高等代数——二次型
一、揭开二次型的神秘面纱
二次型，数学的瑰宝：在数域P中，一个由系数构成的二次齐次多项式，承载着n元的数学之美，这就是我们所说的二次型。它的矩阵形式，A=，赋予了它独特的对称性，A的对称性要求。
通过矩阵乘积，我们揭示了二次型的联系与变换规则：如果矩阵A、B和可逆矩阵C满足合同变换条件，A → C，它们在二次型世界中如同乐章的和谐转换。
二、标准形：通往简洁的桥梁
二次型的精华在于其标准形，通过非退化线性替换，它从复杂走向简洁。定理2犹如魔法棒，确保所有对称矩阵都能化身为对角矩阵的集合，让任何二次型都能转化为平方和形式的标准二次型，配方法成为我们探索的实用工具。
规范与唯一性：二次型的身份证
规范型，是二次型的身份证，复数与实数领域的特殊性决定了它们规范化的路径。定理3和4告诉我们，经过适当的变换，二次型总能找到其独一无二的规范型，这就像指纹一样，独一无二。
惯性定理揭示了规范形的秘密，正惯性指数与负惯性指数的组合，如同二次型的性格标签，揭示其内在的性质。
正定二次型：数学的赞美诗
正定，是二次型的赞美诗。实数域的正定性，要求对所有非零向量都满足特定的正向关系。定理6揭示了正惯性指数的决定性作用，正定矩阵的行列式，犹如它的热情印记。
技巧与应用：连接理论与实践的桥梁
掌握正交矩阵的妙用，二次型的化简与标准化，是理解二次型的关键。将二次型转化为标准型的步骤，就像解构复杂的艺术品，每一步都蕴含着数学的智慧。
二次型的意义不仅在于其理论价值，它在物理、工程等领域都有着广泛的应用，从结构分析到信号处理，无处不在。
结语：共同学习，迈向高代的巅峰
这是一段数学的旅程，每一个概念和定理都是通往高等代数深处的阶梯。让我们一起探索，用二次型的魔力，解锁数学的奥秘。你的参与和贡献，将使这个空间更加丰富多元。感谢你的关注与支持，让我们共同加油，在矩阵的海洋中，征服高代的高峰！
高等代数理论基础33:二次型及其矩阵表示
定义：一个系数在数域P中的 的二次齐次多项式 称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型 注： 的系数写成 以方便讨论 定义：设 是两组文字,系数在数域P中的一组关系式 称为由 到 的一个线性替换,简称线性替换 若系数行列式 ,则称该线性替换为非退化的 注：线性替换把二次型变成二...
高等代数的二次型求教
二次型f(x,y,z)=ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz，用矩阵表示的时候，矩阵的元素与二次型系数的对应关系为：A11=a，A22=b，A33=c，A12=A21=d\/2，A13=A31=e\/2，A23=A32=f\/2。二次型的定义：设f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij * x_i*x_j 这里是系数， 满足aij=...
高等代数——二次型
二次型的意义不仅在于其理论价值，它在物理、工程等领域都有着广泛的应用，从结构分析到信号处理，无处不在。结语：共同学习，迈向高代的巅峰这是一段数学的旅程，每一个概念和定理都是通往高等代数深处的阶梯。让我们一起探索，用二次型的魔力，解锁数学的奥秘。你的参与和贡献，将使这个空间更加丰富...
高等代数二次型,②式是怎么得到的?二次型f得矩阵B是怎么知道的?答案没...
对于二次型 y = x^T * M * x y=y^T=x^T * M^T * x 所以 y = x^T * (M+M^T)\/2 * x 不论M是否对称，(M+M^T)\/2 确保是一个对称矩阵，也就是这个二次型的表示矩阵
高等代数二次型,好难
对于实二次型x^TAx，有不等式x^TAx<=λx^Tx，其中λ表示A的最大特征值（证明可以用谱分解或者Lagrange乘子法）把a_i和b_i分别看成列向量a和b的分量（a=[a_1,...,a_n]^T, b=[b_1,...,b_n]^T）Cauchy不等式的左端等于b^Taa^Tb，右端等于a^Tab^Tb 然后令A=aa^T, x=b，A...
高等代数矩阵二次型
对于二次型，矩阵A都是要求为实对称矩阵。实对称矩阵可以对角化，就是说，存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵，这里P^{-1}表示P的逆矩阵。具体求法就如你所说，先求出A的特征根，以及分别对应各个根的特征向量，P1,P2,P3，此时令P=（P1,P2,P3），就满足P^{-1}AP为对角矩阵。但是若...
什么是二次型?
二次型是一种代数表达式，涉及变量的平方和它们之间的乘积。具体来说，二次型是一个多项式函数，其中每个变量的最高次数为2，并且只包含有限个项。二次型的一般形式可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) = a1*x1^2 + a2*x2^2 + ... + an*xn^2 + b1*x1*x2 + b2*x1*x3 + ... +...
高等代数中二次型的是不定的是不是意味着对任意不为0的一组数代入二次...
你没理解书上的话的意思，二次型是不定的，意味着对任意不为0的一组数带去二次型，二次型的值可能正，也可能负，也可能为0。同样，它的特征值也有正有负，也有可能为0。
什么是二次型?
二次型的标准型为：y1^2+y2^2-y3^2。二次式即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。柯召：字惠棠，浙江温岭人，数学家、中国科学院资深院士、被称为中国近代数论的...
问一道高等代数题在二次型中,为什么标准答案要这样做呢,求解答_百度知 ...
书上这样做是用了一个定理：矩阵正定的充分必要条件是所有的顺序主子式为零。但这个做法不够好，用特征值更简单。定理：矩阵正定的充分必要条件是所有特征值都大于0。记A的特征值是λ1，λ2，...，λn（都是实数），则tE+A的特征值是t+λ1，t+λ2，...，t+λn。可见，不论A的特征值是...
姚鬼西比：[答案] 对于二次型,矩阵A都是要求为实对称矩阵. 实对称矩阵可以对角化,就是说,存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP为对角矩阵,这里P^{-1}表示P的逆矩阵. 具体求法就如你所说,先求出A的特征根,以及分别对应各个根的特征向量,P1,P2,P3,此时令P=(P...
带岭区15673178854： 高等代数矩阵二次型？
姚鬼西比： 对于二次型,矩阵A都是要求为实对称矩阵.实对称矩阵可以对角化,就是说,存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP为对角矩阵,这里P^{-1}表示P的逆矩阵.具体求法就如你所说,先求出A的特征根,以及分别对应各个根的特征向量,P1,P2,P3,此时令P=(P1,P2,P3),就满足P^{-1}AP为对角矩阵.但是若想把P^{-1}变为PT,就要想办法把P变成正交阵,因为正交阵的定义就是逆和转置相同.所以需要把P1,P2,P3正交单位化得Q1,Q2,Q3,这样得到的矩阵(Q1,Q2,Q3)就是正交阵.注意:通常需要正交单位化而不是仅仅单位化,但是如果P1,P2,P3属于不同的特征根,则它们本身就是正交的,就可以省去正交化的过程.
带岭区15673178854： 看看这道高等代数二次型证明题是不是 有毛病?证明:一个实二次型可以分解为两个实 系数的一次齐次多项式的乘积的充要条 件为:它的秩为2且符号差为0... - ？
姚鬼西比：[答案] 你的问题出在你写的那个矩阵一般不是对称阵, 但在讨论二次型对应的矩阵时是要求为对称阵的. 应该把i, j位置改为(ai·bj+aj·bi)/2, 这样秩就不一定为1了.
带岭区15673178854： 证明二次型f(x)=(x^T)Ax是正定二次型的充分必要条件是矩阵a的所有顺序主子式全大于零 - ？
姚鬼西比：[答案] 这是个定理,一般书都有证明.比如北大版的经典教材《高等代数》(第三版)就有.
带岭区15673178854： 高等代数化二次型？
姚鬼西比： 这问题其实很简单,这样化得目的就是为了把函数都变成只有未知数的平方的形式,这样得到的二次型矩阵就是标准型了,而c是怎么看出来的呢?这个就更简单了,只要你化成那种形式之后C就是最后的未知数放在一起
带岭区15673178854： 高等代数如何用正交替换把实二次型化为标准型?要求详细步骤,谢谢. - ？
姚鬼西比： 先写出二次型对应的实对称矩阵,再利用(λE-A=0)求它的特征值,分别把特征值代入依次求特征向量,然后用施密特正交化的方法把特征向量化为两两正交的单位向量,最后就可以写出正交矩阵了.
带岭区15673178854： 有谁知道《高等代数》中二次型在有理数中有些什么样的性质啊??? - ？
姚鬼西比： 你想问有理数域上的合同标准型?有理数域和实数域差不太多,主要是不能随意开方. 对于合同变换,可以用Gauss消去法构造性地证明存在Q上的可逆阵L和对角阵D使得A=LDL^T,如果是在R上可以进一步要求D的元素取{0,1,-1},但是Q上不可以.当然,Q上也不保证谱分解的存在,因为特征值不一定是有理数.
带岭区15673178854： 线性代数中二次型tr(A)是什么意思 - ？
姚鬼西比：[答案] 是矩阵的迹,主对角线上所有元素之和.
带岭区15673178854： 线性代数,实二次型的分类有哪些? - ？
姚鬼西比： 对于实二次型f(x)=(x^T)Ax. ①如果对任何非零实向量x,都有f(x)>0,则称f为正定二次型 ②如果对任何非零实向量x,都有f(x)③如果对任何实向量x,都有f(x)≥0,则称f为半正定二次型 ④如果对任何实向量x,都有f(x)≤0,则称f为半负定二次型 ⑤如果存在实向量x1及x2,使f(x1)>0,f(x2)(凡是正定二次型的,均是半正定的.凡是负定二次型的,均是半负定的) (不定二次型既不是半正定的,也不是半负定的)
带岭区15673178854： 高等代数怎么用初等变换化二次型为标准型 - ？
姚鬼西比： 利用初等变换的Gauss消去法和Lagrange配方法本质上是一样的,一个一个消元就行了1. 你先去把解线性方程组的Gauss消去法看懂http://wenwen.sogou.com/z/q728537367.htm2. 解线性方程组的时候Gauss消去法一般以行变换为主,也就是L_k....
