空间向量基本定理

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空间向量基本定理是研究空间向量关系的重要理论基础。其中包含共线向量定理、共面向量定理以及空间向量分解定理。

共线向量定理指出：在空间中，若两个非零向量a和b共线，即存在唯一的实数λ，使得a=λb。这表明共线向量之间存在特定的比例关系，这一关系仅由实数λ确定。

共面向量定理则扩展了共线关系的概念。若两个向量a和b不共线，那么与它们共面的向量c可以通过一组实数x和y的线性组合表示，即c=ax+by。这一定理说明，非共线向量能够定义一个二维平面，所有在这个平面上的向量都可由它们线性组合得到。

空间向量分解定理进一步揭示了向量在空间中的表示方式。如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间中的任意一个向量p，都存在一组唯一的实数组x、y、z，使得p可以表示为xa+yb+zc的线性组合。这一定理强调了三个不共面的向量可以构成空间的基底，它们能够表示空间中所有向量，且表示方式是唯一的。

综上所述，空间向量基本定理提供了研究空间向量关系的理论框架，通过共线向量定理、共面向量定理以及空间向量分解定理，我们可以深入理解向量之间的关系，以及如何利用向量表示和操作空间中的几何对象。

扩展资料

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．

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江津区17026987914： 空间向量的基本定理 数学 - ？
漳杰牛黄： 空间向量基本定理:如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 . 我们把 称为空间的一个基底, 叫做基向量. 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底,特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,则称这个基底为单位正交基底.

江津区17026987914： 数学选修2 - 1空间向量的基本定理证明(最好画图 - ？
漳杰牛黄：[答案] 已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,则点P位于平面ABC内的充要条件是:存在x.y.z∈R,满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC.证明:(充分性)∵x+y+z=1∴ z=1-x-y又∵OP=xOA+yOB+zOC ∴ OP =xOA+yOB+(1-x-y)OCOP=x(OA-...

江津区17026987914： 空间向量基本定理已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,满足OP=xOA+yOB+zOC(x.y.z∈R),则“点P位于平面ABC内”的充要条件是“x+y+z=1”.请给... - ？
漳杰牛黄：[答案] 该问题对空间向量的基本定理的表述不够准确,建议修改如下: 已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,则点P位于平面ABC内的充要条件是:存在x.y.z∈R,满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC. 证明:(充分性) ∵x+y+z=1 ∴ z=1-x-y 又∵OP=...

江津区17026987914： 关于高中数学空间向量的几个问题①空间向量共面定理和平面向量基本定理有什么区别? - ？
漳杰牛黄：[答案] 平面向量基本定理是任一向量都可以由两个不共线的向量线性表出;空间向量共面定理是任意向量都可以经平移使其在同一个平面上!

江津区17026987914： 空间向量定理证明如何证明向量a=λ1向量e1+λ2向量e2+λ3向量e3的λ1 λ2 λ3是唯一的?e1 e2 e3是单位向量 - ？
漳杰牛黄：[答案] 证明:设a=me1+ne2+he3,则a=(m,0,0)+(0,n,0)+(0,0,h)=(m,n,h) 因为a=λ1向量e1+λ2向量e2+λ3向量e3=(λ1,λ2,λ3) 所以m=λ1,n=λ2,h=λ3 所以:λ1 λ2 λ3是唯一的.

江津区17026987914： 已知a,b,c是空间的一个基底,且实数x,y,z使xa+yb+zc=0,则x2+y2+z2=______. - ？
漳杰牛黄：[答案] ∵ a, b, c是空间的一个基底 ∴ a, b, c两两不共线 ∵x a+y b+z c= 0

江津区17026987914： 空间向量基本定理的疑惑 - ？
漳杰牛黄： 注意他说的唯一是指什么,这里的唯一是指有序数组x,y,z是唯一的,而三个向量a,b,c是事先给定的.在取定空间三个向量a,b,c(不共面)后,空间里任意向量p都可以表示为a,b,c的线性组合,即p=xa+yb+zc,而且x,y,z是唯一确定的,即不存在另外的一组x',y',z',使得p=xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c 你说的0向量只能表示为0=0a+0b+0c,不存在另外的表示法.

江津区17026987914： 向量的基本定理1、于向量a=(1,2)平行的所有单位向量是________,垂直的所有单位向量是_______.2、已知|a|=|b|=|a+b|=1,则|a - b|=________. - ？
漳杰牛黄：[答案] 1.平行的所有单位向量是(1k+2k),垂直的所有单位向量是(x,y) k²+4k²=1²===>k=±√5/5===>(√5/5,2√5/5),(-√5/5,-2√5/5) x+2y=0,x²+y²=1²===>x=±2√5/5,y=±√5/5 (x,y)===>(2√5/5,-√5/5),(-2√5/5,√5/5) 2.∵|a|=|b|=|a+b|=1,∴|a|与|a+b|,...

江津区17026987914： (B题)下列说法中正确的是() - ？
漳杰牛黄：[选项] A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等

江津区17026987914： 归纳空间向量解几乎问题 - ？
漳杰牛黄： 空间向量基本定理1共线向量定理 两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a//b的充要条件是存在唯一的实数x,使a=xb 2共面向量定理 如果两个向量a,b向量不共线则向量c与向量a,b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by ...