已知抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F,点Q(-3,2),抛物线上动点P到点Q的距离与到准线距离之和最小值2根号3

已知抛物线C：y^2=2px(p＞0)的焦点为F，准线为l ，点Q是抛物线上的一点，QP⊥l 于P~

抛物线C：y^2=2px(p＞0)的焦点为F(p/2,0)，准线为l :x=-p/2,
设Q(2pt^2,2pt),QP⊥l 于P(-p/2,2pt)，
直线PF的倾斜角为2π/3，
∴PF的斜率=-2t=tan(2π/3）=-√3，
解得t=√3/2，Q(3p/2,√3p),
| QF | =2，
∴p^2+3p^2=4,p^2=1,p>0,p=1.
∴抛物线C的方程是y^2=2x.

（Ⅰ）由题意有Q（8p，4），则有|QF|=8p+p2=5，解得p=2或p=8，所以，抛物线方程为y2=4x或y2=16x．…（5分）（Ⅱ）∵p＜8，∴y2=4x．假设在抛物线C上存在点E，使得EA⊥EB总成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x0，y0），则有（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0，即(y12?y02)(y22?y02)16+（y1-y0）（y2-y0）=0，又（y1-y0）（y2-y0）≠0，得（y1+y0）（y2+y0）+16=0，即y1y2+y0(y1+y2)+y02+16＝0，…①…（9分）设直线方程为x=m（y+2）+5，代入y2=4x中，有y2-4my-8m-20=0，从而y1+y2=4m，且y1y2=-8m-20，代入①中得：（4y0-8）m+y02-4=0对于m∈R恒成立，故4y0-8=0，且y02?4＝0，解得y0=2，得E（1，2）．…（14分）若直线过点（1，2），结论显然成立所以，在抛物线C上存在点E（1，2），使得EA?EB＝0总成立．…（15分）

原题是:已知抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F,点Q(-3,2),抛物线上动点P到点Q的距离与到准线距离之和最小值2√5.
(1)求抛物线方程（y^2=4x)
(2)若直线l:y=kx+2(k>0)与抛物线C交于M、N两点,与X轴交于点A，H为MN中点，点D在X轴上，记以DM，DN为邻边的菱形面积为S1，△AHD的面积为S2，求S1/((2-k)S2)的取值范围。

解:(1)F(p/2,0)
动点P到点Q的距离与到准线距离之和的最小值就是|PQ|
由|PQ|^2=(-3-p/2)^2+(2-0)^2=(2√5) (p>0)
解得 p=2
所以求抛物线方程是 y^2=4x

(2)S1=2*(1/2)|MN||DH|=|MN||DH|
S2=(1/2)|AH||DH|
S1/((2-k)S2)=2/(2-k)*(|MN|/|AH|) (1)

设M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0)
由y=kx+2(k>0) 且 y^2=4x 消去x并化简得

ky^2-4y+8=0
当△=16-32k>0 即0<k<1/2时

y0=(y1+y2)/2=2/k
|y1-y2|=(√△)/|k|=(4/k)√(1-2k)

(|MN|/|AH|)=|y1-y2)/|y0-0| (用纵坐标差比的绝对值表示长度比)

=((4/k)√(1-2k))/(2/k)
=2√(1-2k)

将其代入(1)
S1/((2-k)S2)=(2/(2-k))*2√(1-2k)
=(4√(1-2k))/(2-k) (0<k<1/2,设m=√(1-2k))
=8m/(m^2+3) (0<m<1)
=8/(m+3/m)

由m+3/m在(0,1)区间上单减得在其上的值域是(4,+∞)
则在(0,1)区间上8/(m+3/m)的值域是(0,2)

所以S1/((2-k)S2)的取值范围是(0,2).

希望能帮到你！

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滦县13595731800： 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P( 1 2,m)是抛物线C上一点,若点P到直线l的距离等于点P到坐标原点O的距离,则点F到准线l的距离是() - ？
宫瑞七厘：[选项] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

滦县13595731800： 已知抛物线C:y^2=2px(p>0),直线L交抛物线C于不同的两点A、B若L过点P(2p,0),求∠AOB的大小 - ？
宫瑞七厘：[答案] 90度. 设y=k(x-2p) 联立得:y1+y2=2p/k y1y2=-4p^2 有因为OA向量点积OB向量=x1x2+y1y2=y1^2y2^2/4p^2+y1y2 y1y2=-4p^2代入得0 故OA垂直OB

滦县13595731800： 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,m),点A到焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程及m的值.(2)是否存在斜率为 - 2的直线l,使得l与C有公共点,且l与直线y= - ... - ？
宫瑞七厘：[答案] (1)∵抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,m),点A到焦点的距离为2, ∴1+ p 2=2, ∴p=2, ∴抛物线C的方程为y2=4x,m=±2; (2)设方程为y=-2x+b,则 ∵l与直线y=-2x的距离为 5, ∴ |b| 5= 5, ∴b=±5, ∴y=-2x±5, y=-2x+5与y2=4x联立可得y2+2y-10=0,此时△=4+...

滦县13595731800： 已知抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l ,点Q是抛物线上的一点,QP⊥l 于P - ？
宫瑞七厘： 抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F(p/2,0),准线为l :x=-p/2,设Q(2pt^2,2pt),QP⊥l 于P(-p/2,2pt),直线PF的倾斜角为2π/3,∴PF的斜率=-2t=tan(2π/3)=-√3,解得t=√3/2,Q(3p/2,√3p),| QF | =2,∴p^2+3p^2=4,p^2=1,p>0,p=1.∴抛物线C的方程是y^2=2x.

滦县13595731800： 已知抛物线C:y^2=2px(p>0)过点A(1, - 2).求抛物线C的方程,并求其准线方程. - ？
宫瑞七厘：[答案] 把点A(1,-2)代入,得:4=2p,所以:p=2; 所以,C的方程为:y²=4x; 准线为x=-1

滦县13595731800： 已知抛物线C:y^2=2px(p>0)过点A(1,2)求抛物线方程,并求其准线方程 - ？
宫瑞七厘：[答案] 由题目条件可得4=2p,所以p=2,所以C的方程式为y2=4x, 准线方程y=0

滦县13595731800： 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点(3,m)到焦点的距离为5.(1)求C的方程;(2)过F作直线l,交C于A、B两点,若线段AB中点的纵坐标为 - 1,求... - ？
宫瑞七厘：[答案] (1)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,由抛物线的定义可知3-(-p2)=5(2分)解得p=4(3分)∴C的方程为y2=8x.(4分)(2)由(1)得抛物线C的方程为y2=8x,焦点F(2,0)设A,B两点的坐标分别为A(x1...

滦县13595731800： 已知抛物线C:y2=2px(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,已知点N(2,m)为抛物线C上一点,且|NF|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l过点F交抛物线于... - ？
宫瑞七厘：[答案] (1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为( p 2,0),准线为x=- p 2, 由抛物线的定义可得|NF|=2+ p 2=4, 解得p=4,则抛物线的方程为y2=8x; (2)由已知得直线l的斜率一定存在, 由y2=8x的焦点F为(2,0), 所以设l:y=k(x-2),l与y轴交于M(0,-2k), 设直线l交抛物线于A...

滦县13595731800： 已知抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点F在直线l:2x - 2y - 1=0上,求抛物线C的方程 - ？
宫瑞七厘：[答案] y^2=2px的焦点为(p/2,0) 焦点(p/2,0)在直线2x-2y-1=0上 将x=p/2,y=0代入直线方程 p-0-1=0,解得:p=1 抛物线C的方程为:y^2=2x

滦县13595731800： 已知抛物线C:y^2=2px的焦点为F(1,0),过点M(a,0)且斜率为2的直线l与C交于点A,B.一:求p的值,二:当a=1时,求AB长 - ？
宫瑞七厘：[答案] 焦点为(1,0),所以p=2,抛物线方程为y^2=4x a=1时,点斜式(y-0)/(x-1)=2 解得y=2x-2 代入得(2x-2)^2=4x 化简得x^2-3x+1=0 设A(x1,2x1-2) B(x2,2x2-2) 韦达定理得x1+x2=3 x1x2=1 AB的距离为sqrt((x1-x2)^2+(2x1-2-2x2+2)^2)=sqrt((x1+x2)^2-...