用换元法求不定积分

用第一换元法求不定积分~

简单计算一下即可，答案如图所示

当n是奇数时，∫
(cosx)^n
dx才可用换元法，不然只能用配角公式逐步拆解，这题的n是偶数
∫
cos^4x
dx
=
∫
(cos²x)²
dx
=
∫
[1/2*(1+cos2x)]²
dx
=
(1/4)∫
(1+2cos2x+cos²2x)
dx
=
(1/4)∫
dx
+
(1/4)∫
cos2x
d(2x)
+
(1/4)∫
1/2*(1+cos4x)
dx，若要要换元法，这里可以用
=
(1/4)x
+
(1/4)sin2x
+
(1/8)(x
+
1/4*sin4x)
+
C
=
(1/4+1/8)x
+
(1/4)sin2x
+
(1/32)sin4x
+
C
=
(1/32)sin4x
+
(1/4)sin2x
+
(3/8)x
+
C

简单分析一下，答案如图所示

第二题可以用二种方法求不定积分。

1、用换元法求不定积分，求解过程见上图。

2、第一题，用三角换元法，令x=tant,则换元后，化为t的三角函数的不定积分，此不定积分非常易积分出来，最后，再换成用x表示。

3、第二题的不定积分，也可以用三角换元法求不定积分，令x=sect，就可以求出不定积分。

不过，如果没有方法限制的话，此题用我图中第二张图中的方法更简单。

具体的用换元法求不定积分，求的详细步骤及说明见上。

见下图：

(1)

let
x=atanu
dx=a(secu)^2 du
∫ dx/(x^2+a^2)^(3/2)
=∫ a(secu)^2 du/[ a^3. (secu)^3]

=(1/a^2)∫ (cosu)^2 du
=[1/(2a^2)]∫ (1+cos2u) du
=[1/(2a^2)] [u+(1/2)sin2u] +C
=[1/(2a^2)] [arctanu(x/a)+ ax/(x^2+a^2)] +C
(2)
let
x=secu
dx=secu.tanu du
∫ dx/[x+√(x^2-1)]
=∫ [x-√(x^2-1)] dx
=(1/2)x^2 -∫ √(x^2-1) dx
=(1/2)x^2 -∫ secu.(tanu)^2 du
=(1/2)x^2 -∫ secu.[(secu)^2-1] du
=(1/2)x^2 +ln|secu+tanu| -∫ (secu)^2 du
=(1/2)x^2 + ln|secu+tanu| -(1/2)[secu.tanu +ln|secu+tanu|] +C
=(1/2)x^2 + (1/2)ln|secu+tanu| -(1/2)secu.tanu +C
=(1/2)x^2 + (1/2)ln|x+√(x^2-1)| -(1/2)x.√(x^2-1) +C

//
∫ (secu)^3 du
=∫ secudtanu
=secu.tanu -∫ (secu).(tanu)^2 du
=secu.tanu -∫ (secu).[(secu)^2-1] du
2∫ (secu)^3 du =secu.tanu +∫ secu du
∫ (secu)^3 du =(1/2)[secu.tanu +ln|secu+tanu|] +C'

---

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独孤亨血府： 令√(1+t)=u,得t=u²-1,dt=2udu ∫1/[1+√(1+t)]dt=∫2u/(1+u)du=2∫[(1+u)-1]/(1+u)du=2∫du-2∫1/(1+u)d(1+u)=2u-2ln(1+u)+C=2√(1+t)-2ln[1+√(1+t)]+C 令√(x²+a²)=t,得x²=t²-a²,dx²=2tdt ∫√(x²+a²)/xdx=∫x√(x²+a²)/x²dx=[∫√(x²+a²)/x...

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独孤亨血府： ∫1/(4+x^2)^(1/2)dx=∫1/(1+(x/2)^(1/2)d(x/2) t=x/2=∫1/(1+t^2)^(1/2)dt=∫(1/1+(tana)^2)^(1/2)d(tana)=∫cosa(1+tanatana)da=∫(1/cosa)da=2∫1/[1-tan(a/2)^2]d(tana/2)=ln(tan(a/2)+1)-ln(tan(a/2)-1)+C=ln(x+(x^2+4))+C

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