如何有效进行数学解题教学

如何进行数学解题教学~

美国著名数学家G"波利亚说过“问题是数学的心脏”，“掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”但数学问题千变万化，无穷无尽，“题海”茫茫。要使学生身临题海而得心应手，身居考室而处之泰然，就必须培养他们的解题应变能力。有了较强的应变能力，在漫游“题海”时，才能随机应变。那么如何培养学生的解题应变能力呢？笔者在这方面做过一点尝试，在此浅谈，以其引玉。

新《数学课程标准》指出“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”这一提法使我们深刻地体会到：数学教学的有效性在课堂上是多么的重要。数学课堂教学的有效性，是指在数学课堂教学中，教师通过多媒体或自制的教具等多种教学手段，采取有效的教学方法，让学生通过自主学习、小组合作学习、探究性学习等多种方式掌握数学知识，促进学生知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观三维目标的协调发展，不断提高课堂效率和课堂效益。如何提高数学课堂教学的有效性，让数学课堂焕发出强大的生命活力？是一个令人深思的问题。下面我就结合自己的教学，谈谈自己的几个观点：
一、情境创设的有效性
情境创设容易调动学生的情感、激发学生的创新思维，点燃学生智慧的火花。数学教学要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境。
1、创设的情境应有真实性
有效的情境创设，要尽可能是实实在在的真实的情境，只有真实的情境才是贴近学生生活实际的，这种真实的任务，才能扣住学生的心弦，才能使学生产生解决生活中的实际问题的心态，进而激发学习的动力。如：在一堂有关《平面图形的认识》的课中，老师在桌子上摆了几个学生常见的物品：有印泥、硬胶棒、积木（积木中有长方体、正方体）。老师先由学生介绍每种立体图形的形状，让学生再次加深对立体图形特征的印象。这时老师开始表演魔术：先出示一张白纸，遮住桌子，隔一会再让学生观察：“咦，白纸上怎么变出了长方形！”老师就问：你们知道老师是怎么变出长方形的吗？由于学生有盖印泥的经验，孩子们纷纷说出方法：拿长方体往印泥上一按，再往白纸上按一下，白纸就会有长方形了。老师问：长方体能变出长方形，为什么不是别的图形呢？“因为长方体的下面是长方形”这样学生对长方体、长方形的区分已经有了初步的感知，接着老师让学生自己表演，把自己玩的心得介绍给其他同学，这样在玩的过程中学生将图形的知识已经潜移默化的掌握了。
2、创设的情境应有思考性
我们创设情境的目的是在真实的情境中，让学生想探究，并能根据自己的已有经验探索出解决问题的方法。因此，我们所创设的情境应该是带有挑战性的问题情境，这样才能激发学生去思考，去探索。
二、课堂提问的有效性
问题是思维的起点，问题又是创造的前提，一切发明创造都是从问题开始的。康托尔指出：“在数学的领域中，提出问题的艺术往往比解答问题的艺术更为重要”。小学数学课堂教学中离不开提问，提问是课堂教学中必不可少的环节，是发挥教师主导作用、凸现学生主体地位的重要手段。在数学课堂教学中，鼓励学生质疑问难，培养学生敢于质疑问难的勇气和精神，是培养学生创新意识的前提。教师根据教学要求，把新旧数学知识之间的矛盾揭示出来，作为一种启发信息提供给学生，使学生产生思维的震荡，激发学生主动探究的欲望，从而开展思考、讨论，探究规律，获得新知。因此，在教学过程中，教师首先要更新观念，明确提问不仅是教师的权利。更应该是学生的权利。所以要作到让学生敢问、想问、善问、会问，以达到培养学生创新的目的。比如在教学10以内的加、减法时，先播放课件（一个小朋友在喂5只鸡，先跑来了2只鸡，又跑来了1只。）我是这样引导学生：“你刚才从屏幕上看到了什么”，让学生自己去收集信息，这样比起老师直接问“有几只小鸡”更能唤起学生主动参与学习的动机，提高学生思考的欲望。然后再问学生：“你们能根据自己观察到的信息提出一个数学问题并列式计算吗”?
引导学生思维向纵深发展，让学生学会用数学思维和数学方法来分析、研究和解决实际问题。我想这样的提问，对于学生来说，通过自己的学习活动能够想办法自己来解决，问题的解决办法又处于群体思考的“最近发展区”里，这样有助于原有认知结构对新知识的同化，使认知结构得到补充完善，并最终是学生认知结构中的“最近发展区”上升为“已知区”
三、课堂评价的有效性
教学评价主要是指对课堂教学活动过程与结果做出的一系列价值判断行为。评价行为贯穿着整个教学活动的始终，而不只是在教学活动之后。“为了每一个学生的发展”是新课程的核心理念。关注学生的情感生活和情感体验，努力使课堂教学过程成为学生一种愉悦的情绪生活和积极的情感体验，学生只有体验到学习的成功，它才会乐于学习。我们要用发展的眼光看待学生，关注学生的成长过程，及时肯定、赞赏学生的点滴进步，让孩子们感受到学习成功的欢乐，让他们心中唤起自豪感和自尊感。对学生进行评价是使学生不断认识自我、发展自我、完善自我，不断实现预定发展目标。在课堂评价中我主要采用了真诚的言语鼓励评价：如：你真行、你真棒、不错、会动脑筋、真精彩等；多彩的视觉刺激评价：如：小组比赛在黑板上评红旗、添笑脸、奖励五角星等；还有温馨的体态暗示评价：如对表现好的孩子竖起大拇指无声的示意；孩子回答完问题后，与之握握手、摸摸他的头、对他进行肯定或安慰。通过评价，让学生感到成功的喜悦，提高了学生学习的兴趣。在目前数学课堂教学中，不管学生回答的问题是简单还是有难度的，是正确还是不全面的，都能听到教师的表扬语言，我们的评价确实要以鼓励为主，但更要注意方法。对学生数学学习的评价，既要关注学习的结果，更要关注学习的过程；要善待学生出现的错误，一旦发现学生的解题结果与标准答案不符，一定要引导学生说出解题思路，然后才能作相关评价。
四、课堂练习的有效性。
课堂练习是巩固新知的重要手段，是学生运用知识解决问题的体现，是教师反馈教学效果的重要途径，教师要根据学生的个体差异，设计练习时要体现层次性，以适应不同知识水平的学生，使不同的学生得到发展。在设计练习时应注意：
1、设计的练习要有层次感
老师在设计练习时要根据学生的实际情况，使得不同学生都有不同的发展，所以练习题既要有基础的题，也要有发展思维的题，要利于学生的提高。

1、正方体展开图

正方体有6个面，12条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有11种，11种展开图形又可以分为4种类型：

1141型 中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图。

2231型 中间一行3个作侧面，共3种基本图形。

3222型 中间两个面，只有1种基本图形。

433型 中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有1种基本图形。

2、和差问题

已知两数的和与差，求这两个数。

【口诀】：

和加上差，越加越大；

除以2，便是大的；

和减去差，越减越小；

除以2，便是小的。

例：已知两数和是10，差是2，求这两个数。

按口诀，则大数=（10+2）/2=6，小数=（10-2）/2=4。

3、鸡兔同笼问题

【口诀】：

假设全是鸡，假设全是兔。

多了几只脚，少了几只足？

除以脚的差，便是鸡兔数。

例：鸡免同笼，有头36 ，有脚120，求鸡兔数。

求兔时，假设全是鸡，则免子数=（120-36X2）/（4-2）=24

求鸡时，假设全是兔，则鸡数 =（4X36-120）/（4-2）=12

4、浓度问题

（1）加水稀释

【口诀】：

加水先求糖，糖完求糖水。

糖水减糖水，便是加水量。

例：有20千克浓度为15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为10%？

加水先求糖，原来含糖为：20X15%=3（千克）

糖完求糖水，含3千克糖在10%浓度下应有多少糖水，3/10%=30（千克）

糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，

30-20=10（千克）

（2）加糖浓化

【口诀】：

加糖先求水，水完求糖水。

糖水减糖水，求出便解题。

例：有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%？

加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）

水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水，

17/（1-20%）=21.25（千克）

糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，

21.25-20=1.25（千克)

5、路程问题

（1）相遇问题

【口诀】：

相遇那一刻，路程全走过。

除以速度和，就把时间得。

例：甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时，多少时间相遇？

相遇那一刻，路程全走过。即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。

除以速度和，就把时间得。即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120/60=2（小时）

（2）追及问题

【口诀】：

慢鸟要先飞，快的随后追。

先走的路程，除以速度差，时间就求对。

例：姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为3千米/小时，先走2小时后，弟弟骑自行车出发速度6千米/小时，几时追上？

先走的路程，为3X2=6（千米）

速度的差，为6-3=3（千米/小时）。所以追上的时间为：6/3=2（小时）。

6、和比问题

已知整体求部分。

【口诀】：

家要众人合，分家有原则。

分母比数和，分子自己的。

和乘以比例，就是该得的。

例：甲乙丙三数和为27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三数。

分母比数和，即分母为：2+3+4=9；

分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9，3/9，4/9。和乘以比例，所以甲数为27X2/9=6，乙数为：27X3/9=9，丙数为：27X4/9=12。

7、差比问题（差倍问题）

【口诀】：

我的比你多，倍数是因果。

分子实际差，分母倍数差。

商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。

例：甲数比乙数大12，甲:乙=7：4，求两数。

先求一倍的量，12/（7-4）=4，

所以甲数为：4X7=28，乙数为：4X4=16。

8、工程问题

【口诀】：

工程总量设为1，1除以时间就是工作效率。

单独做时工作效率是自己的，一齐做时工作效率是众人的效率和。

1减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。

例：一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲乙同时做2天后，由乙单独做，几天完成？

[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）

9、植树问题

【口诀】：

植树多少棵，要问路如何？

直的加上1，圆的是结果。

例1：在一条长为120米的马路上植树，间距为4米，植树多少棵？

路是直的。所以植树120/4+1=31（棵）。

例2：在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少棵？

路是圆的，所以植树120/4=30（棵）。

10、盈亏问题

【口诀】：

全盈全亏，大的减去小的；

一盈一亏，盈亏加在一起。

除以分配的差，结果就是分配的东西或者是人。

例1：小朋友分桃子，每人10个少9个；每人8个多7个。求有多少小朋友多少桃子？

一盈一亏，则公式为：（9+7）/（10-8）=8（人），相应桃子为8X10-9=71（个）

例2：士兵背子弹。每人45发则多680发；每人50发则多200发，多少士兵多少子弹？

全盈问题。大的减去小的，则公式为：（680-200）/（50-45）=96（人）则子弹为96X50+200=5000（发）。

例3：学生发书。每人10本则差90本；每人8 本则差8本，多少学生多少书？

全亏问题。大的减去小的。则公式为：（90-8）/（10-8）=41（人），相应书为41X10-90=320（本）

11、牛吃草问题

【口诀】：

每牛每天的吃草量假设是份数1，

A头B天的吃草量算出是几？

M头N天的吃草量又是几？

大的减去小的，除以二者对应的天数的差值，

结果就是草的生长速率。

原有的草量依此反推。

公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。

将未知吃草量的牛分为两个部分：

一小部分先吃新草，个数就是草的比率；

有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。

例：整个牧场上草长得一样密，一样快。27头牛6天可以把草吃完；23头牛9天也可以把草吃完。问21头多少天把草吃完。

每牛每天的吃草量假设是1，则27头牛6天的吃草量是27X6=162，23头牛9天的吃草量是23X9=207；

大的减去小的，207-162=45；二者对应的天数的差值，是9-6=3（天）结果就是草的生长速率。所以草的生长速率是45/3=15（牛/天）；原有的草量依此反推。

公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。

将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；

这就是说将要求的21头牛分为两部分，一部分15头牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，所以所求的天数为：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）

12、年龄问题

【口诀】：

岁差不会变，同时相加减。

岁数一改变，倍数也改变。

抓住这三点，一切都简单。

例1：小军今年8 岁，爸爸今年34岁，几年后，爸爸的年龄的小军的3倍？

岁差不会变，今年的岁数差点34-8=26，到几年后仍然不会变。

已知差及倍数，转化为差比问题。26/（3-1）=13，几年后爸爸的年龄是13X3=39岁，小军的年龄是13X1=13岁，所以应该是5年后。

例2：姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数的和是40岁时，两人各应该是多少岁？

岁差不会变，今年的岁数差13-9=4几年后也不会改变。

几年后岁数和是40，岁数差是4，转化为和差问题。则几年后，姐姐的岁数：（40+4）/2=22，弟弟的岁数：（40-4）/2=18，所以答案是9年后。

13、余数问题

【口诀】：

余数有（N-1）个，最小的是1，最大的是（N-1）。

周期性变化时，不要看商，只要看余。

例：如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是几点钟？分针旋转一圈是1小时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。

1980/24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈，分针向前旋转22个圈相当于时针向前走22个小时，时针向前走22小时，也相当于向后24-22=2个小时，即相当于时针向后拔了2小时。即时针相当于是18-2=16（点）。

要想把一道数学题做对，能找到的方法不多，要想把一道题做好，确实不很容易。有些题目，可能有五六种解法，有些题目可能只有一两种解法，具体到某一个题来说，能把它作对的方法远远少于能把它做错的方法。要正确解答一道普通的数学题，对于专门研究数学的人来说，可能是轻而易举的事，对于初学的学生来说，就相对有些难度啦，对于不曾学过相关数学理论知识的人来说，简直比登天还难。因此说，要想把很多数学题做对、并且做好，不经过一定的训练、不费一番功夫，几乎是不可能的。数学教师要想改善教学效果、提高自身及学生的解题能力，很有必要花上大量的时间、拿出真正的耐心、用上足够的精力，去分析解题思路和过程，去讲解做题方法和技巧，去训练解题格式及熟练程度。下面我结合多年的实际教学情况，谈以下几点体会：
一、从思想上认识到解题教学的重要性是搞好解题教学的立足点
数学教学的目的是为了培养学生的逻辑思维能力和创新能力，也就是为了培养学生运用数学思想、结合数学概念和数学方法，把实际问题转化为数学模型并进而求解的能力。而数学教学中的解题教学恰是培养、训练这些能力的主要方式和过程，所以，搞好解题教学是搞好数学教学的重要前提和立足之本。
解题教学是数学教学的重要组成部分，贯穿了整个数学教学过程的始终，其目的是通过分析、解答问题的训练，提高学生的综合数学水平和逻辑思维能力，也就是使学生进一步理解学过的基本数学概念和基本数学理论，掌握适当、适量的解题方法和技巧，提高独立分析、解决问题和运用数学语言表达思考过程的能力。解题教学效果的好坏，直接影响到学生对数学理论、数学知识的发挥和运用，直接关系到学生分析、解决问题的能力的提升，进而影响学生的成绩以及思考问题的方式。学生是否会做题、能否做好题不仅仅是学生本人运用数学理论和运算方法的能力的体现，也是教师讲解能力和教学水平的侧面反映。各级各类数学测验和考试所考察的，正是学生对数学概念、数学理论的掌握情况以及运用数学知识分析、解决问题的能力，因此，在数学教学过程中，教师和学生必须高度重视解题教学，数学教师应把教学生解题放在教学的首要位置、视为教学的中心环节，学生应把学习解题当作学习数学的头等大事、看成学习数学的重要任务。
二、帮助学生分析、理解问题本身是解题教学的突破口
解题教学应从引导学生分析、理解问题本身入手，因为认真审题是正确解题的开始。教师在教学过程中、讲解每一道习题前，首先应该带领学生一起把待解决的问题作为研究对象，对它进行深入而全面的分析，找出题目直接表达出来的条件和经过思考分析后转化出来的潜在条件，以及所求的内容或者所求内容的其它表述方式，这样才能深刻理解题意、搞清题目要求，才便于理清思路、排除杂念，才能做到有的放矢、适当选取解题过程。对于一些难度较大或者综合性较强的题目，要弄清它的已知条件和所求内容更需要有耐心，甚至有必要把问题本身当作一道风景线反复欣赏、玩味、多次阅读，并用多种方式、从多个角度重新理解，把求它的解当作一件设计或者一项创造发明来对待。实际上，解题过程的确是一种复杂的创造性实践活动，是思想上的创新与突破，是创造发明的另一种形式，要解答好一道数学题，并不是轻而易举、一蹴而就的事。要知道，有些数学难题，令数学家花费了毕生的精力才得以解决，还有的题目，世界各国数学家已经解了好多年，迄今仍没有解出来。我们能对审题掉以轻心吗？能认为审题是浪费时间的事吗？能匆忙看题后就草率作答吗？显然不能。之所以我们平时很少或者根本就没有在审题上花费那么多功夫就把问题的答案求出来了，是因为在学校教科书或者在准备各类考试时遇到的问题，原则上是每个学生认真学习数学概念和数学理论后都能解出来的、比较简单的题目，其难度都与我们的解题能力相适应。
三、建立联系已知条件和所求内容的纽带是寻找解题思路的根本途径
根据问题的性质、形式和条件、要求寻找解题思路、探求解题方法，是解题过程中最困难和最关键的一步，很多学生没有学好数学、数学成绩差的原因，正是缺乏这方面的能力，帮助学生学会运用数学知识并在学习实践中慢慢领悟到寻找解题思路和方法的本领也因此而成了数学教师进行解题教学的根本任务和出发点。施教之功贵在引路，妙在开窍吗！值得注意的是教师应该将知识的传递过程转变为引领学生共同探究的过程；应该以示范、引导和帮助学生为目的，以把寻找解题思路和方法的方式教给学生为己任，以学生的基础和视角为起点，探求解题的一般手段和方法；不应该只想着尽快得出问题的答案。教师在讲解习题或例题时，主要是指导学生按照问题的需要分析问题，紧紧围绕题目的所求内容，挖掘所求内容与已知条件的横向及纵深联系，从这些思绪中梳理出一条条思想纽带，再用这些纽带把学过的相关概念、定理、公式等知识点连接起来，搭建起一座座桥梁，使纽带的各段儿之间、各个转弯儿处衔接顺畅、延伸自然，最终把问题的要求与已知条件挂起钩来，用符合人们认识习惯的逻辑思维方式推证出结果，使问题得以解决。这种寻找联系方式、搭建桥梁的过程正是培养学生逻辑思维能力、提高学生思考问题的深度和广度的好办法。
四、言简意赅、清晰完整地表达解题过程是培养学生周密思维习惯的关键
教师进行习题教学、讲解例题的目的是让学生学习、模仿的，讲解时板书布局的格式、数学语言的运用、表达过程的逻辑顺序、解题步骤的繁简程度与完整性，都会对学生学习解题带来重要的影响，因此，教师在解题教学中、习题课上做到清晰、完整、明了地表达解题过程显得尤为重要。这就要求教师需要注意以下几个方面的细节：（1）在板书解题步骤前，要用清晰且通俗易懂的语言对题目本身做适当分析，并明确指出解题思路、简要说明解题过程。（2）书写步骤时，除了做到字体规范、布局合理的基本要求外，步骤本身的格式也要规范，还得条理清晰、层次分明、逻辑思维周密严谨、数学符号和专业术语运用得当、说理清楚透彻、语言精练，以体现数学的简单美、和谐美、内在美、本质美。（3）板书的同时，必须配合恰当的口头讲解，一旦发现学生有不明白的细节，要当即在黑板的其它地方做出更详细的说明或演算，以消除学生心中的疑虑。每一个题目的整个解答过程，都应该是教师眼口手脑并用、多种动作专注于一事的完美表演和详尽解说，而不应该是单调乏味的数字计算和符号累积。（4）总结与回顾也很有必要，特别是对代表性强的经典习题，要总结题目本身的特点、求解过程中用到的巧妙方法以及需要注意的问题、有没有其它合适的解法等。这样的表达过程才显得顺情顺理、容易接受并受欢迎，这样的说理方式才显得亲切自然、不生硬古怪、不晦涩难懂，也正是有了这样的讲解和范例，学生才学得会、学得好、学得轻松。
五、复习巩固、归纳总结是使解题能力得到升华的有效方法
复习的真正目的是总结和归纳，“学而时习之”的意义在于温故而知新。总结的过程既是归纳、记忆的过程，又是提高、分析的过程，也是修正前进路线、稳步迈向目标的捷径之一。总结既能照顾到面的学习，又能将学习引向深入。学习过某一部分内容后，要想帮助学生巩固、加深对这部分知识的理解、记忆，教师不但要带领学生总结该部分知识结构，还要总结与这部分内容相关的习题。一是要带领学生多做基础题，在达到熟能生巧、做好基础题的前提下，再多做一些中等难度的题，各类中等难度的题目才是历次考试、测验的“重头戏”。二是要将与这部分内容相关的习题分成不同的类型，并对各个类型的题目再根据不同的难度区别对待，多讲解各种类型的中等难度的经典习题――剖析问题的特点、解题思路，讲解典型的方法、技巧。这里所说的“多”，是指题目的类型多、方法技巧多。最后，还得再找几个同类但不同难度的问题让学生独立解决，进行有针对性的专项训练，促使学生学会一个解题方法或运算技巧后，把它们推广运用到其它同类问题的解决过程中，达到举一反三的效果。这才是避免“题海战术”的有效方法，是提高学习成绩、增强知识应用能力的致胜法宝，要比漫无目的地盲目做几十、甚至上百道题更有价值。
教必有法，教无定法。“教亦多术矣，运用在乎人”。叶圣陶先生曾经说过：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。必令学生运其才智，勤其练习，领悟之源广开，纯熟之功弥深，乃为善教者也”。“师者，传道、授业、解惑也”，面对一个问题、一个题目或者学生的疑问，作为教师，有责任和义务帮助学生找到一个切实可行的、易于接受的解决方案，并用适当的方式表达出来，以维护学生心中的优秀教师形象。

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标新柠檬： “问题解决”在小学二年级一直是令教师们感到困苦的教学内容,如何在小学二年级培养学生“问题解决”的能力,让学生将数学知识和实际生活经历有机地结合与联系起来,将生活中的实际问题进行正确的解释和解决.这就需要我们的教师能...