请问张量的内积,外积,直积,叉积,张量积,他们之间有什么区别和联系? 能否给些具体运算的例子
小学课本上画杨桃的故事每个人都听过,一个杨桃在不同角度看,就会呈现不同的样子。有些物理量也是一样的,它在不同的角度看就会有不同的数值。比如对于一个矢量,你的基底变化了,矢量的表示也会变化。但是矢量的长度永远不变。
杨桃还是那个杨桃,物理量也还是那个物理量,但是一旦你换了个角度看,杨桃的形状就变了,物理量的数值也就变了。
那么如果一个物理系统没有一个更好的观察方向,或者说我们需要频繁的变换我们的视角的时候,应该怎么把握一个胡乱变化的东西呢?
你要记住,杨桃和物理量本身都是不变的,变的只是它在你眼中的形象。
于是张量就出现了,它将视角变换时候的变换关系作为张量的定义,看似在乱七八糟变,实际上只有满足这样的变换关系,它才是不变的!
很多时候一些人之所以不能理解张量与张量积,就是因为脑子里默默地做了一些等同 (identification), 比如把线性变换和矩阵当做同一个东西,而没有理解抽象的线性变换的概念。实际上不在 source 和 target 中选取一组基的话,一个抽象的线性变换是没有矩阵的。同理很多人不能理解没有选取坐标的一维流形,一想象脑子里就是数轴或者单位圆。忘掉坐标,想象一个抽象的 underlying manifold, 也是一种能力。
??我也有相同的问题,楼主想明白了,请赐教
一、叉积与数量积的区别:
外积≠叉积(向量的积一般指点乘),一定要清晰地区分开外积(叉积)与数量积(标积),
二、叉积(矢积)与数量积(标积)的区别:
1、标积/内积/数量积/点积的运算式(a,b和c粗体字,表示向量):a·b=|a||b|·cosθ,几何意义,向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积。运算结果的区别,标量(常用于物理)/数量(常用于数学)。
2、矢积/外积/向量积/叉积的运算式(a,b和c粗体字,表示向量):a×b=c,其中|c|=|a||b|·sinθ,c的方向遵守右手定则。几何意义,c是垂直a、b所在平面,且以|b|·sinθ为高、|a|为底的平行四边形的面积。运算结果的区别,矢量(常用于物理)/向量(常用于数学)。
三、张量的内积,外积,直积,叉积,张量积各自的含意及运算举例
1、内积
是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。例如:
2、外积
是否两个向量的向量积;或在几何代数中,指有类似势的运算如楔积。这些运算的势是笛卡尔积的势。这个名字与内积相对,它是有相反次序的积。这里写的是外积,但是下面的写的是矢量积。
外积的坐标表示:(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1),例如:
3、直积
在数学中,两个集合X和Y的笛卡尔积(Cartesian product),又称笛卡尔乘积,表示为X × Y,第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。例如:
4、叉积
数学中又称外积、向量积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。例如:
5、张量积(tensor product)
可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。例如:
扩展资料
1、内积
u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下,点积如果为负,则u,v形成的角大于90度;如果为零,那么u,v垂直;如果为正,那么u,v形成的角为锐角。两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值,通过它可以知道两个向量的相似性。
利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物体离光照的轴线越近,光照越强。
2、外积
符号表示:a× b,大小:|a|·|b|·sin<a,b>。方向:右手定则:若坐标系是满足右手定则的,设z=x×y,|z|=|x||y|*sin<x,y>;则x,y,z构成右手系,伸开右手手掌,四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面,则大拇指方向即为z正轴方向。
3、直积
例子,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。A表示所有声母的集合,B表示所有韵母的集合,那么A和B的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。
设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积,记作AxB。
4、叉积
表示方法:两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免和字母x混淆)。几何意义及其运用,叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。
5、张量积
“张量积” 可以扩展到一般范畴。凡是在范畴中多个对象得到一个对象,并满足一定结合规则和交换规则的操作都可以视为 “张量积”,比如集合的笛卡儿积,无交并,拓扑空间的乘积,等等,都可以被称为张量积。带有张量积操作的范畴叫做 “张量范畴”。张量范畴现在被视为量子不变量理论的形式化,从而应该同量子场论,弦论都有深刻的联系。
参考资料来源:百度百科-点积
参考资料来源:百度百科-外积
参考资料来源:百度百科-笛卡尔乘积
参考资料来源:百度百科-向量积
参考资料来源:百度百科-张量积
内积:
请问张量的内积,外积,直积,叉积,张量积,他们之间有什么区别和联系...
三、张量的内积,外积,直积,叉积,张量积各自的含意及运算举例 1、内积 是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。例如:2、外积 是否两个向量的向量积;或在几何代数中,指有类似势的运算如楔积。这些运算的势是笛卡尔积的势。这个名字与内积相对,它...
浅谈张量分解(二):张量分解的数学基础
向量的外积和内积是张量运算的基础,如向量[公式]和[公式]的外积得到一个三维数组,而内积则生成标量。对于高阶张量,如[公式]和[公式]的内积,其结果是一个标量。F-范数,即张量的平方和,是张量分解优化问题中的常用工具,如张量[公式]的F-范数为[公式]。理解高阶张量的展开,或称为矩阵化,是...
浅谈张量分解(四):外积、Kronecker积和张量积
维基百科上对外积的描述是:在线性代数中,外积是两个坐标向量的张量积特殊情况,即矩阵的Kronecker积。然而,这个定义可能会引起两个疑问:首先,虽然Kronecker积通常用来计算矩阵的乘积,但当我们用向量[公式]和[公式]进行外积时,结果是一个大小为[公式]的矩阵,而不是矩阵的乘积。这表明,尽管Kronecker...
...内积:点积、数量积、标量积;外积:叉积、叉乘、向量积、张量积...
外积与内积的区分在于数学性质、结果的维度和应用领域。外积的扩展形式,即张量积,是两个向量的乘法,其结果是一个矩阵,而内积则产生标量。最后,克罗内克积是矩阵乘法的一种特殊形式,用于处理不同大小的矩阵。总结来说,内积和外积是向量运算中两种不同的概念,各有其独特的定义、性质和用途,理解它们...
什么是外积?
外积的计算公式为AxB=i(AyBz-AzBy)+j(AzBx-AxBz)+k(AxBy-AyBx)。外积是线性代数中的一个概念,指的是两个向量的乘积,结果为一矩阵。与内积不同,外积的两个向量得到的是标量。外积也可以看作是矩阵的克罗内克积的一种特例。在一些文献中,外积也被称为张量的外积,将其作为张量积的同义词。
高一地理:什么是角速度和线速度?如何计算(请写出公式,并讲解,谢谢)?
再加上外积的定义,则可以写成::高维空间 一般而言,在高维空间的角速度是一个二阶斜对称的角位移张量对时间的微分。此张量具有 n(n-1)\/2 个独立分量,其中"n(n-1)\/2" 这个数字指的是在n-维内积空间中转动李群之李代数的维度。刚体角速度 主条目:刚体动力学 为了处理刚体运动的问题,最好...
点乘怎么算
运算法则为向量a·向量b=|a||b|cos叉乘,也叫向量的外积、向量积。运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin 1运算法则 点乘 点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。向量a·向量b=|a||b|cos 在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的...
外积的介绍
在线性代数中,外积一般指两个向量的张量积;或在几何代数中,指有类似势的运算如楔积。这些运算的势是笛卡尔积的势。这个名字与内积相对,它是有相反次序的积。*这里写的是外积,但是下面的写的是矢量积。
物理学中有哪些数量积模型
1、点积模型:也称为内积模型,是指两个向量的点积(内积)模型。点积模型用于计算两个向量之间的夹角和向量投影等问题,例如工作、功、能量和功率等。2、叉积模型:也称为外积模型,是指两个向量的叉积(外积)模型。叉积模型用于计算两个向量之间的垂直关系,例如磁场、角动量和力矩等问题。3、张量...
向量的点乘和叉乘有什么区别?
结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。叉乘,也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。点乘和叉乘的区别点乘是向量的内积,叉乘是向量的外积。点乘:点乘的结果是一个实数a·b=|a|·|b|·cos<a,b
葛眉丙酸: 在数学中,张量积(tensor product),记为 ,可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模.在各种情况下这个符号的意义是同样的: 最一般的双线性运算.在某些上下文中也叫做外积.
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