高中数学竞赛立体几何部分:两个半径都是1的球O1和球O2相切,且它们均与直二面角的两个半平面都相切,
题目有误,请改正
已知两个半径为1的大球面相切,且都与半径为1的圆柱内面相切,另一个小球面与这两个大球面都外切,且与圆柱内切,过小球球心和大球球心的平面与圆柱面相交成一个椭圆,求e的最大值
解:设一个大球的球心为A,两个大球的切点为B,小球球心为C,过A、C可以作很多平面,这些平面与圆柱的交线都是椭圆;但使离心率e最大的椭圆只有一个,这个椭圆的短半轴b=圆柱半径1;椭圆的长半轴a=AD(如图示).设小球半径为r;那么在△ABC中,AC=1+r,AB=1;BC=1-r,故在RT△ABC中有等式:(1+r)²=(1-r)²+1,即有1+2r+r²=1-2r+r²+1,于是得r=1/4.
sin∠CAD=BC/AC=(1-1/4)/(1+1/4)=3/5,故a=AD=1/sin∠CAD=5/3;c=√[(5/3)²-1²)=4/3
∴椭圆最大的离心率e=c/a=(4/3)/(5/3)=4/5
如上图为两个单位立方体构成,图中的左侧面和底面构成题目中的直二面角,
O1、O2为单位球的球心,小球O显然在MN上。
设OH=r,则有:OO1=OO2=r+1,才能满足外切条件。
如图,为M为原点建立空间坐标系,各点坐标为:
O (r, 0, r), O2(1, 1, 1)
于是: OO2^2 = (1+r)^2
得到: (1-r)^2 + 1 + (1-r)^2 = (1+r)^2
解得:r=3±√7
其中r=3-√7为符合题意的解。
算的没错的话答案应该是:3-根号7
如图:过直二面角的轴线做平面C夹角45°
则三个球在c平面的投影如下则有:AB=2、AC=AB=1+r
在b平面的投影如下 有:AD=1-r
AC在b平面的投影为AC‘,设AC与棱的夹角为α
则有1:cosα=1/(1+r)
2:AC’^2=AC^2-CC'^2=AC^2-(AC*sinα*sin45°)^2
3:AC'^2=AD^2+DC'^2=(1-r)^2+1
解1、2、3方程得r=3-根号7
如何提高在高中数学立体几何方面的知识水平?
提高在高中数学立体几何方面的知识水平需要采取以下措施:1.理解基本概念:首先要确保对立体几何的基本概念有清晰的理解,包括点、线、面、体等。可以通过阅读教材、参加课堂讨论和做习题来加深对这些概念的理解。2.掌握基本公式和定理:立体几何中有许多重要的公式和定理,如勾股定理、余弦定理、正弦定理等...
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高中数学的常见难点有什么?
解析几何:解析几何是高中数学的一个重要分支,涉及到直线、圆、椭圆、双曲线等曲线的性质和方程。学生需要掌握这些曲线的性质和方程,以及如何利用解析几何的方法解决实际问题。立体几何:立体几何涉及到空间中的点、线、面、体等元素的性质和关系。学生需要掌握空间几何的基本概念、定理和公式,以及如何利用...
超急人!数学竞赛求助!!
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