设长方体内接于半径为a的球，问何时长方体的体积最大，并求其体积

求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体~

该长方体的体积为：(8/9)(根号3)a^3。
具体的求解过程为：
设该长方体的体积为v，长、宽、高分别为x、y、z
则该长方体的体积为：V=xyz
因为是内接于半径为a的球，所以可以得到约束条件：x^2+y^2+z^2=4a^2
写出该约束条件下的拉格朗日函数：F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)
所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:
yz+2λx=0
xz+2λy=0
xy+2λz=0
而:x^2+y^2+z^2=4a^2
解方程组,得:x=y=z=(2/3)(根号3)a
所以最大体积为=xyz=(8/9)(根号3)a^3

扩展资料:
拉格朗日乘数法是用来求条件极值的，极值问题有两类。
1、求函数在给定区间上的极值，对自变量没有其它要求，这种极值称为无条件极值。
2、对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值，称为条件极值。求多元函数的条件极值一般是使用拉格朗日乘数法，并通过偏微分求出。
在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。

简单计算一下即可，答案如图所示

这是一个3天后的“零回答”题：
设长方体 内接于半径为a的球，问何时长方体的体积最大？并求其体积。

解：
长方体内接于一个球，可以证明：对棱角线必然经过球心！
因为长方体对面全等，任何两个相对面在其外接球上截取的球冠都是全等的。
故 球的球心和其内接长方体的中心必然重合。

设长方体的长宽高分别为x,y,z,则
长方体体积V=xyz,
√[x^2+y^2+z^2]=2a,
x^2+y^2+z^2=4a^2,
z=√[4a^2-x^2-y^2],
V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2],
先证明：在长方形内，当对角线固定等于b,长方形面积最大的时候是长等于其宽，即对角线一定的正方形的面积最大。
√[x^2+y^2]=b,y=√[b^2-x^2],
S=xy=x√[b^2-x^2],
dS/dx=√[b^2-x^2]+x{0.5*[b^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}=
=√[b^2-x^2]-x^2/√[b^2-x^2]=
=[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2],
dS/dx=0时，S才有可能有极值，进而才可能有极大值，
[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2]=0，
长方形的一个边长不可能等于对角线长，即x^2≠b^2,
2x^2=b^2, x=√2b/2,
因为这是实际问题，面积极值也是极大值、最大值，
也就是在长方形对角线长固定时，正方形的面积最大。

运用到这个球内接长方体问题中，长方体底面最大时是长和宽相等时，
V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2]=x^2√[4a^2-2x^2]=√2x^2√[2a^2-x^2],
dV/dx=2√2x√[2a^2-x^2]+√2x^2{0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)=
=2√2x√[2a^2-x^2]-√2x^3/√[2a^2-x^2]=
={2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2],
dV/dx=0， V才可能有极值，进而才可能有极大值、最大值，
{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]=0,
2a^2-x^2 不可能等于0，
2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3=0，
x≠0,
2[2a^2-x^2]-x^2=0,
4a^2-3x^2=0,
x^2=4a^2/3,
x=2√3a/3,
这是个实际问题，x不可能为0，V只能有极大值，不可能取极小值，
【也可以求V对x的二阶导数，当二阶导数小于0时，V具有极大值：
d^2V/dx^2=d{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]/dx=
=d{[2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx=
=d{[4√2a^2x-3√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx=
={[4√2a^2-9√2x^2]√[2a^2-x^2]-[4√2a^2x-3√2x^3]*0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}/√[2a^2-x^2]=
=[4√2a^2-9√2x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x/[2a^2-x^2],
V要具有极大值，d^2V/dx^2<0,即
[4√2a^2-9√2x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x/[2a^2-x^2]<0,
因为2a^2-x^2>0,
4√2a^2-9√2x^2][2a^2-x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x<0,
4a^4-9x^2+3x^4<0,
3(x^4-3x^2)+4a^4<0,
3[x^4-2(3/2)x^2+(3/2)^2]-3(3/2)^2+4a^4<0,
3[x^2-3/2]^2+4a^4-27/4<0,
[x^2-3/2]^2<27/4-4a^4=(27-16a^4)/12,
-√[(27-16a^4)/12]<x^2-3/2<√[(27-16a^4)/12],
-√[(27-16a^4)/12]+3/2<x^2<√[(27-16a^4)/12]+3/2,
当x=2√3a/3，x^2=4a^2/3,
可以花力气讨论上面不等式成立，
即V对x的二阶导数小于0，V具有极大值；
这个实际问题的极大值也就是最大值。 】

这个极大值也是最大值，即
圆球内接长方体，当长方体的长宽高都相等时、即长方体是正方体时，长方体的体积最大。

这个球内接长方体的最大体积、也就是球内接正方体的最大体积是：
V=xyz=[√(4a^2/3)]^3=[(2√3/3)^3a^3=8√3a^3/9.

直观考虑是长方体为正方体时体积最大，对角线长2a,反推边长为2a/3^0.5,所以体积为8*3^0.5a^3/9
第一步证明：证明圆内接矩形中正方形面积最大。固定一条对角线，矩形面积相当于对角线乘以高，对角线长度不变，面积最大即高最大，恰为正方形。
第二步证明：设长方体某相对平行的两面不为正方形，即边长a不等于b，其体积为abc。那么总可以在ab平面与球相交的圆上找到一个正方形，设边长为d。于是有dd>ab。此过程中第三边长度c不变，可以以该正方形为底面，c为高构建新球内接立方体，体积变为ddc。由此可见只要长方体某一面不为正方形，就可构建出体积更大的立方体。因此体积最大的长方体为正方体。

这是一个3天后的“零回答”题:
设长方体
内接于
半径
为a的球，问何时长方体的
体积
最大?并求其体积。
解:
长方体内接于一个球，可以证明:对棱角线必然经过
球心
!
因为长方体对面全等，任何两个
相对面
在其
外接球
上截取的球冠都是全等的。
故
球的球心和其内接长方体的中心必然重合。
设长方体的长宽高分别为x,y,z,则
长方体体积V=xyz,
√[x^2+y^2+z^2]=2a,
x^2+y^2+z^2=4a^2,
z=√[4a^2-x^2-y^2],
V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2],
先证明:在
长方形
内，当
对角线
固定等于b,长方形
面积
最大的时候是长等于其宽，即对角线一定的
正方形
的面积最大。
√[x^2+y^2]=b,y=√[b^2-x^2],
S=xy=x√[b^2-x^2],
dS/dx=√[b^2-x^2]+x{0.5*[b^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}=
=√[b^2-x^2]-x^2/√[b^2-x^2]=
=[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2],
dS/dx=0时，S才有可能有
极值
，进而才可能有
极大值
，
[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2]=0，
长方形的一个
边长
不可能等于对角线长，即x^2≠b^2,
2x^2=b^2,
x=√2b/2,
因为这是实际问题，面积极值也是极大值、
最大值
，
也就是在长方形对角线长固定时，正方形的面积最大。
运用到这个球内接长方体问题中，长方体
底面
最
大时
是长和宽相等时，
V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2]=x^2√[4a^2-2x^2]=√2x^2√[2a^2-x^2],
dV/dx=2√2x√[2a^2-x^2]+√2x^2{0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)==2√2x√[2a^2-x^2]-√2x^3/√[2a^2-x^2]=={2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2],
dV/dx=0，
V才可能有极值，进而才可能有极大值、最大值，
{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]=0,
2a^2-x^2
不可能等于0，
2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3=0，
x≠0,
2[2a^2-x^2]-x^2=0,
4a^2-3x^2=0,
x^2=4a^2/3,
x=2√3a/3,
这是个实际问题，x不可能为0，V只能有极大值，不可能取极小值，
【也可以求V对x的
二阶导数
，当二阶导数小于0时，V具有极大值:
d^2V/dx^2=d{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]/dx=
=d{[2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx=
=d{[4√2a^2x-3√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx=
={[4√2a^2-9√2x^2]√[2a^2-x^2]-[4√2a^2x-3√2x^3]*0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}/√[2a^2-x^2]=
=[4√2a^2-9√2x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x/[2a^2-x^2],
V要具有极大值，d^2V/dx^2<0,即
[4√2a^2-9√2x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x/[2a^2-x^2]<0,
因为2a^2-x^2>0,
4√2a^2-9√2x^2][2a^2-x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x<0,
4a^4-9x^2+3x^4<0,
3(x^4-3x^2)+4a^4<0,
3[x^4-2(3/2)x^2+(3/2)^2]-3(3/2)^2+4a^4<0,
3[x^2-3/2]^2+4a^4-27/4<0,
[x^2-3/2]^2<27/4-4a^4=(27-16a^4)/12,
-√[(27-16a^4)/12]<x^2-3/2<√[(27-16a^4)/12],
-√[(27-16a^4)/12]+3/2<x^2<√[(27-16a^4)/12]+3/2,
当x=2√3a/3，x^2=4a^2/3,
可以花力气讨论上面
不等式
成立，
即V对x的二阶导数小于0，V具有极大值;
这个实际问题的极大值也就是最大值。
】
这个极大值也是最大值，即
圆球内接长方体，当长方体的长宽高都相等时、即长方体是
正方体
时，长方体的体积最大。
这个球内接长方体的最大体积、也就是球内接正方体的最大体积是:
V=xyz=[√(4a^2/3)]^3=[(2√3/3)^3a^3=8√3a^3/9.

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龙山区15855008209： 设长方体内接于半径为a的球,问何时长方体的体积最大,并求其体积 - ？
舌莫乙肝：[答案] 这是一个3天后的“零回答”题: 设长方体 内接于半径为a的球,问何时长方体的体积最大?并求其体积. 长方体内接于一个球,可以证明:对棱角线必然经过球心! 因为长方体对面全等,任何两个相对面在其外接球上截取的球冠都是全等的. 故 球的...

龙山区15855008209： 在半径为a的球内,内接一长方体,问各边为多少时,其体积最大?答案里为什么要设长为2x,宽为2y,高为z. - ？
舌莫乙肝： 设长为2x,宽为2y,高为2z,则(2x)^2+(2y)^2+(2z)^2=(2a)^2,即x^2+y^2+z^2=a^2 而x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx≥3*开三次方(xy*yz*zx)=3*开三次方((xyz)^2),且x=y=z时等号成立.因此,矩形最大体积xyz=(x^2+y^2+z^2)^(2/3)=a^(2/3),此时x=y=z=根号((a^2)/3).答案里设高为z可能是印刷错误.

龙山区15855008209： 在半径为a的半球内,内接一个长方体,问各边为多长时,长方体的体积最大 - ？
舌莫乙肝： 当这个长方体是正方体时,体积最大 设这个正方体的棱长为x则这个正方体的对角线一定是外接球的直径 即:3x^2=4a^2解得:x=[(2√3)a]/3

龙山区15855008209： 在半径为a的球体内,内接一长方体,各边长为多少时,体积最大 求详解 - ？
舌莫乙肝： 设长方体的长宽高分别为x、y、z,则x²+y²+z²=4a²≥3³√(x²y²z²) 所以x²y²z²≤[(x²+y²+z²)/3]³=(4a²/3)³ 所以xyz≤8√3a³/9 当x=y=z时取等号,即x=y=z=2√3a/3时长方体体积最大

龙山区15855008209： 求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体,用直接列方程法如何求解? - ？
舌莫乙肝： 设所求的正方体棱长为x,则其对角线为√3x.此即为球体的直径,于是: √3x=2a x=2/√3a=2√3/3a

龙山区15855008209： 在半径为a的半球内,内接一长方体,问各边长为多少时,其体积最大? - ？
舌莫乙肝： 其实很简单,你不要把它看成半球.是一个球呢?应该是内接正方体的体积最大.那么它的长与宽是根号2倍的a,高是长与宽的一半.

龙山区15855008209： 高数:y＂ - y' - 3y=3x+1的通解....共3道题 - ？
舌莫乙肝： 1、该微分方程的通解即为y＂-2y'-3y=0的通解.特征方程为:r^2-2r-3=0. 求出两个特征根,x1=3,x2=-1,则通解为: y=C1*e^(3x)+C2*e^(-1x),其中,C1、C2为...

龙山区15855008209： 求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体用拉格朗日乘数法 - ？
舌莫乙肝：[答案] V=xyzx^2+y^2+z^2=4a^2F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:yz+2λx=0xz+2λy=0xy+2λz=0而:x^2+y^2+z^2=4a^2解方程组,得:x=y=z=(2/3)(根号3)a最大体积=xyz=(8/9)(根号3)a^3以...

龙山区15855008209： 求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体. - ？
舌莫乙肝：[答案] 体积最大的长方体应该是正方体.所以 正方体的体对角线为a,所以设正方体的棱长为X,则,一面的对角线为X*√2,所以:X^2+(X*√2)^2=a^2 X=a/√3 体积=(a/√3)^3=(a^3*√3)/9

龙山区15855008209： 求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体为什么此长方体的长宽高为2x.2y.2z? - ？
舌莫乙肝：[答案] 内接于半径为a的球且有最大体积的长方体,是一个对角线等于球的直径2a的正方体.由此可求出正方体的棱长. 正方体的体对角线为a,所以设正方体的棱长为X,则,一面的对角线为X*√2, 所以:X^2+(X*√2)^2=a^2 X=a/√3 体积=(a/√3)^3=...