参数方程与普通方程之间怎样互换
[1]首先极坐标是个坐标,不是方程.不能说极坐标是参数方程.曲线的直角坐标方程、极坐标方程及参数方程只是曲线的3种表达方式,可以相互转化.
[2]参数方程转化为曲线方程就是找到x、y之间的关系,消去参数.
对于lz所给题目,可见(x/a)开3次方=cost,(y/a)开3次方=sint.
由cos^2t+sin^2t=1,易得:(x/a)^(2/3)+(y/a)^(2/3)=1
[3]参数方程的参数t和极坐标里的θ没有什么必然关系.
θ是在极坐标系里曲线上一点M与极点O连线 与极轴之间的夹角.而t是为了表示x、y之间的关系而引入的第三个变量即为“参变量”.
可参考以下内容:
(1)先说曲线方程.
一条曲线可以看做由许多点集合而成.因每一点在平面直角坐标系中都有一对坐标 x和y .尽管同一个曲线上各点的坐标x,y不一样,但是每一点的x和y之间的关系却具有共同的规律.这种共同的规律我们可以用一个函数关系式来表示,即为该曲线的曲线方程.例:x^2+y^2=a^2.
(2)曲线的参数方程.
曲线方程是 y跟x之间的“直接”关系.参数方程不一样,除了x、y两个变量外,再引入第三个变量叫做“参变量”,然后分别写出x、y跟这个参变量之间的关系式.
-------以上数据由爱提提高考提供,仅供参考
关键就是设出一个参数,把原来的普通方程中的x,y替换,这是总体思路,但到具体的问题得具体分析,设置这个参数是有技巧的,方法多种多样,不唯一。
例如对于圆的方程:
x^2+y^2=4,设置参数方程为:x=2cosa,y=2sina.
例如椭圆方程,x^2/9+y^2/16=1,设置参数可为:x=3cosa,y=4sinb.
互换公式:
x=pcosθ ;y=psinθ ;cos²θ+sin²θ=1;ρ=x²+y²;ρcosθ=x;ρsinθ=y
拓展知识:
参数方程和函数很相似:它们都是由一些在指定的集的数,称为参数或自变量,以决定因变量的结果。例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数:
并且对于t的每一个允许的取值,由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。
方程(equation)是指含有未知数的等式。是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。
通过方程求解可以免去逆向思考的不易,直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等,还可组成方程组求解多个未知数。
参考资料:
参数方程_百度百科
方程_百度百科
利用cos²θ+sin²θ=1,根据椭圆参数方程有:x/a=cosθ y/b=sinθ 代入上式很容易就变成了一般方程(x/a)²+(y/b)²=1。
另外,几个公式非常重要:ρ=x²+y²,ρcosθ=x,ρsinθ=y。
以下是几个常见的参数方程:
过(h, k),斜率为m的直线:
圆:
椭圆:
双曲线:
抛物线:
螺线:
摆线:
注:上文中的a, b, c, h, k, l, m, p, r为已知数,t都为参数, x, y为变量。
拓展资料:
应用
在柯西中值定理的证明中,也运用到了参数方程。
柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)满足:
⑴在闭区间[a,b]上连续;
⑵在开区间(a,b)内可导;
⑶对任一x∈(a,b),F'(x)≠0。
那么在(a,b)内至少有一点ζ,使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式,还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积,推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。
譬如一个圆柱:
r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]=[acos(u),asin(u),v]
参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时,它的位置必然与时间有关系,也就是说,质的坐标x,y与时间t之间有函数关系x=f(t),y=g(t),这两个函数式中的变量t,相对于表示质点的几何位置的变量x,y来说,就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量,被抽象到数学中,就成了参数。我们所学的参数方程中的参数,其任务在于沟通变量x,y及一些常量之间的联系,为研究曲线的形状和性质提供方便。
用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解。
根据方程画出曲线十分费时;而利用参数方程把两个变量x,y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难。
参考资料:参数方程-百度百科
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般的,可以通过消去参数从而参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个于参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数于参数的关系y=f(t),那么x=f(t),y=g(t)就是曲线的参数方程。
极坐标与直角坐标的互化:
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M
是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),从下图可以得出它们之间的关系:
x=pcosθ,y=sinθ,从而可以得到:p^2=x^2+y^2,tanθ=y/x(x≠0)(这就是极坐标与直角坐标的互化公式),此公式可以运用到参数方程与普通方程之间的互化。
扩展资料:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数x=f(t),y=g(t),并且对于t的每一个允许值,由方程组x=f(t),y=f(t)所确定的点M(x,y)都在这条直线上,那么方程x=f(t),y=f(t)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
参数是联系变数x,y的桥梁。可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数。
例2中,由点M的参数方程直接判断点M的轨迹的曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程,即由参数方程得cosθ=x-3,sinθ=y,于是(x-3)^2+y^2=1,这就容易得出点M的轨迹就是圆心在(3,0),半径为1的圆。
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致。
利用cos²θ+sin²θ=1,根据椭圆参数方程有: x/a=cosθ y/b=sinθ 代入上式很容易就变成了一般方程。(x/a)²+(y/b)²=1
另外,几个公式非常重要:
ρ=x²+y²,ρcosθ=x,ρsinθ=y
分数方程与普通方程之间怎样互转?单注方程普通方程这是一个两个方程之间的互换问题
参数方程和普通方程互化的公式有哪些?
参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式:1.cos²θ+sin²θ=1 2.ρ=x²+y²3.ρcosθ=x 4.ρsinθ=y 其他公式:曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0,2π) ) (a,b) 为圆心坐标,r 为...
参数方程与普通方程之间怎样互换
互换公式:x=pcosθ ;y=psinθ ;cos²θ+sin²θ=1;ρ=x²+y²;ρcosθ=x;ρsinθ=y 拓展知识:参数方程和函数很相似:它们都是由一些在指定的集的数,称为参数或自变量,以决定因变量的结果。例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。...
参数方程和普通方程是什么关系?
直角坐标方程是一个曲线方程在直角坐标下的形式f(x,y)=0,对应的有极坐标形式。参数方程是在曲线方程中引入参数来表示,如x=rcosa,y=rsina;引入参数a来表示x,y。普通方程如果你指的是圆锥曲线就是最一般广义的形式Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0;标准方程是指一些曲线如圆,椭圆,对称中心在...
参数方程和普通方程有什么关系呢?
参数方程与普通方程的互化如下 将“参数方程”化为“普通方程”的过程本质上是“消参”,常见方法有三种:1、代入消参法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数;2、三角消参法:利用三角恒等式消去参数;3、整体消参法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去参数.特别强调的是:“消参”仅仅...
用参数方程描述运动规律时为什么比用普通方程简单?
根据方程画出曲线十分费时;而利用参数方程把两个变量x,y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难。将俩图形的方程联立,圆和心形线公共部分的图形的面积,可以求出来交点是(3\/2,π\/3)(3\/2,-π\/3)。所求的面积也就等于心形线在(-π\/3,π\/3)的定积分加上2倍的圆...
普通方程是什么样的
普通方程其实就是指直角坐标方程。相对于参数方程直角坐标方程就是普通方程。相对于极坐标方程普通方程就直角坐标方程。只是在不同的场合的不同叫法。直角坐标与极坐标的区别:直角坐标是利用该点到各个坐标轴的距离及位置关系来确定坐标的,而极坐标是用该点到定点(称作极点)的距离及该点和极点的连线与过极点的射线(...
参数方程公式
参数方程的一般公式为:x=f(t)y=g(t)其中,x和y是变量,t是参数,f(t)和g(t)是t的函数。参数方程通过引入参数t来描述曲线或曲面的形状,其中x和y是曲线或曲面上的点的坐标。参数方程与普通方程不同,它们不是直接表示变量x和y之间的关系,而是通过参数t来间接表示。参数方程可以用于表示各种各...
数学:如何转为普通方程和极坐标方程??
-3]=(y^2-x^2)\/[-5\/6-(2\/3)(x^2+y^2)]=6(x^2-y^2)\/(4x^2+4y^2+5),② y=(3\/2)[2cos^(t\/2)-1]-[4[cos(t\/2)^3-3cos(t\/2)],把②代入上式,即消去t,得到普通方程。把x=rcosθ,y=rsinθ代入普通方程,就得极坐标方程。计算从略。可以吗?
普通方程怎么转化为参数方程?
当我们需要将一个普通的方程,如圆的标准方程x²+y²=4x,转换为参数方程时,通常通过配方和三角函数来实现。首先,对圆的方程进行变形,例如(x-2)²+(y-0)²=2²,然后引入参数t,将x-2和y-0表示为余弦和正弦函数的乘积,得到参数方程:x=2+2cost,y=2sint,...
函数普通方程 极坐标方程 直角方程形式分别是什么 举个例子 谢了_百度...
普通方程是相对于参数方程而言的,其实就是直角坐标方程,如 x-y-1=0,参数方程是{x=2+t,y=1+t,t 是参数。(注:参数方程可以有多个)利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及 ρ²=x²+y²,tanθ=y\/x,曲线的极坐标方程与直角坐标方程可以互化,如圆 x²+y...
郎馨博尔: 参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式:1.cos²θ+sin²θ=12.ρ=x²+y²3.ρcosθ=x4.ρsinθ=y其他公式:曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t).圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0,2π) ) (a,b) 为圆心坐标,r 为圆半径,θ ...
离石区15293658880: 参数方程化普通方程方法 - ?
郎馨博尔:[答案] 一般情况下,从曲线的参数方程中小区参数就可以得到曲线的普通方程;也可以选择一个参数,将普通方程化成参数方程. 下面是几个特殊的互化公式:(凡是跟在x,y,t,a,b后面的2都是平方的意思) 1.椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的参数方程是x=acosφ,...
离石区15293658880: 普通方程怎么转化为参数方程? - ?
郎馨博尔: (1)写个例题就明白了,设方程组: 表示平面截圆所成曲线,如图: 曲线上的点A在xoy面上,移动到B点,角度由0变为t,根据三角函数,有√(y^2+x^2)=3cost,z=3sint(A点和B点到圆心的距离都是3) 因为y=x,解以上三个公式,得参数方程...
离石区15293658880: 参数方程与普通方程的互化,请看补充 - ?
郎馨博尔:[答案] 这代入进去分明不对嘛 一般这样来求参数方程: 记a=2p 配方得:(x-p)^2+y^2=p^2 得x=p+pcost y=psint
离石区15293658880: 参数方程与普通方程如何转化?主要是普通转参数.急 - ?
郎馨博尔:[答案] 关键就是设出一个参数,把原来的普通方程中的x,y替换,这是总体思路,但到具体的问题得具体分析,设置这个参数是有技巧的,方法多种多样,不唯一. 例如对于圆的方程: x^2+y^2=4,设置参数方程为:x=2cosa,y=2sina. 例如椭圆方程,x^2/9+y^...
离石区15293658880: 问一下有关参数方程和普通方程的互化公式?我想知道这个公式, - ?
郎馨博尔:[答案] 一般情况下,从曲线的参数方程中小区参数就可以得到曲线的普通方程;也可以选择一个参数,将普通方程化成参数方程. 下面是几个特殊的互化公式:(凡是跟在x,y,t,a,b后面的2都是平方的意思) 1.椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的参数方程是x=acosφ,...
离石区15293658880: 参数方程与普通方程的互化问题 - ?
郎馨博尔: (1) y=cos2φ=1-2(sinφ)^2=1-2x^2(2) x=(2-3t)/(1+t)=(5-3(1+t))/(1+t)=(5/(1+t))-3y=(1+4t)/(1+t)=(4(1+t)-3)/(1+t)=4-(3/(1+t))3x+5y=11(3) x=(k+1)/(k+2)=1-(1/(k+2))y=(2k+1)/(k+2)=2-(3/(k+2))3x-y=1(4) x=3t/(1+t^2)=(3t^2/(1+t^2))/t=y/tt=y/x, 代入x=3t/(1...
离石区15293658880: 普通方程如何转化参数方程比如 - ?
郎馨博尔:[答案] 通常用到一定的解方程技巧 方程化为a+b=√(ab)*ab 先设ab=t^2, 代入上式得: a+b=t^3 因此a,b是方程y^2-t^3y+t^2=0的两个根 解得a,b=[t^3±t√(t^4-4)]/2 这就可以当作是参数方程
离石区15293658880: 曲线的一般方程和参数方程怎么转化的啊?可不可以多给几个方法? - ?
郎馨博尔:[答案] 得举个例子,如圆,一般方程(x-1)*2+(y-3)*2=9,参数方程x=3cos@+1,y=3sin@+3,因为cos@*2+sin@*2=1利用这个,一般方程和参数方程就可以相互转化, 关键是抓住转化的函数关系.
离石区15293658880: 参数方程与普通方程的互化问题1、将参数方程 x=sinφ,(φ为参数)化为普通方程{y=cos2φ2、将参数方程x=(2 - 3t)/(1+t),(t为参数)化为普通方程,它表示的图形是:... - ?
郎馨博尔:[答案] (1) y=cos2φ=1-2(sinφ)^2=1-2x^2 (2) x=(2-3t)/(1+t)=(5-3(1+t))/(1+t)=(5/(1+t))-3 y=(1+4t)/(1+t)=(4(1+t)-3)/(1+t)=4-(3/(1+t)) 3x+5y=11 (3) x=(k+1)/(k+2)=1-(1/(k+2)) y=(2k+1)/(k+2)=2-(3/(k+2)) 3x-y=1 (4) x=3t/(1+t^2)=(3t^2/(1+t^2))/t=y/t t=y/x,代入x=3t/(1+t^2),...