已知平面π过直线(x-1)/2=(y-2)/3=(z+1)/1及点p(2,1,0),求过点m(0,1,2)平行于平面

已知直线l¹:x-1/2=y+3/4=z-5/3与直线x/5=y-2/-1=z+1/2之间的距离与~

直线L₁ (x-1)/2=(y+3)/4=(z-5)/3过点M(1，-3，5）；方向数为{2，4，3}；
直线L₂ x/5=(y-2)/(-1)=(z+1)/2过点N(0，2，-1)；方向数为{5，-1，2}；
过点M作直线L₃∥L₂；那么L₃的方程为：(x-1)/5=(y+3)/(-1)=(z-5)/2;
直线L₁与直线L₃相交于M，因此这两条相交直线所确定的平面π必平行于直线L₂；
然后再在L₂上任找一点，求出这一点到平面π的距离。这个距离就是两条异面直线
L₁与L₂的距离。
设过M的平面π的方程为：A(x-1)+B(y+3)+C(z-5)=0.............①
直线L₁的参数方程为：x=2t+1；y=4t-3；z=3t+5；取t=1，则x=3，y=1，z=8;
即点(3，1，8)在直线L₁上，当然也在平面π上，因此代入①得等式：
2A+4B+3C=0...........②
直线L₃的参数方程为：x=5m+1；y=-m-3；z=2m+5；取m=1，得x=6，y=-4，z=7；
即点(6，-4，7)在L₃上，当然也在平面π上，代入①又得等式：
5A-B+2C=0..............③
①②③是关于A、B、C的齐次线性方程组，其有非零解的充要条件是：

展开此行列式，即得平面π的方程为：x+y-2z+12=0
L₂上的点N(0，2，-1)到平面π的距离：
d=∣1×0+1×2-12×(-1)∣/√(1²+1²+2²)=14/√6=(7/3)√6就是直线L₁到L₂的距离。

1、过P且垂直于直线的平面方程为
2(x-4)＋4(y-3)＋5(z-10)＝0，
与直线方程联立，可解得交点坐标为(3，6，8)，所以所求对称点坐标为(2*3-4，2*6-3，2*8-10)，也即(2，9，6)。
2、设所求点坐标为(a，b，c)，则
① (a-4)/3＝(b-3)/1＝(c-10)/7；
② 3(a＋4)/2＋(b＋3)/2＋7(c＋10)/2 - 26＝0，
解得 (a，b，c)＝(-2，1，-4)。

17.解：平面π过点P(2，1，0)；因此可设π的方程为：A(x-2)+B(y-1)+Cz=0............①

又π过直线 (x-1)/2=(y-2)/3=(z+1)/1，因此该直线上的点(1，2，-1)也在平面π上，故有等式：

-A+B-C=0...........②；直线的方向矢量{2，3，1}与平面的法向量{A，B，C}垂直，因此还有等式

2A+3B+C=0........③

①②③是关于A、B、C的齐次线性方程组，其有非零解的充要条件是：

展开此行列式，即得平面π的方程为：4x-y-5z-7=0 

所求平面φ过点m(0，1，2),且平行于平面π，还要与直线L:  (x-3)/2=(y-2)/(-3)=z/1垂直。

这里只能按前两个条件确定平面φ的方程，然后再检验是否与所给直线L垂直。

所求平面的方程为：4x-(y-1)-5(z-2)=0，即4x-y-5z+11=0

平面φ的法向矢量为{4，-1，-5}；直线L的方向数为{2，-3，1}；

由于 4×2-1×(-3)-5×1=8+3-5=6≠0，故平面φ与直线L不垂直。

我估计可能题目有误。若直线L的方程为: (x-3)/2=(y-2)/3=z/1，则φ与此L垂直;

因为 4×2-1×3-5×1=8-3-5=0.

18.已知 z=f(x²-y²，y²-x)+φ(x²+y²)；求∂²z/∂x∂y.

解：设z=f(u，v)+φ(w)；u=x²-y²，v=y²-x，w=x²+y²；

∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)+(∂φ/∂w)(∂w/∂x)

=2x(∂f/∂u)-(∂f/∂v)+2x(∂φ/∂w)

∂²z/∂x∂y=2x(∂²f/∂u²)(∂u/∂y)-(∂²f/∂v²)(∂v/∂y)+2x(∂²φ/∂w²)(∂w/∂y)

=-4xy(∂²f/∂u²)-2y(∂²f/∂v²)+4xy(∂²φ/∂w²)

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瀍河回族区18716092290： 己知平面π过点A(1,2,0)、B( - 1,2,1)、C(3,0,2)直线L的方程为(x - 2)/1=(y+5)/3=(z - 1)/2 证明L//π - ？
百晶奥帝：[答案] 向量AB=(-2,0,1),向量BC=(4,-2,1) 向量AB与BC的和向量为a,则有a=(2,-2,2),设平面的法向量为b,则有a,b垂直,所以: b=i j k -2 0 1 3 0 2 所以:b=2i+6j+4k=(2,6,4),与直线的方向向量(1,3,2)对应成比例,所以二者平行.

瀍河回族区18716092290： 已知平面π通过点M(1,2,3)与x轴,求通过点N(1,1,1)且与平面π平行,又与x轴垂直的直线方程.如题 - ？
百晶奥帝： 过x轴的平面方程的【通式】: By+Cz=0 代入M坐标,得 平面π的方程 : 3y-2z=0 平行于 π,过N的平面方程 3y-2z-1=0【平行于 π的平面通式:3y-2z+D=0 ,代入N的坐标,推出 D=-1】 垂直于x轴,过N的平面方程 x=xn => x-1=0 所以,直线方程 【交面式】 x-1=0 3y-2z-1 为所求 .若需要把【交面式】化为【对称式】(或称【标准型】),请追问.

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瀍河回族区18716092290： 设点p在椭圆x平方/4y平方=1上,求p到直线x - 2y3? ？
百晶奥帝： ∵点P在椭圆x²/4 y²=1上,设P(2cosθ,sinθ),则点P到直线x-2y 3√2=0的距离d=|2cosθ-2sinθ 3√2|/√5=|2√2cos(θ π/4) 3√2|/√5,当θ π/4=2kπ,即当θ=-π/4 2kπ,k∈Z时,cos(θ π/4)=1,d有最大值=5√2/√5=√10,当θ π/4=π 2kπ,即当θ=3π/4 2kπ,k∈Z时,cos(θ π/4)=-1,d有最小值=√2/√5=√10/5.

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百晶奥帝： 两种方法,一、平面 x-2y+z-3=0 的法向抄量是 n1=(袭1,-2,1),平面 x+y-z+2=0 的法向量是 n2=(1,1,-1),因此交线的方向向量是 n1*n2=(1,2,3),2113这也是所求平面的法向量,5261 所以,所求平面的方程为4102 1*(x-1)+2*(y+2)+3*(z-1)=0 ,化简1653得 x+2y+3z=0 .二、在直线上取两点 A(1,1,4),B(2,3,7)(分别取 x=1、2,然后解出 y、z 即可),因此直线的方向向量为 AB=OB-OA=(1,2,3),所以,所求平面的方程为 1*(x-1)+2*(y+2)+3*(z-1)=0 ,化简得 x+2y+3z=0 .

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