求线性空间的维数和易组基

求下列线性空间的维数和一组基~

1.复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域C上的线性空间是1维的，其中一组基为：1
这是因为对任意复数z，都有z=z*1
2.复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域R上的线性空间。
因为对任意复数z，都存在唯一一对实数a，b使得z=a+bi，
所以复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域C上的线性空间是2维的，其中一组基为1，i。
3.C^n作为R上的线性空间。
因为C^n中的任意向量z=（z1，z2,...,zn）都存在唯一一组实数
（（a1,b1）,(a2,b2),..,(an,bn)）使得
z=(a1+b1i,a2+b2i,...,an+bni)
所以C^n作为R上的线性空间是2n维的，其中一组基为：
（1,0，...，0），（i，0，...，0）
（0,1,0，...，0），
（0,i,0，...，0）
...............................
（0，...，0,1），
（0，...，0,i）

组将有一个维度
（1）P ^（* n）的
EIJ，，= 1,2，...，n表示的第j列的元素，第i个行是1，而其余的0矩阵
构成维度为n ^ 2
（2）P ^ N * N的全对称
EIJ，I <J表示AIJ =庵治= 1，其余的矩阵是全部0
EII AII = 1，其余为0矩阵
构成基维度为n +（n-1个）+ ... +1 = N（N +1）/ 2

P ^ N * N的所有反对称
EIJ，I 构成的基本尺寸是第（n-1）+ ... +1 =正第（n-1）/ 2

公理化定义
给定域 F，一个线性空间即（向量空间）是个集合 V 并规定两个运算：
向量加法：V × V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V，
标量乘法：F × V → V 记作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V。
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：
向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w.
向量加法交换律: v + w = w + v.
向量加法的单位元: V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v.
向量加法的逆元素: ∀v∈V, ∃w∈V, 导致 v + w = 0.
标量乘法分配于向量加法上: a(v + w) = a v + a w.
标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v.
标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v。
标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 指示域 F 的乘法单位元.
有些教科书还强调以下两个闭包公理：
V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V.
V 闭合在标量乘法下: a v ∈ V.
简而言之，向量空间是一个F-模。
V的成员叫作向量而F的成员叫作标量
若F是实数域R，V称为实数向量空间.
若F是复数域C，V称为复数向量空间.
若F是有限域，V称为有限域向量空间
对一般域F，V称为F-向量空间
基础特性
首5个公理是说明向量V在向量加法中是个可换群.余下的5个公理应用于标量乘法.
这些都是一些特性很容易从向量空间公理推展出来的.如下:
零向量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的.
a 0 = 0 ∀ a ∈ F.
0 v = 0 ∀ v ∈ V 这里 0 是F的加法单位元.
a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0.
可加的逆元向量 v (公理4) 是唯一的. (写成−v). 这个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的.
(−1)v = −v ∀ v ∈ V.
(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V.
子空间及基
一个向量空间 V 的一个非空子集合 W 在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为 V 的线性子空间。
给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，纪作 span(B)。
给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集。
一个向量空间 V 最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若 V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集。
如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如,实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …, R∞, …中， Rn 的维度就是 n。

---

秦城区19881861225： 求这题,下列线性空间的维数和一组基 - ？
巩琪丽益：[答案] (1) 1维 数1 (2) 2维 1和i (3) 2维 (1,0),(0,1) (4) 4维 (1,0),(0,1),(i,0),(0,i) (5) n维 (1,0,...,0),(0,1,0,...0),...(0,0,...1) (6) 2n维 (1,0,...,0),(0,1,0,...0),...(0,0,...1),(i,0,...,0),(0,i,0,...0),...(0,0,..i)

秦城区19881861225： 求此线性空间的维数和一组基复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域R上的线性空间. - ？
巩琪丽益：[答案] 维度是2,{1,i}构成一组基.事实上C与R2作为向量空间是同构的

秦城区19881861225： 求实数域上全体n阶对称矩阵所构成的线性空间的维数及一组基 - ？
巩琪丽益：[答案] 维数:n(n+1)/2.基:对角线元是1,其余全是0的对称阵,共n个;第i行第j列和第j行第i列为1,其余为0的对称阵(i和j不相等),共n(n-1)/2个,相加为n(n+1)/2个.

秦城区19881861225： 求求各种线性空间的维数与基的求法例如(1)P^N*N (2)P^N*N中全体对称,反对称 怎么求 T - ？
巩琪丽益：[答案] 有基就有了维数 (1) P^(n*n) 中 Eij, i,j=1,2,...,n 表示 第i行第j列的元素为1, 其余都是0的矩阵 则它构成基, 维数是 n^2 (2) P^N*N中全体对称 Eij, i

秦城区19881861225： 求所有上三角行列式组成的线性空间的维数和一组基,可能与原题有出入,大概是这样的题目, - ？
巩琪丽益：[答案] n阶上三角矩阵构成的线性空间的维数为 n+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2 基可由这样的矩阵构成:Eij,1

秦城区19881861225： 求n阶全体对称矩阵所成的线性空间的维数与一组基 - ？
巩琪丽益：[答案] 1.n阶全体对称矩阵所成的线性空间的维数是 (n^2 - n )/2 + n.其实就是主对角线上的元素个数 + 主对角线上方的元素个数.这些元素所在的位置,唯一确定一个对称矩阵,所以有:2.设 Eij 为 第i行第j列位置是1其余都是0的n...

秦城区19881861225： 急求高等代数线性空间P[X]n 的一组基和维数. - ？
巩琪丽益：[答案] P[X]n 是数域P上次数不超过n的所有多项式的集合 则 1,x,x^2,...,x^(n-1) 是 P[x]n 的一组基,其维数为n.

秦城区19881861225： 求线性空间的维数和易组基 - ？
巩琪丽益： 公理化定义给定域 F,一个线性空间即(向量空间)是个集合 V 并规定两个运算:向量加法:V * V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V,标量乘法:F * V → V 记作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V.符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V):向量加法...

秦城区19881861225： 求高等代数线性空间P[X]n的一组基和维数. - ？
巩琪丽益： 一组基: 1, x², x³, ... , x^n所以维数是n

秦城区19881861225： 求此线性空间的维数和一组基 - ？
巩琪丽益： 维度是2,{1,i}构成一组基.事实上C与R2作为向量空间是同构的