不定积分如何换元？

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不定积分第二类换元法三角代换问题。

一、√(a²-x²) 通常用x=a*sint ，t的范围取-π/2≤t≤π/2，这样可以保证cost恒≥0；或x=a*cost 换元，t的范围取0≤t≤π，这样可以保证sint恒≥0。
二、√(x²-a²)通常用x=a*sect ，∵x²-a² = a²sec²t-a²
= a²(sec²t-1) = a²(sec²t-1) = a²tan²t
sec函式和tan函式的连续区域一致，t的范围取0≤t≤π/2，sect的值从1~+∞，对应tant的值从0~+∞，也可以直接去掉根号，无需讨论正负。
三、总结：只要换元为三角函式后的角度变数取值合适，这两种换元都可以无需讨论去掉根号后的正负问题。

不定积分 第二类换元法

dx=dsint=costdt,这一步千万别忘了啊！

d(2sint)=2costdt,再把cost带进前面式子就是了

今x=tan^2t

请教不定积分第二类换元法问题

因为，积分意义是求面积的。考虑边界没有任何意义。
也可以写成
-π/2<=t<=π/2
-π/2<=t<π/2
-π/2<t<=π/2
-π/2<t<π/2
以上四种都是可以的。

不定积分第二类换元法例题

第一题：a,b均为正数,a+b=2,b=2-a,
W=根号(a^2+4)+根号(b^2+1)=根号(a^2+4)+根号(a^2-4a+5)
取导W '=a/根号(a^2+4)+(a-2)/根号(a^2-4a+5)=0有极值,化为
a^2(a^2-4a+5)=(a^2-4a+4)(a^2+4);
(a^2-4a+4)a^2+a^2=(a^2-4a+4)a^2+4(a^2-4a+4)得
3a^2-16a+16=0,(3a-4)(a-4)=0,a1=4/3,a2=4(不和题意舍去)
b=2/3,W最小值=根号13

不定积分中的第二类换元法问题

（1）是用x的取值范围来确定t的取值范围，你也可以设定pi/2<t<3pi/2，但是你要注意积分时的t的范围应当与x 的范围对应，就是说-pi/2<t<pi/2要积分从-pi/2到pi/2的话，那么你用pi/2<t<3pi/2就应当从3pi/2积分到pi/2，因为x与t是一一对应的。
（2）
y=sinx中pi/2<x<3pi/2时，反函式为y=arcsinx+pi
y=cosx中pi<x<pi时，为不满足单调条件。比如说现在一个y对应两个x ,那么如果有反函式的话就是一个x对应两个y了，显然不符合函式定义。
sorry，前面说的错了。你看看换元之后，有个cos^2x要开方出来，如果你选择pi/2<t<3pi/2之后，从cos的函式图可以看出来这个范围里都是负数，因此前面要加一个负号，然后再从3pi/2积分到pi/2.
要这样理解，换元就是替换，只要别的元素在区间可以把x表示出来，就可以替换。（当然是要为积分更简便而服务了^_^）

用第二类换元法求不定积分

令x=t^6，则dx=6t^5 dt
原式=∫6t^5 /(1+t²)t^3 dt
=∫6t² /(1+t²) dt
=6∫[1-1/(1+t²)] dt
=6(t-arctan t)+C
=6x^(1/6) -6arctan[x^(1/6)] +C

不定积分的第二类换元法

第二类换元法的目的是为了消去根号，化为简单函式的不定积分。它分为根式换元和三角换元。可以令x=以另外变数t的函式（此函式要存在反函
数），把这个函式代入原被积表示式中，即可得到一个以t为积分变数的不定积分，这个不定积分若容易求设结果为F（t）+C,则要把这个结果中的t换回x的
函式（即上面提到的反函式），就搞掂啦！

不定积分 第二类换元法 试题求解

一般：
√x方+a方
代换时，用
x=atant代换
本题： 因为x为x+1, a=1
所以
用 x+1=tant代换

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额敏县17132289431： 求不定积分,用换元法 - ？
柏劳哥台： 令√(1+t)=u,得t=u²-1,dt=2udu ∫1/[1+√(1+t)]dt=∫2u/(1+u)du=2∫[(1+u)-1]/(1+u)du=2∫du-2∫1/(1+u)d(1+u)=2u-2ln(1+u)+C=2√(1+t)-2ln[1+√(1+t)]+C 令√(x²+a²)=t,得x²=t²-a²,dx²=2tdt ∫√(x²+a²)/xdx=∫x√(x²+a²)/x²dx=[∫√(x²+a²)/x...

额敏县17132289431： 不定积分换元法 具体怎么做 - ？
柏劳哥台： (12)换元法,如下图:(14)猜不出分母的根号里面是什么 如果是个常数的话,可以直接凑微分(22)三角换元 过程如下图:

额敏县17132289431： 不定积分的换元法! - ？
柏劳哥台： 例:∫sin(x/2)dx 令u=(x/2),du/dx=1/2,dx=2du ∫sin(x/2)dx=2∫sinudu=-2cosu+C 还原u=x/2=-2cos(x/2)+C

额敏县17132289431： 不定积分 换元积分法？
柏劳哥台： 像这种题目就是用换元法.可以看出被积函数之中有X的2次方根和X的3次方根,首先想到去根号,故要用2与3的最小公倍数6代替,即X的6次方根,则,X=t^6.然后带入原被积函数(别忘了dx之中的x也要用t^6替换哈)因此就可得到右边的积分,嘿嘿,希望能明白一些^___^

额敏县17132289431： 计算不定积分换元法怎么做?举个例题吧 (1+3lnx+ln*2x)/x dx.是ln的平方乘x - ？
柏劳哥台：[答案] ∫[1+3lnx+(lnx)^2]dx/x=∫[1+3lnx+(lnx)^2]d(lnx) lnx=t 原式=∫(1+3t+t^2)dt=lnx+3(lnx)^2/2+(lnx)^3/3+C

额敏县17132289431： 高等数学中,不定积分的换元法怎么理解 - ？
柏劳哥台： 将自变量用其他变量代替,从而简化运算,这也是根据微分基本法则推导出来的

额敏县17132289431： 不定积分的两种换元法有什么区别啊 - ？
柏劳哥台： 1、如百果在解题过程中引入了新的积分变量,就是第二类换元积分法.例如引入了新的积分变量t,把原来以x为积分变量的积分度转化成了以t为积分变量的积分,所以是第二类换元积分法.第二类换元积分法还有一个标志,就是对新的积分变量的积分完成之后,一定有一个“回代”的过程,将结果仍然用原来的积分变量表示.2、如果在解题过程中不引入新回的积分变量,答而是以原来积分变量的一个函数式作为新的积分变量,就是第一类换元积分法,也称为“凑微分法”.

额敏县17132289431： 高数不定积分的第一换元法和第二换元法,还有分部积分法具体是怎么搞, - ？
柏劳哥台：[答案] 分部积分法是微积分中的一类积分办法:对于那些由两个不同函数组成的被积函数,不便于进行换元的组合分成两部份进行积分,其原理是函数四则运算的求导法则的逆用.根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀:“反对幂三指”.分别...

额敏县17132289431： 高等数学不定积分换元法 - ？
柏劳哥台： 换元法与分部法结合令t=arctanx,则 ∫[arctanx/x^2(1+x^2)]dx =∫t/[(tant)^2*(sect)^2]*(sect)^2 dt =∫t*(cott)^2 dt =∫t*(csct)^2 dt-∫t dt =-∫t d(cott)-1/2*t^2 =-t*cott+∫cottdt-1/2*t^2 =-t*cott+ln|sint|-1/2*t^2+C =-arctanx/x+ln|x|-1/2*ln(1+x^2)-1/2*(arctanx)^2+C