为什么曲线积分只与路径有关，与起点和终点无关？
证明：
设Ω是平面xyz空间的曲面单连通闭区域，函数P(x, y, z) 、Q(x, y, z) 、R(x, y, z)
在Ω内都具有一阶连续偏导数，则下列四种情况两两等价
第一种情况：
沿 Ω 内任何光滑闭曲线C，恒有
第二种情况：
对 Ω 内任何一个光滑曲线段C(A, B)，曲线积分
仅与 C(A, B)的起点A、终点B有关，而与路径无关。
第三种情况： Pdx + Qdy + Rdz 在 Ω 内是某一个函数 u(x, y, z)的全微分，即在内恒有du = Pdx + Qdy + Rdz
第四种情况：在 Ω 内每一点处恒有
由上述第二种情况可知，曲线积分仅与所求曲线的起点A、终点B有关，而与路径无关。
证毕。
扩展资料：
对于满足一些条件的曲线，起点和终点的位置固定，沿不同的路线积分，其积分值相同，即曲线积分只与起点和终点有关，与路线的选取无关。
一个在任何条件下适用的条件是原函数存在。
如果积分区域是单连通区域，如果āQ/āx=āP/āy也满足积分与路径无关
在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。
如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立.
注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向。
参考资料：
百度百科-曲线积分与路径无关性
第二型线积分只与起始点有关吗
第二型曲线积分通常是与积分路径有关的，请注意，做的功的确等于位移乘以力，但是是向量的点乘，由于力的方向和位移的方向一直在变化，所以不能单纯的看总位移，只有在瞬间才能将位移的方向看做不改变。
积分与路径无关是积分恒等于0吗?
积分与路径无关这是曲线积分中的内容.所谓的积分与路径无关就是积分只要考虑起点与终点即可,中间不管它是什么路径.而不是说它的积分是恒等于0的.因此我们真正在算积分时往往是找好算的路径,比如是直线情况.
积分与路径无关是什么意思啊?
积分与路径无关的条件：所考虑的函数在路径内是连续的；函数的一阶偏导数在路径内是连续的；路径是简单闭合曲线；函数沿路径的偏导数在路径上处处为零；区域内没有奇点。得到平面第二型曲线积分与路径无关的最终条件，要求被积函数是某个二元函数的全微分，显然这默认要求了该函数必须在区域上每一点都...
曲线积分与路径无关吗?
感谢来自最强不过贝吉特的点拨 不对，当曲线积分在单连通区域D内与路径无关时能推出D内任意一条闭曲线积分值为零，但“只有当线积分与路径无关时，闭曲线的积分值才等于0”是错误的，因为当线积分与路径有关时，闭曲线的积分值也可能等于0，必须满足“D内任意一条闭曲线积分值为零”才能互推“线...
曲面积分和曲线积分有什么区别?
又称：对面积的曲面积分；物理意义：空间曲面S的“质量”。2、第二型曲面积分：第二型曲面积分：是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关。如果改变曲面的侧(即法向量从指向某...
有源电场的特征是什么?
保守场=有势场=无旋场，环流等于零。有源场闭合曲面的通量不等于零，这些是指场的宏观特性。任意闭合曲面的面积分为0，说明是无源场，否则是有源场，任意闭合环路的线积分等于0，说明是无旋场，否则就是有旋场。保守场的第二类曲线积分只于起点和终点有关，而与路径无关。如果一个矢量场是某个...
复变函数问题 关于积分与路径无关问题
与路径有关。只有解析函数积分与路径无关。问题转化为判断函数是否解析：一般可用C-R方程判断（要求u,v可微）。在区域内，复积分与路径无关与实函数的第二型曲线积分与路径无关的含义类似，也等价于沿区域内任意闭曲线的积分为零。复积分的值是否与路径无关，1.与被积函数的解析性有关；2.与使被...
第二类曲线积分到底与路径(或者说方向,我也不知道)有没有关系,不是求...
第二类曲线积分与方向有关，因为同一路径正向与反向的力与路径夹角不同，你说的只是在保守场内的情况，而并非所有力场都是保守力场～
计算曲线积分的时候,为什么会和路径无关呢?
因为计算曲线积分就相当于物理上求力做的功，与路径无关，只与起始和终点位置有关
班炉诺维：[答案] 如果积分值只跟积分起点和终点有关,那么曲线积分与路径无关,这种情况在“场”的概念下常见
偃师市15998969129： 为什么计算这个曲线积分时,要取折线积分 - ？
班炉诺维： A点是起始点,C点是终止点 这两点都是对应着曲线L的起点和终点的 如果积分与路径无关,意味着路径可任意选择 那么就选择最简单的折线路径(因为增量是0有助化简积分) 所以有A到B,再有B到C是其中一个最容易的解法 当然,你取Γ形状的路径也可以
偃师市15998969129： 为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时,下限对应起点,上限对应终点 - ？
班炉诺维： 因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段,化为定积分时,积分变量的变化是有方向的,即从起点到终点,故下限对应起点,上限对应终点
偃师市15998969129： 曲线积分法求全微分方程的解时为什么有一项积分中要代起点值 而另一项不代 - ？
班炉诺维：[答案] 设du=P(x.y)dx+Q(x,y)dy,选(x0,y0)属于连通区域 u=∫P(x.y)dx+Q(x,y)dy.由于积分与路径无关,可选(x0,y0)到(x0,y)到(x,y)的折线 在(x0,y0)到(x0,y),x是常数x0,y从y0到y,积分=∫(y0,y)Q(x0,y)dy (这里是x0) 在(x0,y)到(x,y),y是常数y,x从...
偃师市15998969129： 曲线积分与路径无关怎么判定,在图中第九题,怎么看出来与路径无关? - ？
班炉诺维： 从积分的写法上,只写出了始点与终点,没有具体的积分路径.
偃师市15998969129： 格林公式是什么? - ？
班炉诺维： 一,格林公式 一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式 表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示. 无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便...
偃师市15998969129： 如何理解路径积分 - ？
班炉诺维： 路径积分是由理查德费曼发明,就是积分沿着一条曲线或直线.比如二元积分,普通积分一般是在由直线段围成的区域上积分,路径积分一般则沿着一条曲线积分.并且路径积分一般是二元以上积分.在量子物理、凝聚态物理、数学物理、量子...
偃师市15998969129： 积分与路径无关是积分恒等于0吗? - ？
班炉诺维：[答案] 积分与路径无关这是曲线积分中的内容. 所谓的积分与路径无关就是积分只要考虑起点与终点即可,中间不管它是什么路径.而不是说它的积分是恒等于0的. 因此我们真正在算积分时往往是找好算的路径,比如是直线情况.
偃师市15998969129： 第二类曲线积分到底与路径(或者说方向,我也不知道)有没有关系,不是求做功吗,不该只与始末位置有关吗 - ？
班炉诺维： 第二类曲线积分与方向有关,因为同一路径正向与反向的力与路径夹角不同,你说的只是在保守场内的情况,而并非所有力场都是保守力场~
偃师市15998969129： 格林公式与路径无关? - ？
班炉诺维： 嗯,只与起点和终点的位置有关.
