n - 无穷 2^n sinx/2^n 本人初学,求教! - ？
住阮红鹿：[答案] 这是个较为重要的极限求解,也比较基本,就是应用limx趋近于0,sinx~x的等价代换1.limx~0时,应用上式有sin2x~2x,sin5x~5x,上下同时约去x,得到答案 2/52当lim n趋近于无穷大时,x/(2^n)趋近于0,有sin[x/(2^n)]~x/(2^n),有...

华阴市19294598340： 用两个重要极限求下面的极限lim(x→0)(sin2x/x) - ？
住阮红鹿：[答案] 设 u = 2x,则 x = u/2.当 x→0 时,u→0 因此, lim[sin(2x)/x] =lim[(sinu)/(u/2)] =lim 2*(sinu)/u =2*lim(sinu)/u =2*1 =2

华阴市19294598340： 两个重要的极限的问题 - ？
住阮红鹿： 你问的问题没太看懂,这个式子可以求x趋近0的极限,等于1.任何数的0次方都等于1,这个在存在具体数的时候是成立的.但并不适用于极限,例如,x^(1/lnx)(x趋近正无穷),这个函数的极限为e.这式子说明无穷大的0次幂不等于1.

华阴市19294598340： 请教高数两个重要极限的证明 - ？
住阮红鹿：[答案] sinx/x→1,(x→0)用夹逼准则来证明,用到tanx=sinx/cosx>x>sinx(在单位圆里的第一象限) 而注意,x→0时,cosx→1;然后由夹逼准则就可以得出sinx~x,x→0; 另一个用的是单调有界数列必有极限这个定理来证明的.首先说明那个数列是递增的,然...