数学竞赛题

数学竞赛题~

a^2+ab-b^2=0，即b^2-a^2=ab，

所求的题目是：=b/a^2-a/b^2
将b^2-a^2=ab，代入
=1/(b-a)-1/(a+b)
=2a/(b^2-a^2)
再次代入b^2-a^2=ab
=2a/ab
=2/b

圆心（0，1/2）,设y=sinx的点到圆心的距离为s(x),
则： s（x）=根号（x^2+(sinx-1/2)^2）
求导得：s'（x）=(x+(sinx-1/2)*cosx)/根号（x^2+(sinx-1/2)^2）
因 x=a是使得s(x)=r的唯一解，而且存在x使得s（x）大于r
故 s（x）- r>=0，
故 x=a使得s’(x)=0，
故 a+(sina-1/2)*cosa=0，即(sina-1/2)*cosa=-a。
故 (sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa=4*（sinx-1/2）*cosx=-4a

这是一个比较难的逻辑推理题。这个题目难就难在不知道不合格的坏球究竟是比合格的好球轻，还是重。要解出这个题目，不仅要熟练地运用各种推理形式，而且还要有一定的机灵劲呢。

用无码天平称乒乓球的重量，每称一次会有几种结果?有三种不同的结果，即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量，为了做到 称三次就能把这个不合格的乒乓球找出来，必须把球分成三组(各为四只球)。现在，我们为了解题的方便，把这三组乒乓球分别编号为 A组、B组、C组。

首先，选任意的两组球放在天平上称。例如，我们把A、B两组放在天平上称。这就会出现两种情况:

第一种情况，天平两边平衡。那么，不合格的坏球必在c组之中。

其次，从c组中任意取出两个球 (例如C1、C2)来，分别放在左右两个盘上，称第二次。这时，又可能出现两种情况:

1·天平两边平衡。这样，坏球必在C3、C4中。这是因为，在12个乒乓球中，只有一个是不合格的坏球。只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不平衡。既然天平两边平衡了，可见，C1、C2都是合格的好球。

称第三次的时候，可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3)， 同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边，就可以推出结果。这时候可能有两种结果:如果天平两边平衡，那么，坏球必是C4;如果天平两边不平衡，那么，坏球必是C3。

2·天平两边不平衡。这样，坏球必在C1、C2中。这是因为，只有C1、C2中有一个是坏球时，天平两边才不能平衡。这是称第二次。

称第三次的时候，可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1)， 同另外一个合格的好球(例如C3)，分别放在天平的两边，就可以推出结果。道理同上。

以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。

第二种情况，第一次称过后天平两边不平衡。这说明，c组肯定都是合格的好球，而不合格的坏球必在A组或B组之中。

我们假设:A组 (有A1、A2、A3、A4四球)重，B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻。这时候，需要将重盘中的A1取出放在一旁，将A2、A3取出放在轻盘中，A4仍留在重盘中。同时，再将轻盘中的B1、 B4取出放在一旁，将B2取出放在重盘中，B3仍留在轻盘中，另取一个标准球C1也放在重盘中。经过这样的交换之后，每盘中各有三个球: 原来的重盘中，现在放的是A4、B2、C1，原来的轻盘中，现在放的是A2、A3、B3。

这时，可以称第二次了。这次称后可能出现的是三种情况:

1·天平两边平衡。这说明A4B2C1=A2A3B3，亦即说明，这六只是好球，这样，坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。已知A盘重于B盘。所以，A1或是好球，或是重于好球;而B1、B4或是好球，或是轻于好球。

这时候，可以把B1、B4各放在天平的一端，称第三次。这时也可能出现三种情况:(一)如果天平两边平衡，可推知A1是不合格的坏球，这是因为12只球只有一只坏球，既然B1和B4重量相同，可见这两只球是好球，而A1为坏球;(二)B1比B4轻，则B1是坏球;(三) B4比B1轻，则B4是坏球，这是因为B1和B4或是好球，或是轻于好球，所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻，更轻的必是坏 球。

2·放着A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放A2、A3、B3的盘子(原来放B组)重。在这种情况下，则坏球必在未经交换的A4或B3之中。这是因为已交换的B2、A2、A3个球并未影响轻重，可见这三只球都是好球。

以上说明A4或B3这其中有一个是坏球。这时候，只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了。例如，取A4放在天平的一端，取C1放在天平的另一端。这时称第三次。如果天平两边平衡，那么B3是坏球; 如果天平不平，那么A4就是坏球 (这时A4重于C1)。

3.放A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放在A2、A3、B3的盘 子(原来放B组)轻。在这种情况下，坏球必在刚才交换过的A2、A3、B23球之中。这是因为，如果A2、A3、B2都是好球，那么坏球必在A4或B3之中，如果A4或B3是坏球，那么放A4、B2、C1的盘子一定 重于放A2、A3、B3的盘子，现在的情况恰好相反，所以，并不是A2、A3、B2都是好球。

以上说明A2、A3、B2中有一个是坏球。这时候，只需将A2同A3相比，称第三次，即推出哪一个是坏球。把A2和A3各放在天平的一端 称第三次，可能出现三种情况:(一)天平两边乎衡，这可推知B2是坏球;(二)A2重于A3，可推知A2是坏球;(三)A3重于A2，可推知A3是坏球。

先将12个球分成3组
第一次：取两组分别放在天平上，
一如果一样重则次品在剩下的那组，
第二次：再将4个分成两组，再取其中一组放在天平上，如果一样重则次品在剩下的那2个中，
第三次：从中取出一个与上次称的那四个中的一个进行称，如果一样重则是剩下的那个是次品。如果不一样重则是次品。
二如果不一样重，则将偏重（或偏轻）又分成两组A,B进行第二次称量：
①如果不一样重，则次品在偏重（或偏轻）的这一组中，取偏重（或偏轻）得那组中其中一个与其他任意一个进行第三次称量，如果不等则是次品。如果相等则另一只是次品。
②如果一样重，则次品另外一组中，这四个中任意取三个与其它组的三个进行第三次称量，如果一样重则剩下的那个是次品。如果不一样重则在取下的时候两边同时一个一个的拿下。当第一次拿下天平平衡时则拿出的是次品。当不平衡时继续拿第二个。当天平平衡时则拿的是是次品，当不平衡时则剩下的那个是次品。

12个球平均分3组，第一种情况：将2组放入天平的两个托盘，结果一样重，那么次品一定在剩下的一组，，将剩下的四个球分成a：1，b：1，c：2三组，把a和b组放入天平结果一样重，那么次品很定在c组，在c组拿出一个与a放在天平中比较，如果两边不等，则这个球就是次品，如果两边相当则剩下的那个球是次品！其他情况太复杂，我先考虑一下！尽快给你答案！

给12个球从1--12编号。
第一次：1，2，3，4（左）与5，6，7，8（右）称重。
若平衡，则劣质球在9，10，11，12中，很好搞定，这里提供一种方法。只需称9（左）10（右），分辨出劣质球在9，10还是11，12；之后拿一正常球和有劣质球的哪一组中的一个称，搞定。
若不平衡，不妨设1，2，3，4重（另一边重可用同种方法搞定）。称1，5，6（左）和2，7，8（右），若左边重，则1是重球或7，8中有一个轻球，再称1，7（左）和9，10（右），若平衡，8劣质；若左边重，1是重球；若右边重，7是轻球，搞定。
若1，5，6轻于2，7，8；类似上面方法。若平衡，则劣质球在3，4中，一次搞定。

A：将球标号1-12；
B：先拿1234和5678出来称，如果相等，接下来很好办，步骤略；
C：如果不等，假设1234轻，则将1256和39、10、11拿出来称；
D：若1256轻，则结论是12轻，情况太简单，最后一步略；
E：若1256重，则结论是56重或3轻。最后一次拿35出来和9、10比，轻则3轻；重则5重，平则6重；
F：若1256和39、10、11平，则4轻活78重。情况同E。

所有情况已被考虑，给分吧
这个问题我想了高一高二两年。。。没事干的时候就一直想想几道一直没做出来的题，此题为其中之一。
如果看不懂提出来我再说的详细点

后加：楼上最长的那个纯属转帖...其实这倒题目网上的确搜的到，而且方法貌似不唯一，但一定要444分，而且要换球，我试过无数遍，552或3333分都不行

忘采纳，如果有人能不444分，我立刻顶礼膜拜！

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双峰县15064433172： 数学竞赛题 - ？
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