已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x都有f(x+4)=f(x)+2f(x)

~ 模仿这题做做
已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，对任意的x属于r都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，若f(1)=2，则f(2007)是？
f(x+4)=f(x)+f(2)
令
x
=
-2
f(-2
+
4)
=
f(-2)
+
f(2)
f(2)
=
f(-2)
+
f(2)
f(-2)
=
0
f(x)
是偶函数，所以
f(2)
=
f(-2)
因此
f(x+4)
=
f(x)
+
f(2)
=
f(x)
即
f(x)
是以4为周期的函数
f(x)
=
f(x
+
4k)
其中
k为整数
2007
=
4*502
-1
所以
f(2007)
=
f(-1)
=
f(1)
=
2

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松北区17536635295： 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x属于R都有f(x+6)=f(x)+2f(3),若函数f(x+1)的图像关于直线X=1对称 - ？
金策正大： 题目要改,改成函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称 或者 f(x-1)的图像关于直线x=1对称,如果不改题目此题不能做出来 这类题一般是往周期上靠 令t=x+1 得到函数f(t)的图像关于t=0对称 所以函数f(t)是偶函数 所以函数f(x)是偶函数 所以f(3)=f(-3) f(x+6)=f(x)+2f(3) 令x=-3 得到f(3)=f(-3)+2f(3)=3f(3) 得到f(3)=0 所以f(x+6)=f(x) f(2012)=f(335*6+2)=f(2)=f(-2)=2012

松北区17536635295： 已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意x1,x2属于R,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) - 1都成立,且当x>0时f(x)>1.若f(2013)=2014,f(x^2 - ax+5)>3对任意x属于( - 1,1)恒成立,... - ？
金策正大：[答案] 设x1=0,x2=1时,f(1)=f(0)+f(1)-1,所以f(0)=12014=f(2013)=f(2012)+f(1)-1=f(2011)+f(1)-1+f(1)-1=f(2011)+2f(1)-2=.=f(2)+2011f(1)-2011=f(1)+2012f(1)-2012=2013f(1)-2012所以f(1)=(2014+2012)/2013=2所以f(2)=f(1)...

松北区17536635295： 已知y=f(x)是定义在R上的函数,对于任意的x属于R,f( - ？
金策正大： 已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意x,y属于R都有f(x+y)+(x-y)=2f(x)f(y),且f(o)不等于0 (1)求证:f(0)=1 (2)判断函数f(x)的奇偶性1. 令x=y=0,所以由题意: f(0)+f(0)=2(f(o))^2---->2f(0)=2(f(o))^2 由于f(0)≠0---->f(0)=12. 2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 2f(x)f(-y)=f(x-y)+f(x+y)--->2f(x)f(y)=2f(x)f(-y)--->f(0)f(y)=f(0)f(-y)--->f(y)=f(-y) 由y的任意性,所以f(x)为偶函数

松北区17536635295： 已知f(x)是定义在R上的函数,且对任意的x,y∈R,有f(x)+f(y)=2f( (x+y)/2 ) f( (x - y)/2 )成立又知f(π/4)=0,但f(x)不恒为零,且f(0)>0.证明:f(x)为周期函数 - ？
金策正大：[答案] 这类题目用赋值法. 因为f(x)+f(y)=2f( (x+y)/2 ) f( (x-y)/2 ) 把x换为x+π/2,y换为x可得: f(x+π/2)+f(x)= 2f((2x+π/2)/2)f((π/2)/2)= 2f((2x+π/2)/2)f(π/4), 因为f(π/4)=0, 所以f(x+π/2)+f(x)= 0, 即f(x+π/2)=-f(x), ∴f(x+π)=- f(x+π/2)=f(x), 所以函数是周期为π的周期函数.

松北区17536635295： 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时有f(x)>0 ⑴判断函数奇偶性 - ？
金策正大： 令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0 令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x) 所以 f(x) 是奇函数 f(x+y)=f(x)+f(y) 设y>0, x>0 则 x+y>x>0 又 f(x)>0, f(x+y)>0, f(x+y)=f(x)+f(y)>f(x) 所以f(x) 在 x>=0 上是增函数 同样设 x<0,y<0,x+y<x 则-x>0,-y>0, -x-y>-x 则 f(-x-y)>f(-x) (f(x)在x>=0时是增函数)-f(x+y)>-f(x) (f(x)是奇函数) f(x+y)<f(x) 所以f(x)在x<=0时也是增函数 所以f(x)在R上是增函数

松北区17536635295： 已知f(x)是定义域在R上的函数,若对任意X1,X2属于R - ？
金策正大： ∵f((X1+X2)/2)=a[(x1+x2)/2]^2+(x1+x2)/2,(f(X1)+f(X2))/2=[(ax1)^2+x1+a(x2)^2+x2]/2,∴两式相减并整理等于-a(x1-x2)^2,该式小于等于0恒成立,∴f((X1+X2)/2)≤(f(X1)+f(X2))/2,∴函数f(x)为R上的凹函数.本题应用了作差与零比较,从而确定两式的大小.(作差比较法)

松北区17536635295： 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有f(x+y)+f(x - y)=2f(x)f(y), - ？
金策正大： 1).f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),当X=0 Y=0时候 F(0)+F(0)=2F(0)*F(0) ==>F(0)=0 或者 F(0)=1 因为F(0)=0时候 当Y=0时 F(X)+F(X)=0 不合理,舍去,所以F(0)=12)当X=0时候 原等式变为: F(Y)+F(-Y)=2F(0)*F(Y)=2F(Y) ==>F(-Y)=F(Y) 所以函数F(X)是偶函数

松北区17536635295： 已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意x1、x2∈R,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) - 1恒成立,且当x>0时,f - ？
金策正大： 任意取x1、x2∈R,且x1则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1,∵x>0时,f(x)>1,且x2-x1>0,∴f(x2-x1)-1>1-1=0,∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)是定义在R上的增函数,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,得 f(2013)=f(2012)+f(1)-1...

松北区17536635295： 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数有f(x+1)=f(1 - x)成立. 证明:f(x)是周期为4的周期函数. - ？
金策正大：[答案] f(x+1)=f(1-x) 令x=t-1 f(t)=f(t-1+1)=f(1-t+1)=f(2-t) 又有f(x)为奇函数 f(2-t)=-f(t-2)=-f((t-3)+1)=-f(1-(t-3))=-f(4-t)=f(t-4) 因此, f(t)=f(t-4) 再令t=x+4 f(x)=f(x+4) 因此,f(x)是周期为4的周期函数 有不懂欢迎追问

松北区17536635295： 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+(3 - x)则f(2010)的值为? - ？
金策正大：[答案] 则f(2010)的值为0 可以追问因为函数f(x)是定义在R上的奇函数 f(0)=0所以f(3-x)= -f(x-3) 所以f(x+6)=f(x)+f(3-x) 可以变为f(x+6)=f(x) -f(x-3),让x=y+3带进去得到f(y+3+6)=f(y+3) -f(y+3-3)整理得到f(y+3+6)=f(y+3) -f(0) 所以f(y+3+6)=f(y+3) 再让x=y+3带进去的得到f(x...