阅读梳理·《小学数学教材中的大道理》（02）——交换律的“前世今生”

~ 这个课题讨论的是运算定律中的交换律的问题，涉及的内容是人教版《数学》四年级下册“运算定律”这块内容。

其实，无论是加法交换律还是乘法交换律，都是不成问题的。一年级的孩子就已经会加法交换律并能熟练运用了，算完8+9=17，马上就会说出9+8=17。而且，一年级上册的学习过程中，就大量充斥着加法交换律的练习，比如8+9既可以拆8凑9，也可以拆9凑8，就蕴含着加法交换律的思想。

一个一年级就能熟练掌握的加法交换律和同样该出现就很快掌握的乘法交换律怎么会在四年级成问题了呢？

根源是教材上列举的几条满足加法交换律关系的等式，有老师断言，教材是拿这几条具体的等式来“证明”加法交换律的。其实，从一年级就出现加法交换律来看，我更愿意相信教材举这些个具体等式的例子是为了唤醒，唤醒关于加法交换律的记忆。

当然，如果教材编写者的意图是拿这几个等式来“证明”加法交换律，也没有什么问题。毕竟除了严格的演绎推理外，还有合情推理。而且，在我看来，在数学的发展上，合情推理起着更重要的作用。况且，此时学习的对象还是处于具体运算阶段的小学生，举例论证的方式无疑是非常合适的（六年级的分数除法算理可以算是孩子们第一次用演绎推理）。

当然，作为老师，我们可以把这个问题思考得更深一些，我们去找找加法交换律应该如何进行演绎推理，兴许会为这部分的教学带来很不一样的东西。

张奠宙先生在文中谈及自然数的加法在于对两个具有有限基数且不相交的集合A和B作并集A∪B之后，A∪B的基数是A的基数与B的基数之和。这大概是我们教材对加法定义的一个态度，至少人教版是这样的。

但在我看来，这是一种错误的定义，至少也是一种与加法本质相脱离的定义。

张奠宙先生紧接着谈到另一种理解，即“数数“。A、B两堆石子，先数A堆的a颗，接着数B堆的b颗，最后的结果就是a+b颗。

这不仅仅是理解的方式变了，而是完全不同的两种定义。前者取数的基数意义，后者取数的序数意义。谁最接近加法的本源义？自然是后者，即数的序数意义。因为数(shù)源于数(shǔ)，序数才是最原始的。

我们知道数学是一们逻辑性很强的学科，逻辑就是“链条”，前推导后，一环接一环，那么势必有一个出发点，也就是“链条”开始的地方。对于，数学这个学科而言，就是数学直观。什么是数学直观？那就是确定无疑，又不能证明的东西。比如说平面几何里的“两点之间线段最短”，就是确定无疑的，但恐怕谁也证明不了。

那么那条把加法视为其中一环的逻辑“链条”，它的出发点是什么？或者说作为加法基础的数学直观究竟是什么？

皮亚杰讲过一个数学家小时候的故事，这个数学家摆弄石子，把石子排成一行，从左往右数，1、2、3…最后得到了10；然后，他又从右往左数，1、2、3…最后得到了10。他觉得太神奇了，有一道光从他的心中升了起来。

这确实是一件奇妙的事（虽然我们都已经麻木了），无论从左开始，还是从右开始，得到的都是同一个数，这个过程产生了一个恒定不变的性质，而且这个性质是区别于石头的颜色、气味、硬度等等物理性质的，这就是——数。

当然作为数学性质的数并不是1，2，3…这些数字，作为数学性质的数是一直就存在的，而且人类发现这个性质也是远远早于“1，2，3…”等等数字符号。

古人放牧，早上羊出圈时，出一只羊投一个石子，下午羊归圈，回一只羊取一个石子，用这个方式，就可以知晓羊到底有没有全部归圈。也就是说，只要是一个羊对应一个石子，羊跟石子就具有一个共同的性质——数。

我们很确定，只要是一一对应的两类物体，他们就具有一个共同的性质——数。而至于为什么会这样？确实是没法证明的，而且我们也没法排成在另一个空间或者另一种存在者那里，兴许一一对应并不能得到这个共同的性质。

所以，这个数的性质，就是数数的数学直观，就是我们要寻找的出发点。

而加法是什么？加法的本质仍然是数数，是升级版的数数。人教版把加法定义成集合的并，但是在计算加法结果时却又必须回到数数上（从头开始数，接着数…）。这是必然的，因为集合的并仍然得以“数数”作为基础。

之所以说加法是升级版的数数，是因为不必都回到一个一个数上。比如5+4，不必都得先数5个，然后再数4个。我们可以从5开始往后数4个，从4开始往后数5。甚至孩子确定5根小棒加4根小棒是9根小棒后，马上就可以得到5个苹果加4个苹果是9个苹果。这一切都是因为，物体的这个固定不变的性质——数来决定的。

所以，加法交换律是什么，5+4和4+5无非是换一个顺序来数罢了，是先数5的那堆还是先数4的那堆，而这两堆放在一起的物体具有一个恒定不变的性质——数，这个数可以用运算结果“9”来表征。

所以，乘法交换律是什么，5×4和4×5无非也只是换一个顺序来数罢了，是一行行数（每行是5）还是一列列数（每列是4）。

其实，加法结合律和乘法结合律，甚至乘法分配律也只是数数顺序变了而已。

重新回到教材上，我们要如何定位？如何教学？其实，把交换律安排在四年级有其系统整理的味道，也就是要对整个运算定律作为命名和整理。而交换律作为最简单的运算定律，大可不必劳心劳力，重要的是在前面学习加法，甚至是数数中进行渗透。

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