递归算法和非递归算法在分析时间复杂度和空间复杂度上为什么不同

对照递归算法和非递归算法的优缺点。~

缠论之门：走势的递归和非递归结构对比，你看到差异了吗

可以说，有。
对于某个程序，对他进行时间上的优化，可以想到用数组记录关键字，分治等方法。。。很多都是要用更多空间，甚至说当算法在基础空间下采用了最佳算法时，只有通过以空间换时间的方法优化。
尤其是DP，对于不懂降维、滚动的新手来说，乱开内存导致爆cena的现象时有出现，曾经出现过开了2500MB+的。。。。。。但现在无论DEV C++还是FP或其它的什么都有极大的内存配置，考试时一般也允许开到128MB。所以放心开吧。

在算法分析中，当一个算法中包含递归调用时，其时间复杂度的分析会转化为一个递归方程求解。实际上，这个问题是数学上求解渐近阶的问题，而递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常用的有以下四种方法：
(1)代入法(Substitution Method)

代入法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法来验证该解是否合理。

(2)迭代法(Iteration Method)

迭代法的基本步骤是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计。

(3)套用公式法(Master Method)

这个方法针对形如“T(n) = aT(n/b) + f(n)”的递归方程。这种递归方程是分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子问题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子间题的解的综合，得到原问题的解。

(4)差分方程法(Difference Formula Method)
可以将某些递归方程看成差分方程，通过解差分方程的方法来解递归方程，然后对解作出渐近阶估计。

下面就以上方法给出一些例子说明。

一、代入法

大整数乘法计算时间的递归方程为：T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中T(1) = O(1)，我们猜测一个解T(n) = O(n2 )，根据符号O的定义，对n>n0，有T(n) < cn2 - eO(2n)（注意，这里减去O(2n)，因其是低阶项，不会影响到n足够大时的渐近性），把这个解代入递归方程，得到：

T(n) = 4T(n/2) + O(n)
≤ 4c(n/2)2 - eO(2n/2)) + O(n)
= cn2 - eO(n) + O(n)
≤ cn2

其中，c为正常数，e取1，上式符合 T(n)≤cn2 的定义，则可认为O(n2 )是T(n)的一个解，再用数学归纳法加以证明。

二、迭代法
某算法的计算时间为：T(n) = 3T(n/4) + O(n)，其中T(1) = O(1)，迭代两次可将右端展开为：

T(n) = 3T(n/4) + O(n)
= O(n) + 3( O(n/4) + 3T(n/42 ) )
= O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + 3T(n/43 ) ) )

从上式可以看出，这是一个递归方程，我们可以写出迭代i次后的方程：

T(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + ... + 3( n/4i + 3T(n/4i+1 ) ) ) )

当n/4i+1 =1时，T(n/4i+1 )=1，则

T(n) = n + (3/4) + (32 /42 )n + ... + (3i /4i )n + (3i+1 )T(1)
< 4n + 3i+1

而由n/4i+1 =1可知，i<log4 n，从而

3i+1 ≤ 3log4 n+1 = 3log3 n*log4 3 +1 = 3nlog4 3

代入得：

T(n) < 4n + 3nlog4 3，即T(n) = O(n)。

三、套用公式法

这个方法为估计形如：
T(n) = aT(n/b) + f(n)
其中，a≥1和b≥1，均为常数，f(n)是一个确定的正函数。在f(n)的三类情况下，我们有T(n)的渐近估计式：
1.若对于某常数ε>0，有f(n) = O(nlogb a-ε )，则T(n) = O(nlogb a )

2.若f(n) = O(nlogb a )，则T(n) = O(nlogb a *logn)

3.若f(n) = O(nlogb a+ε )，且对于某常数c>1和所有充分大的正整数n，有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=O(f(n))。

设T(n) = 4T(n/2) + n，则a = 4，b = 2，f(n) = n，计算得出nlogb a = nlog2 4 = n2 ，而f(n) = n = O(n2-ε )，此时ε= 1，根据第1种情况，我们得到T(n) = O(n2 )。

这里涉及的三类情况，都是拿f(n)与nlogb a 作比较，而递归方程解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。在第一类情况下，函数nlogb a 较大，则T(n)=O(nlogb a )；在第三类情况下，函数f(n)较大，则T(n)=O(f (n))；在第二类情况下，两个函数一样大，则T(n)=O(nlogb a *logn)，即以n的对数作为因子乘上f(n)与T(n)的同阶。

但上述三类情况并没有覆盖所有可能的f(n)。在第一类情况和第二类情况之间有一个间隙：f(n)小于但不是多项式地小于nlogb a ，第二类与第三类之间也存在这种情况，此时公式法不适用。

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征宗贝他： 第一种:直接一个for循环将n个x相乘,时间复杂度明显是O(x) 第二种:利用递归(其实不是递归也行的),举例2^9,那个变成2^4 * 2^5,2^4变成2^2 * 2^2,此时2^2只需算一次,即是求x^n,若n是奇数,则x^(n/2) * x^((n+1)/2),若是偶数,则t=x^(n/2),t*t,并且可通过备忘录方法,即定义一个数组,每计一次,把其存进数组,如2^2=4,那么array[2]=4,因为array[2]可能会出现多次,所以使用递归前先看一看该数组位是否为0,是则正常递归,不是则直接用那个数据不用递归了.时间复杂度是O(logn)

武陟县18434869169： 在计算1个算法的时间复杂度时,如何解递归方程? - ？
征宗贝他： 如果递归表达式符合 T(n) = aT(n/b)+f(n)的形式,则可以首先尝试应用主定理. 如果不可以的话就画递归树,各层求和累加,得到T(n)的表达式.

武陟县18434869169： c++关于递归与非递归 - ？
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武陟县18434869169： 递归算法的特性？
征宗贝他： 递归算法两个特性1.递归算法是一种分而治之,把复杂问题分解为简单问题的求解问题方法,对求解某些复杂问题,递归算法的分析方法是有效地.2递归算法的时间效率低