在正方形ABCD中,∠DEA=15°,ED=EC,求证:△DEC为等边三角形.

正方形ABCD，∠DEA=15º，求证△DEC为等边三角形~

证明：不妨连接AC
令∠CDE=θ
由条件可以知道:
(1):∠ADE=90°+θ
(2):∠DCE=θ
(3):∠ACE=45°+θ
(4):∠DAE=180°-(90°+θ)-15°=75°-θ
(5):∠CAE=45°-∠DAE=θ-30°

在△ADE中：
利用正弦定理有：
AD/sin∠AED=AE/sin∠ADE=DE/sin∠DAE....（i）

在△ACE中：
利用正弦定理有：
AC/sin∠AEC=AE/sin∠ACE=CE/sin∠CAE....（ii）
∵DE=CE

结合(i)与(ii)有：

AEsin∠DAE/sin∠ADE=DE=EC=AEsin∠CAE/sin∠ACE.....(iii)
再结合(1);(3);(4)
所以：(iii)可以整理为:
sin(75°-θ)/sin(90°+θ)=sin(θ-30°)/sin(45°+θ)

继续整理有:
sin(75°-θ)/cosθ
=sin(θ-30°)/sin(45°+θ)

∴sin(θ-30°)cosθ
=sin(45°+θ)sin(75°-θ)
=sin(45°+θ)cos(15°+θ)

∴0.5*[sin(2θ-30°)+sin(-30°)]
=sin(θ-30°)cosθ

=sin(45°+θ)cos(15°+θ)
=0.5*[sin(60°+2θ)+sin(30°)]

∴sin(2θ-30°)+sin(-30°)=sin(60°+2θ)+sin(30°)

∴sin(2θ-30°)-sin(60°+2θ)=1

∴2cos(2θ+15°)sin(-45°)=1

∴cos(2θ+15°)=-√2/2=cos(135°)

又∵(4);(5)
∴知θ在30°~75°之间
∴2θ+15°在75°~165°之间；
根据三角函数余弦函数的性质可知：
∴2θ+15°=135°
∴θ=60°
故∠CDE=∠DCE=60°
∴最后得到△CDE为等边三角形

证毕！

过点D作DF垂直AE并与AE的延长线交于F,过点B作BG垂直AG于G
所以角AFD=角DFE=90度
角AGB=角EGB=90度
因为角DAE=角ADE=15度
所以AE=DE
因为角DEF=角DAE+角ADE
所以角DEF=30度
在直角三角形DFE中,角DFE=90度
所以DF=1/2DE
所以DF=1/2AE
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD=BC
角BAD=角ABC=90度
因为角ABD=角BAG+角DAE
所以角BAG=75度
因为角BAG+角ABG+角AGB=180度
所以角ABG=15度
所以角ABG=角DAE=15度
角AGB=角AFD=90度
所以三角形ABG和三角形DAF全等（AAS)
所以AG=DF
所以AG=1/2AE
因为AE=AG+GE
所以AG=GE
角AGB=角EGB=90度
因为BG=BG
所以三角形ABG和三角形EBG全等（SAS)
所以AB=BE
角ABG=角EBG=15度
所以BE=BC
所以三角形CBE是等腰三角形
因为角ABG+角EBG+角CBE=角ABC=90度
所以角CBE=60度
所以三角形CBE是等边三角形

证明：不妨连接AC
令∠CDE=θ
由条件可以知道:
(1):∠ADE=90°+θ
(2):∠DCE=θ
(3):∠ACE=45°+θ
(4):∠DAE=180°-(90°+θ)-15°=75°-θ
(5):∠CAE=45°-∠DAE=θ-30°

在△ADE中：
利用正弦定理有：
AD/sin∠AED=AE/sin∠ADE=DE/sin∠DAE....（i）

在△ACE中：
利用正弦定理有：
AC/sin∠AEC=AE/sin∠ACE=CE/sin∠CAE....（ii）
∵DE=CE

结合(i)与(ii)有：

AEsin∠DAE/sin∠ADE=DE=EC=AEsin∠CAE/sin∠ACE.....(iii)
再结合(1);(3);(4)
所以：(iii)可以整理为:
sin(75°-θ)/sin(90°+θ)=sin(θ-30°)/sin(45°+θ)

继续整理有:
sin(75°-θ)/cosθ
=sin(θ-30°)/sin(45°+θ)

∴sin(θ-30°)cosθ
=sin(45°+θ)sin(75°-θ)
=sin(45°+θ)cos(15°+θ)

∴0.5*[sin(2θ-30°)+sin(-30°)]
=sin(θ-30°)cosθ

=sin(45°+θ)cos(15°+θ)
=0.5*[sin(60°+2θ)+sin(30°)]

∴sin(2θ-30°)+sin(-30°)=sin(60°+2θ)+sin(30°)

∴sin(2θ-30°)-sin(60°+2θ)=1

∴2cos(2θ+15°)sin(-45°)=1

∴cos(2θ+15°)=-√2/2=cos(135°)

又∵(4);(5)
∴知θ在30°~75°之间
∴2θ+15°在75°~165°之间；
根据三角函数余弦函数的性质可知：
∴2θ+15°=135°
∴θ=60°
故∠CDE=∠DCE=60°
∴最后得到△CDE为等边三角形

证毕！

---

肃宁县15345869586： 在正方形ABCD中,∠DEA=15°,ED=EC,求证:△DEC为等边三角形. - ？
任单乳腺： 证明:不妨连接AC 令∠CDE=θ 由条件可以知道:(1):∠ADE=90°+θ(2):∠DCE=θ(3):∠ACE=45°+θ(4):∠DAE=180°-(90°+θ)-15°=75°-θ(5):∠CAE=45°-∠DAE=θ-30° 在△ADE中:利用正弦定理有:AD/sin∠AED=AE/sin∠ADE=DE/sin∠...

肃宁县15345869586： 已知如图,在正方形ABCD中,△BCE是等边三角形,求证:∠EAD=∠EDA=15° - ？
任单乳腺： AB=BC,又△BCE是等边三角形,则AB=BE 三角形ABE是等腰三角形 ∠ABE=90-60=30° ∠EAB=(180-30)/2=75° ∠EAD=90-75=15° 同理∠EDA=15°

肃宁县15345869586： 、已知:如图所示,在正方形ABCD中,∠EAD=∠EDA=15°,试说明:ΔBEC是等边三角形. - ？
任单乳腺： 证明: 以AD为边向正方形外作正三角形ADF,连接EF 因为∠EDA=15°,∠ADC=90°,∠ADF=60° 所以∠CDE=∠FDE=75° 同理∠EAF=75 因为DC=DA,DA=DF 所以CE=EF 又因为DE=DE 所以△DCE≌△DFE(SDS) 所以CE=EF 因为DF=AF,∠EDF=∠EAF,EF=EF 所以△DFE≌△AFE 所以∠DFE=∠AFE=30° 所以∠FED=75° 所以∠FDE=∠FED=75° 所以EF=DF 所以CE=DC 同理BE=AB 因为DC=BC=AB 所以CE=BE=BC 所以△BCE是等边三角形 江苏吴云超祝你学习进步

肃宁县15345869586： 如图,正方形ABCD中,△DCE是等边三角形,AC、BD交于点O,AE、BD交于点F - ？
任单乳腺： 解 由正方形ABCD和等边三角形DCE可得: ∠ADE=150º ∠ DAE=∠DEA=15º ∴∠FAO=45º-15º=30º ∴ AF=2OF=2 ∴ OA=√3 由勾股定乏缉催垦诎旧挫驯旦沫理得: AB=√6 过点E作EG垂直AD的延长线于点G 则∠EDG=30º EG=1/2DE=1/2√6 ∴S⊿ADE=AD*EG÷2=2/3

肃宁县15345869586： 已知在正方形ABCD中,△BCE是等边三角形,求证∠EAD=∠EDA=15° - ？
任单乳腺： 因为ABCD为正方形,,且三角形△BCE为等边三角行,所以BE=CE=CB,四边形ABCD为正方形,AB=BC=CD=AD,等量代换得AB=BE,CE=CD,角EBC=60度,角ABE=90度-60度=30度,因为AB=BE,三角形ABE为等腰三角形,角BAE=(180-30)除以2=75度,角EAD=90-75=15度,那边也一样..........

肃宁县15345869586： 在正方形ABCD中,∠EAD=∠EDA=15°,证明,△BEC是等边三角形 - ？
任单乳腺： 过E作EF⊥AD,垂足为F,作∠ADG=60°,DG交EF延长线于G 则∠GDE=75°,∠GED=∠AED/2=(180°-15°-15°)/2=75° 所以∠GDE=∠GED 所以GD=GE,∠EGD=30° 所以GD=2DF=DC 又∠EDG=∠EDC=75°,DE=DE 所以△GDE≌△CDE 所以CE=GE=DC 同理BE=AB=BC, 所以△BEC为等边三角形

肃宁县15345869586： 在正方形ABCD中取点E,连接AE,BE,CE,DE,角EAB等于角EBA等于15度,求证三角形DCE为正三角形 - ？
任单乳腺： 证明:设∠CED=x度 易证AE=BE,∠DAE=∠CBE=75度,进而△DAE≌△CBE 所以DE=CE,∠EDC=∠ECD=(180-x)/2度 ∠AED=∠BEC=(360-150-x)/2度 由三角形内角和180度得; 在△ADE中,∠DEA+∠ADE+∠DAE=180 即:(210-x)/2+[90-(180-x)/2]+75=180 解得:x=60 所以△CDE为正三角形

肃宁县15345869586： 如图,在正方形ABCD的对角线上取点E,使得∠BAE=15°,连接AE,CE,延长CE到F,使得BF=BC,连接BF,则∠F - ？
任单乳腺： 在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABE=∠CBE,在△ABE和△CBE中,,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴∠BCE=∠BAE=15°,∵BF=BC,∴∠F=∠BCE=15°. 故答案为:15.

肃宁县15345869586： 如图,在正方形ABCD的对角线上取点E,使得∠BAE=15°,连接AE,CE. - ？
任单乳腺： 分析: 根据正方形的性质推出AB=BC,∠ABD=∠CBD=45,证△ABE≌△CBE,即可判断;过F作FH⊥BC于H,根据直角三角形的性质即可求出FH;过A作AM⊥BD交于M,根据勾股定理求出BD,根据三角形的面积公式即可求出高AM,根据三角形的面积公式求出即可.

肃宁县15345869586： 如图,以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE,则∠AEB= - ？
任单乳腺： 因为是正方形和等边三角形,所以 AD=CD=DE.所以 △AED是等腰三角形,又因为∠ADE=90°+60°=150° 所以∠AED=角EAD=(180°-150°)/2=15° 同理,角BEC=15 所以,角AEB= 角DEC-(角AED+角BEC)=60-(15+15)=30