ODE|解的延拓与最大存在区间

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在微分方程的世界里，局部解的魔力在于其潜在的全局意义。整体解并非孤立存在，而是由“局部”解的巧妙延拓所构成，而这一过程的核心在于明确“延拓”的定义：若在闭区间 [a, b] 内存在解 u，且能找到定义在包含该区间的 (a, b) 上的解 v，且 v 满足 v|_[a, b] = u，那么 v 就是 u 的一个延拓。那些无法找到其他延拓的解，我们称之为不可延拓解，它们与 Pontryagin 提出的整体解概念紧密相连。整体性定理，相较于局部性，更彰显了方程解的深刻性质。

关键定理揭示了整体解的独特性质： 无论初始值如何，唯一不可延拓解的边界延拓是至关重要的。比如，对于 Riccati 方程，尽管每个解在有限区间内连续且Lipschitz，但它们并非无限制地向无穷远处延伸，而是受限于一个有界的整体存在区间。

证明过程中的精髓在于利用有界性与唯一性定理，确保解的局部存在并能够延拓到边界。对于Riccati方程，即使解可能在某个方向无限延伸，关键在于证明其整体存在区间的边界是有限的，这通常通过反证法得以实现。

证明策略的精妙之处在于: 首先假设存在无界区间，通过反证法证明该区间的一侧是有限的，再利用对称性扩展到另一侧。最终得出，整体存在区间必然被限制在某个有界的区域内，这是证明解延拓和区间长度的关键手段。

当处理非全微分的被积表达式时，策略转向二元函数的转化，通过取定值或不等式来处理。在最大存在区间的选择上，通过逐步挖掉小段区间，确保在单个小区间内保持整体解的有限性。而这个区间的选择，往往受限于特定条件，并依赖于线性估计的精确性。

局部延拓的关键在于找到合适的“小区间”： 选定包含初始值的足够小的矩形区域，要求至少覆盖 [a, a+h]。区间不能过小，必须至少包含 [a-h, a+h]，即 2h。通过估计，我们得到一个粗略的上界，它确保函数图像不超越边界。目标是利用延拓定理，确保积分曲线不触及边界。通过巧妙地选取参数，我们令式子满足条件，大胆地选择 h。最终结论是：解能够成功延拓到 a+h，突破了 h 的限制。

当我们将这个概念推广到连续函数，整个过程就像把问题缩小到紧集上的最大值问题，从而化繁为简，问题得以解决。

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耀州区15151126764： 如何理解常微分方程解的延拓问题 - ？
左念心脑： .

耀州区15151126764： 方程dy/dx=y^2过点(3, - 1)的解的最大存在区间为__________ -- ？
左念心脑：[答案] 分离变量得-dy/y^2=-dx, ∴1/y=-x+c,y=1/(c-x), 它的图像过点(3,-1), ∴-1=1/(c-3),c=2, ∴y=1/(2-x),它的最大存在区间是(-∞,2)∪(2,+∞).

耀州区15151126764： 常微分方程讨论方程dy/dx=(3/2)y^(1/3) 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点0,0的一切解.最好有过程. - ？
左念心脑：[答案] 方程在R*(0,+∞)和R*(-∞,0)的子域上都是满足唯一性条件的,因为这些区域都不包含y=0的点,而在这些区域上,f(y)=(3/2)y^(1/3),df/dy存在且连续,所以在这些区域内的每一点都是满足局部李氏条件.所以在这两个区域中的一个内,满足初值条件(τ,ξ)...

耀州区15151126764： 解对初值连续性和可微性应用的例子(关于常微分的) - ？
左念心脑： 解对初值的连续性关于初值的一些基本性质.解关于初值的对称性 设方程 (3.1.1.1) 的满足初始条件的解是唯一的,记为,则在表达式中,与可以调换其相对位置,即在解的存在范围内成立着关系式事实上,在上述解的存在区间...

耀州区15151126764： 常微分方程,解的存在定理与解的延拓.证明题,证明过程. - ？
左念心脑： 那两个解我用h(x),g(x)表示, h(x_0)<g(x_0)显然可以得到过R^2上的任意一点, 有且只有一条积分曲线. 假设存在一个x1>x0, 使得h(x_1)>=h(x_1) 所以, 由于h(x), g(x)连续, 所以, 一定存在x_1>=x_2>x_0, 使得h(x_2)=g(x_2), 这表明过点(x_2,h(x_2))有两条不同的积分曲线, 这与过R^2上的任意一点, 有且只有一条积分曲线矛盾

耀州区15151126764： 微分方程ode出现虚数如何处理？
左念心脑： 呵呵 你加了一个real(y)结果当然不会有复数了你都改变了原来的方程了,并且确保原来的函数值一定是实数至于你的警告意思是说,由于积分步长达到最小值,可是积分仍不收敛,可能的原因是你的微分方程存在奇异点,或者严重的刚性问题换成ode23s试试,另外将微分精度调整小些,还不行就是你的方程在你的微分区间中一定是有奇点,将微分区间改小些

耀州区15151126764： 常微分方程的解存在唯一的问题~ - ？
左念心脑： 对于y'=f(x,y) 首先:f(x,y)总在某矩形区域内连续,因此方程的解总可以限制在某个矩形区域 其次:f(x,y)对y满足Lipschitz条件可以用偏导数有界替代,这些条件在一定范围内都是可满足的. 故在非证明常微分方程的解存在唯一的题中,很多都一笔带过

耀州区15151126764： 已知f(x)是二次函数,图像是开口向上的抛物线;若方程f(x)=0的解为0和5且f(x)在区间[ - 1,4]上的最大值为12(1) 求f(x)的解析式(2)是否存在实数b,使得方程f(x)=... - ？
左念心脑：[答案] 1、因为方程解已知,开口向上.因此设f(x)=x(x-5)+a,大概画出曲线,可以知道在已知区间内f(-1)最大,带入解得a=6,所以f(x)=x^2-5x+6. 2、该曲线的对称轴为x=3.5,在已知区间的右侧,因此不可能在已知区间内存在2个相异实根

耀州区15151126764： 已知定义在(0,+∞)的函数f(x)=|1 - 1/x|①求f(x)的单调区间和最小值最大值②是否存在实数ab使f(x)的定义域都 - ？
左念心脑： 解:f(x)=1/x -1 (0<x≤1) f(x)=1-1/x (x>1)单调递减区间(0,1],单调递增区间(1,+∞),最小值f(x)=0(2)不存在.

耀州区15151126764： 写出闭区间连续函数的最值性,介值性以及零点存在定理 - ？
左念心脑： 最大值和最小值定理: 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值. 有界性定理: 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 零点定理: 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A 及 f(b)=B,那未,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C (a