高中数学解析几何之——圆 的三道解答题求助

高中数学：解析几何的一道题目~

先看第一个问题。楼主做错了，主要是判断情况时出现的错误。
首先P、Q、R三点都在圆上，故到圆心的距离都相等。不妨设圆心C为（a，b）.
则有：CM=CQ=CR ==》 同时平方
既是：（2-a）^2+b^2=a^2+(1-b)^2=(m-a)^2+b^2 一式
由此可得，4a-2b=3 二式
又因为cp直线的斜率为-1。有b/（m-a）=-1 所以有m=a+b 三式
把m=a+b带入一式。有（2-a）^2=b^2 有2-a=+b（要舍去。因为变形既是a+b=2。也就是m点为Q点。错误） 或者2-a=-b 四式
由二、四式有a=-0.5 b=-2.5
所以圆的方程为（x+0.5）^2+（y+2.5）^2=12.5
如下图：
问题二。
第二问有一定的技巧，这里不用设点，那样未知数太多，会比较麻烦。
观察图知。四边形的对角线互相垂直。故面积为对角线之积（用两个三角形的面积之和推导）。
设四边形的对角线长度分别m、n。则面积为mn/2。
技巧来了。用不等式mn小于等于（m^2+n^2）/2.m=n时。取等号。
故由该不等式知。当四边形的对角线相等时。有面积最大
也就是四边形为等腰梯形时面积最大。
下面的工作，就是算出对角巷的长度（当m=n时）。m=n=37开平方 （这个就麻烦你自己算了）
故最大面积为mn=37 /2

有题意设P(-p/2,m) ，因为 A(0，2), F(p/2,0)
所以：向量PA*PF=0
向量模相等PA=PF
列式解方程组：P=4/3

答：第一题的第一问很简单，你可以联解两个方程，证明判别式恒大于0就可以了，不过这种题目都是这么解的 肯定是直线过定点，定点在圆内。这个定点就是(2mx+x+my+y-7m-4=0 即m*(2x+y-7)+x+y-4=0) 有x+y=4 且2x+y-7=0 得出定点坐标为(3,1)在圆内……

截得最短就是垂直的时候， 由圆心得（1，2）到(3,1)的斜率k可以算出， 当
k*-(2m+1)/(m+1)=-1时最短 还有一个就是斜率不存在的时候！！！！！

圆C方程可化为：(x+2)^2+(x-6)^2=16
设过P点的圆C的弦的中点坐标为Q(x,y)，则有OQ⊥PQ即有,
[(y+2)/(x-6)]*[(y-5)/(x-0)]=-1
(y-3/2)^2=73/4-x

圆的方程可变为 (x+1/2)^2+(y-3)^2=(37-4m)/4
圆心坐标为(-1/2,3)
y=(-x+3)/2代入圆的方程得
x^2+(x^2-6x+9)/4+x-(9-3x)+m=0
5x^2/4+5x/2-27/4+m=0
你自己算一下 用含m的代数式表示P Q两点的坐标
设P点坐标为(x1,y1) Q点坐标为(x2,y2)
向量OP=(x1-(-1/2),y1-3) 向量OQ=(x2-(-1/2),y2-3)
向量OP·向量OQ=(x1+1/2)*(x2+1/2)+(y1-3)*(y2-3)=0
y1,y2用x1,x2代替（利用直线 x+2y-3=0 y1=(3-x1)/2）
再联立
圆和直线的方程，利用韦达定理 得出x1+x2 和x1*x2 与m的关系
代入数据后可得m的值
再把求得的m的值代入√(37-4m) /2得半径

这个方法比较通用，就是把(x1,y1)(x2,y2)设出来，然后化到与m有关的关系式（方程），然后解出m

（1）直线方程可化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0.===>2x+y-7=0,x+y-4=0.===>x=3,y=1.故直线（2m+1)x+(m+1)y=7m+4恒过定点P（3,1).又点P（3,1)明显在圆（x-1)^2+(y-2)^2=25内。故不论m取何值，直线与圆恒相交。最短弦长=4√5.方程为2x-y-5=0.(2)

1.由直线方程（2m+1)x+(m+1)y=7m+4可知直接必通过（3，1）
∵（3-1)²+(1-2)²=5<25
∴（3，1）必在圆C内
∴不论m取什么实数，直线l与圆恒相交
设B点为（3，1），连接BC
当BC线段⊥ 直线l时，直线l被圆C截得的弦长最短
BC=√[(3-1)²+(1-2)²]=√5
最短弦长的长度=2√(r²-BC²)=4√5
BC线段的斜率k=(3-1)/(1-2)=-2
∴直线l的斜率k′=1/2=-(2m+1)/(m+1)解得m=-3/5
直线l的方程为x-2y-1=0
2.圆C方程可化为：(x+2)²+(x-6)²=16
设过P点的圆C的弦的中点坐标为Q(x,y)，则有OQ⊥PQ即有
[(y+2)/(x-6)]*[(y-5)/(x-0)]=-1
(y-3/2)²=73/4-x
3.圆方程简化成(x+1/2)²+(x-3)²=37/4-m
∴圆心坐标(-1/2,3)
设P、Q坐标分别为(3-2a,a)(3-2b,b),a>b则有
(3-2a+1/2)² +(a-3)² =（3-2b+1/2)² +（b-3)²
(3-2a)(3-2b)+ab=0
可化简为9+5ab-6(a+b)=0和a+b=4
解得a=3,b=1
P(-3,3)Q(1,1)
半径=√[(1+1/2)²+(1-3)²]=5/2

(1)直线方程可化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0.
===>2x+y-7=0,x+y-4=0.
===>x=3,y=1.
故直线（2m+1)x+(m+1)y=7m+4恒过定点P（3,1).
又点P（3,1)到圆心距离为√（3-1）²+（1-2）²=√5<5.

最短弦长PC=√[(3-1)²+(1-2)²]=√5
=2√(r²-BC²)=4√5

PC线段的斜率k=(3-1)/(1-2)=-2
∴直线l的斜率k′=1/2=-(2m+1)/(m+1)解得m=-3/5
直线l的方程为x-2y-1=0

（2）x方+y方+4x-12y+24=0
化简可得（x+4)²+（y-6)²=16
设点N为（x0，y0）
由0N⊥PN，
可知（5-y0）/（0-x0)*（6-y0）/（4-x0)=-1
化简得（x0-2）²+（y-11/2)²=17/4.

(3)x方+y方+x-6y+m＝0化简可得（x+1/2)²+（y-3)²=37/4-m
所以圆心坐标为（-1/2，3）

向量OP和向量OQ的点积＝0,

所以三角形0PQ为等腰直角三角形，

直线x+2y-3=0到圆心距离为三角形OPQ的高
即|-1/2+6-3|/√5=√5/2

所以半径为√5/2*√2=√10/2.

(x-1)^2+(y-2)^2=25是以(1,2)为圆心 5为半径的圆
圆心到直线l的距离为[1×(2m+1)+2×(m+1)-(7m+4)]/√[(2m+1)^2+(m+1)^2]=(-3m-1)/√(5m^2+6m+2)
直线与圆恒相交 圆心到直线的距离小于半径
(-3m-1)/√(5m^2+6m+2)＜5
设圆心为O 直线与圆交于A B两点 OC为圆心到直线的距离
AC^2+0C^2=OA^2
AC^2+(-3m-1)^2/(5m^2+6m+2)=5^2
AC^2=25-(9m^2+6m+1)/(5m^2+6m+2)=(116m^2+144m+49)/(5m^2+6m+2)
2 圆的方程可变为(x+2)^2+(y-6)^2=16
圆心坐标为(-2,6) 半径为4
设弦AB过P点 OC为弦AB上过圆心的垂线段 C点坐标为(x1,y1)
OP=√[(0-(-2))^2+(5-6)^2]=√5
在Rt△COP中 OC^2+PC^2=OP^2=5
在Rt△AOC中 OC^2+AC^2=OA^2=16
两式相减得 AC^2-PC^2=11
(AC+PC)(AC-PC)=11
BP×AP=11
PC所在直线的斜率 kPC=(y1-5)/x1
OC所在直线的斜率 kOC(y1-6)/(x1-(-2))=(y1-6)/(x1+2)
kPC×kOC=-1
(y1-5)/x1 × (y1-6)/(x1+2)=-1
(y1-5)(6-y1)=x1(x1+2)
-y1^2+11y1-30=x1^2+2x1
x1^2+y1^2+2x1-11y1+30=0
(x1+1)^2+(y1-11/2)^2=5/4
中点C的轨迹是以(-1,11/2)为圆心 √5 /2为半径的圆
3 圆的方程可变为 (x+1/2)^2+(y-3)^2=(37-4m)/4
圆心坐标为(-1/2,3)
y=(-x+3)/2代入圆的方程得
x^2+(x^2-6x+9)/4+x-(9-3x)+m=0
5x^2/4+5x/2-27/4+m=0
你自己算一下 用含m的代数式表示P Q两点的坐标
设P点坐标为(x1,y1) Q点坐标为(x2,y2)
向量OP=(x1-(-1/2),y1-3) 向量OQ=(x2-(-1/2),y2-3)
向量OP·向量OQ=(x1+1/2)×(x2+1/2)+(y1-3)×(y2-3)=0
代入数据后可得m的值
再把求得的m的值代入√(37-4m) /2得半径

答：第一题的第一问很简单，你可以联解两个方程，证明判别式恒大于0就可以了，不过这种题目都是这么解的 肯定是直线过定点，定点在圆内。这个定点就是(2mx+x+my+y-7m-4=0 即m*(2x+y-7)+x+y-4=0) 有x+y=4 且2x+y-7=0 得出定点坐标为(3,1)在圆内……

截得最短就是垂直的时候， 由圆心得（1，2）到(3,1)的斜率k可以算出， 当
k*-(2m+1)/(m+1)=-1时最短

圆C方程可化为：(x+2)^2+(x-6)^2=16
设过P点的圆C的弦的中点坐标为Q(x,y)，则有OQ⊥PQ即有,建设限代化
[(y+2)/(x-6)]*[(y-5)/(x-0)]=-1
(y-3/2)^2=73/4-x

圆的方程可变为 (x+1/2)^2+(y-3)^2=(37-4m)/4
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y=(-x+3)/2代入圆的方程得
x^2+(x^2-6x+9)/4+x-(9-3x)+m=0
5x^2/4+5x/2-27/4+m=0
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向量OP·向量OQ=(x1+1/2)*(x2+1/2)+(y1-3)*(y2-3)=0
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