微分方程的特解怎么求
1、第七题,是二重积分,不是微分方程的特解问题。2.第七题,积分查拆开成两个积分,第一个积分用对称性,第二个积分用轮换对称性,然后,用极坐标系计算。具体的求第七题的步骤见上。3,第四题, 微分方程的特解算的方法,是将非齐次项拆开成两项,分别用微分方程的结论可得特解形式,然后相加,即得原微分方程的特解形式。具体的微分方程的特解形式,应该选B
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步:求特征根
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²)
第二步:通解
1、若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步:特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
第四步:解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1,C2是任意常数。
拓展资料:
微分方程
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程,其解是常数值。
高数常用微分表
唯一性
存在定一微 分程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
微分方程的特解求法如下:
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
微分方程的特解步骤如下:
一个二阶常系数非齐次线性微分方程,首先判断出是什么类型的。
然后写出与所给方程对应的齐次方程。
接着写出它的特征方程。由于这里λ=0不是特征方程的根,所以可以设出特解。
把特解代入所给方程,比较两端x同次幂的系数。
举例如下:
扩展资料:
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步:求特征根
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²)
第二步:通解
1、若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步:特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
第四步:解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1,C2是任意常数。
拓展资料:
微分方程
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程,其解是常数值。
高数常用微分表
唯一性
存在定一微 分程及约束条件,判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下,是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题,皮亚诺存在性定理可判别解的存在性,柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步:求特征根
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²)
第二步:通解
1、若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步:特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根,y*=Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根,y*=x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
第四步:解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来代回原方程,对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1,C2是任意常数。
二阶常系数线性微分方程的特解该怎么设
较常用的几个:1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连...
非齐次微分方程的特解怎么求
非齐次微分方程的特解:求非齐次微分方程特解的通解公式为y=C1e^(k1x)+C2e^(k2x),其中C1,C2为任意常数。非齐次方程就是除了次数为0的项以外,其他项次数都大于等于1的方程。第一步:求特征根 令ar+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)=-β)。第二部:通解 1、若...
求微分方程满足条件的特解?
这道微分方程,属于一阶线性微分方程。代一阶线性微分方程的通解公式,可以得到微分方程的通解。再将初值条件代入通解中,求出C后,可得微分方程的特解。求微分方程满足条件的特解,过程见图。
二阶常系数线性微分方程怎么求解特解?
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二阶微分方程怎么求特解
当为多项式的时候可以根据公式直接来设出特解而且这个是有固定的公式,然后根据取值把特解求出来再加上通解就可以了。一、常用的几个:1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax ...
微分方程的特解怎么算
1、第七题,是二重积分,不是微分方程的特解问题。2.第七题,积分查拆开成两个积分,第一个积分用对称性,第二个积分用轮换对称性,然后,用极坐标系计算。具体的求第七题的步骤见上。3,第四题, 微分方程的特解算的方法,是将非齐次项拆开成两项,分别用微分方程的结论可得特解形式,然后相加...
求该微分方程的特解
求微分方程 y'-(y\/x)=xcosx满足初始条件y(-π\/2)=-π\/2的特解 解:令y\/x=u,则y=ux...①,于是y'=u+u'x;代入原式得:u+u'x-u=xcosx 化简得u'x=xcosx,∵x≠0,∴可消去x得 u'=cosx;即 du=cosxdx;两边取积分得u=sinx+c.代入①即得通解:y=x(sinx+c);,代入初...
微分方程的特解怎么求
望采纳。
怎么求二阶微分方程特解
解:若微分方程为二阶常系数非齐次线性微分方程,则可以根据方程右式的具体形式,来设特解,特解的形式和方程右式的形式一样。若微分方程为二阶常系数齐次微分方程,则先设特征值,求出特征根,微分方程的特解就是两个特征根的线性组合。若微分方程为二阶非常系数线性微分方程,只能根据微分方程的具体...
怎样求一阶线性齐次微分方程的特解?
一阶线性齐次微分方程的两个特解,求通解的方法:其导数项为多项式形式,系数为常数,其解空间是线性空间,线性空间的特点是满足可加性和齐次性,就是叠加原理。因此y1=e^(2x),y2=2e^(-x)-3e^(2x)的任何线性组合a1y1+a2y2都是原方程的解,其中a1,a2是常数。注意事项:2021年10月8日,为...
柏砌肾康:[答案] 比如y''+y=0,通解为y=C1*cosx+C2*sinx,其中C1、C2为任意积分常数,故 当取C1=1,C2=0时,有y=cosx,代入可知,y=cosx是原方程的一个特解. 事实上,你可以检验,y=0,y=sinx,y=sin(x+1),y=3cos(x+2)等等都是方程的特解.
道外区13015811527: 微分方程这个特解是怎么求出来的 - ?
柏砌肾康: 求特解常用的方法是变系数法.将齐次方程通解的常数,也看成自变量的函数,求导,代入原方程,解出这个由常数变成的函数,就可以得到特解.
道外区13015811527: 知道一阶微分方程的通解如何求特解 - ?
柏砌肾康:[答案] 先设特解,根据等号右边的式子设出特解的形式,然后代入解就可以了. 做题时常见的几种是: 右边是ccosx或csinx型,设特解为y=acosx+bsinx 右边是ce^x型,设特解为y=ae^x 右边是xe^x型,设特解为y=x(ax+b)e^x
道外区13015811527: 微分方程满足初始条件的特解怎么求 - ?
柏砌肾康:[答案] 分离变量: dy/(y-3)=-dx/x 积分:ln|y-3|=-ln|x|+C1 即y-3=C/x 代入y(1)=0,得:-3=C 因此特解为y=3-3/x
道外区13015811527: 求微分方程的特解> - ?
柏砌肾康:[答案] 设y'=p,则y''=dp/dy*dy/dx=pdp/dy2y*pdp/dy=1+p^22pdp/(1+p^2)=dy/yln(1+p^2)=ln|y|+C1得1+p^2=Cy因为y=1,y'=-1所以C=2故y'=-√(2y-1)《想一想,为什么这里要带负号》dy/√(2y-1)=-dx√(2y-1)=-x+C'因为x=1,y=1所以C'...
道外区13015811527: 求微分方程的特解 y' - y=cosx x=0,y=0 要过程.... - ?
柏砌肾康: 设特解y=asinx+bcosx y'=acosx-bsinx y'-y=(acosx-bsinx)-(asinx+bcosx)=(-a-b)sinx+(a-b)cosx=cosx 比较对应项系数,得-a-b=0,a-b=1 解得a=1/2,b=-1/2 所以特解y=(1/2)*sinx-(1/2)*cosx
道外区13015811527: 求微分方程的特解,求详细,求文字说明,非常感谢! - ?
柏砌肾康: y'=e²ˣ⁻ʸ eʸdy=e²ˣdx 等式两边同时积分 eʸ=½e²ˣ+C y=ln(½e²ˣ+C) x=0,y=0代入,得ln(½e⁰+C)=0 C+½=1 C=½ y=ln[½(e²ˣ+1)]=ln(e²ˣ+1) -ln2
道外区13015811527: 如何求解下面的微分方程的特解y' - y=2cos2x,y(0)=0给出具体积分过程 - ?
柏砌肾康:[答案] 先解 y'-y=0 得 y=C e^x 设 y'-y=2cos2x 的一个特解为 y1= a cos2x +bsin2x 代入方程: -2a sin2x +2b cos2x - acos2x - b sin2x =2cos2x 2a+b =0 ,2b-a =2 a= - 2/5 b= 4/5 y=Ce^x -(2/5) cos2x + (4/5)sin2x y(0)=0 => C=2/5 y=(2/5)e^x -(2/5) cos2x + (4/5)sin2x
道外区13015811527: 如何求这个微分方程的特解??
柏砌肾康: /* 先求对应的齐次线性微分方程的通解: y''-3y'+2y=0,对应的特征方程是λ²-3λ+2=0,所以λ1=1,λ2=2 所以通解是x=c1e^t+c2e^2t,c1和c2是任意常数 */ 再求非其次线性微分方程的一个特解: 因为等式右边是3e^2x,所以对应的λ=2,是对应特征方程的单根,所以特解形式是x=Ate^2t 把特解带入原方程得A=1/3 故特解是x=(te^2t)/3
道外区13015811527: 微分方程满足初始条件的特解怎么求 - ?
柏砌肾康: 先求出通解,之后把初始条件代入通解中,求出任意常数的值,把这个值替换到通解中的任意常数处,就得到特解了.